Лекция 31 Теорема об устойчивости по первому приближению. 
Функция Четаева

Теорема Ляпунова об устойчивости, но первому приближению

Перейдем теперь к вопросу об устойчивости нелинейной системы. Пусть начало координат х — 0 является положением равновесия системы.

Как исследовать, устойчиво оно или нет?

Главным соображением, которое, наверное, может помочь нам решить этот вопрос, является следующее. Свойство устойчивости является «локальным^[1] в смысле пространства (хотя и «глобальным^[1] по времени): нас интересует только то. что происходит вблизи положения равновесия. Поэтому, изучая устойчивость, мы всегда можем сосредоточить свое внимание только на малой окрестности нуля. Но в малой окрестности нуля функция f (x), фигурирующая в правой части, почти не отличается от линейной¹. Значит, можно надеяться, что устойчивость нулевого решения нелинейной системы почти такая же, как и у линейной системы, получающейся из (31.1) линеаризацией f (x) вблизи нуля.

Здесь нам следует немножко остановиться и вспомнить, как основной принцип анализа «любая функция в малом почти линейна^[1] реализуется для векторной функции векторного аргумента и как понимать замену нелинейной функции на линейную.

Рассмотрим сначала скалярную функцию векторного аргумента.

Если дать ее аргументам приращения Ах, Ах2, Ах_п. то функция получит приращение AF. которое будет приближенно равно²

Равенство тем точнее, чем меньше Дж", и этот факт записывают в виде идеализированного точного соотношения:

называемого формулой полного дифференциала. Коэффициенты ki вычисляются как частные производные dF/dxi (x*) когда дифференцирование производится по одной переменной так. будто остальные являются константами. Таким образом, формула полного дифференциала имеет.

вид, а формула приближенного вычисления самой функции вблизи точки X* = (х, Х2,…, ж*) — вид.

Правая часть этого равенства и есть та линейная функция, которая приближенно заменяет нелинейную вблизи выбранной точки.

Формулу 31.2 можно записывать и короче: с помощью скалярного произведения вектор-столбца частных производных dF/dxi, называемого вектором градиента grad F, на вектор-столбец (х — х*) приращений аргумента:

или с помощью матричного произведения вектора-строки (т.е. матрицы размерности 1 X п) частных производных.

на вектор-столбец (т.е. матрицы размерности п X 1) приращений:

Если функция дифференцируема, конечно.

Последняя формула в точности совпадает внешне с формулой для функции скалярного аргумента ж, и поэтому ее преимущественно используют в исследованиях. Правда, при этом надо все время помнить, что dF/dx это не число, а вектор частных производных.

Пусть теперь f (x) m-мерная векторная дифференцируемая функция, имеющая компонентами /фж):

Повторив для каждой компоненты проведенные выше рассуждения, получим, что.

Эго соотношение также можно записать коротко:

только тут через df/дж обозначена уже матрица частных производных dfi/dxj.

Таким образом, линейным приближением векторной функции векторного аргумента /(ж) вблизи точки ж* является функция.

где df /дх матрица частных производных (вычисленная в точке сс*). В случае, который нас интересует (мы ведь пытаемся линеаризовать систему (31.1)). х* — 0 (мы ищем приближение вблизи нуля), f (x*) — О (поскольку нуль предполагается решением системы), так что линеаризацией функции f (x) из (31.1) вблизи нуля будет просто произведение Ах. где матрица А = df /дх. посчитанная при х — 0. Соответственно линеаризацией системы (31.1) вблизи нуля будет система.

Условие устойчивости линейных систем мы уже; полностью исследовали главную роль здесь играют вещественные части собственных значений матрицы А. Более того, нам в предыдущей главе удалось построить дли линейной системы и функцию Ляпунова (что служит еще одним доказательством асимптотической устойчивости системы при Re А; < 0). Так вот оказывается, что обслуживающая линейную систему функция Ляпунова годится и для нелинейной системы. О чем и будет нижеследующая теорема.

Теорема 31Л (Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению'⁵) Пусть функция f (x) : IRⁿ —> Щ^п удовлетворяет условию /(0) = 0, непрерывно дифференцируема в нуле и все соб-

Я.

ставенные значения матрицы частных производных, А = — (0) имеют,

дх

отрицательную вещественную часть. Тогда нулевое решение системы (31.1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Построим функцию Ляпунова для линеаризованной системы х = Ах в виде квадратичной формы (Vx, x) с матрицей V, являющейся решением матричного уравнения Ляпунова при Н — I:

В силу непрерывной дифференцируемости f (x) в нуле она может быть представлена в виде f (x) = Ах + ui (x), где ш (ж) бесконечно малая порядка выше первого:

Найдем производную нашей функции (Vx, x), но теперь уже в силу нелинейной системы:

(в силу (31.3) первое слагаемое равно — ||х||². а во втором мы вынесем для удобства такой же множитель).

Поскольку.

Название связано г тем, что для любой функции «нулевым» приближением считают константу, «первым» линейную функцию, «вторым» квадратичную и т. д.

при х —у 0. можно выбрать окрестность ||ж|| < г такую, в которой это выражение не будет превосходить, скажем, одной четверти. Но тогда.

и окончательно получаем.

а это и означает, что функция V (x) = {Vx, x) является функцией Ляпунова не только для линейной, но и для нелинейной системы. По теореме (29.1) нулевое решение системы асимптотически устойчиво. Теорема доказана.

Замечание. Если на устойчивость исследуется не нулевое положение равновесия, а другое например, х*, то для исследования на устойчивость необходимо точно так же определять знак вещественной части собственных значений матрицы частных производных функции f (x). но только в точке х*.

• [1] 'Это главный принцип анализа: в малом любая функция почти линейна. Хотя, как и всякий принцип, он имеет ограниченную зону действия именно уточнениеэтой зоны и привело в свое время к понятию дифференцируемой функции.
• [2] 'Это главный принцип анализа: в малом любая функция почти линейна. Хотя, как и всякий принцип, он имеет ограниченную зону действия именно уточнениеэтой зоны и привело в свое время к понятию дифференцируемой функции.
• [3] 'Это главный принцип анализа: в малом любая функция почти линейна. Хотя, как и всякий принцип, он имеет ограниченную зону действия именно уточнениеэтой зоны и привело в свое время к понятию дифференцируемой функции.