П. 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

П. 1.1. Линейное однородное уравнение первого порядка

Рассмотрим линейное однородное уравнение первого порядка.

где р: I —" К, / — некоторый интервал.

Пусть у уже обозначает решение. Тогда имеет место тождество.

Умножим обе части уравнения на .

Получим (y (t)e5^{p (t)dt})'= 0, т. е. y (t)e^^,(t)dt =С, или.

Пример П. 1.

Решим задачу Коши у' - -2ty, у ( 1) = 2.

Решение. По формуле (П.1) получаем.

Учитывая начальные условия, находим 2 = Се^_1, С — 2е и окончательно получаем.

П. 1.2. Линейное неоднородное уравнение первого порядка

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение первого порядка.

где р, д: / —" М, / — некоторый интервал.

Умножим обе части уравнения па ef^p^^dt:

Получим т. е.

или.

Пример П. 2.

Найдем все решения уравнения г/ + 2ty = t².

Решение. Умножим обе части на е'², так как J2tdt = t²+C. Получим или

П. 1.3. Метод вариации произвольной постоянной

Дано линейное неоднородное уравнение.

Мы ищем решение абсолютно в том же виде, как и для однородного линейного уравнения y'(t) + = 0, т. е. в виде.

но только С теперь не константа, а может зависеть от t. Продифференцируем обе части равенства (П.З):

Умножая равенство (П.З) наp (t) и складывая с равенством (П.4), получаем.

Отсюда находим С{1) и, следовательно, y (t).

Замечание 1. Решая уравнение первого порядка методом вариации, естественно, необязательно каждый раз повторять вывод этого метода, а можно начинать решение, сразу выписывая формулу (П.5) для конкретных функций p (t) и q (t). Затем, интегрируя уравнение (П.5), мы находим C (t) и подставляем в формулу (П.З), получая решение.

Замечание 2. Применяя метод вариации и выписывая формулу (П.5), естественно, совершенно необязательно использовать определенный интеграл с переменным верхним пределом, а можно использовать неопределенный интеграл. В этом случае при вычислении неопределенного интеграла мы можем положить константу интегрирования равной нулю, потому что нам для проведения метода подходит любая первообразная.

Требуется решить задачу Коши.

Решение однородного уравнения.

Тогда С (х)х² = 2х С'(х) = 2х, С (х) -х² + С₀. Таким образом, у — х⁴ + CqX².

Из начальных условий 1 = 1 + С₀, С₀ = 0. Значит, у = х⁴.