Стохастические дифференциальные уравнения

7.1. С помощью формулы Ито записать следующие случайные процессы X_t в стандартной форме.

соответствующим образом выбрав и е R", v е М'^{!Х, Л} и размерности п и т:

• а) X_t = Wi¹, где W_t — одномерное броуновское движение;
• б) X_t = 2+1 + e^w', где W_t — одномерное броуновское движение;
• в) X, = + где (W, W₂) — двумерное броуновское движение;
• г) X, = (t₀ + t, W_t), где W, — одномерное броуновское движение;
• д) X, =(^₁(0 + ^₂(0+^з (0.^₂²(0-^(0^з (0)>где (^₁,W₂, W₃) — трехмерное броуновское движение.
• 7.2. Пусть с, а — константы, a W_t — одномерное броуновское движение. Определим X_t =e^ct+aWt. Доказать, что

Доказать, что.

7.3. Пусть с, а₂…а" — константы, a W_t = (W^(?), W₂(t),…, W_n(t)) —.

га-мерное броуновское движение. Определим.

• 7.4. Проверить, что данные процессы являются решениями указанных стохастических дифференциальных уравнений (W_t обозначает одномерное броуновское движение):
  • а) X, — e^wt является решением уравнения

W

б) X, = -—Wq = 0, является решением уравнения.

V 2 2у.

в) X_t — sin W_p Vv₀ = а е —; — является решением уравнения при t < inf js > 0, VK_v? ~W |^;

r) (X_{(t), X₂(t)) = (t, e^lW_t) является решением уравнения.

д) (X_{(t), X₂(t)) = (ch (W^), sh (U^/_r)) является решением уравнения.

7.5. Естественно определить броуновского движение на эллипсе.

как процесс X_t = (X^(t), X₂(t)), описываемый равенствами где W_t есть одномерное броуновское движение. Требуется показать, что X_t является решением стохастического дифференциального уравнения.

где.

• 7.6. Пусть (VE, W₂, W_n) — броуновское движение в R", а а_{) а₂, а_и — постоянные числа. Требуется решить стохастическое дифференциальное уравнение
• (это модель экспоненциального роста с несколькими независимыми возмущениями типа белого шума в относительной скорости роста).
• 7.7. Требуется решить стохастическое дифференциальное уравнение

7.8. Пусть Z — стандартная нормальная случайная величина. Проверить, является ли случайный процесс X_t =4tZ винеровским. (Указание. Достаточно проверить свойства 1—3 винеровского процесса из параграфа 8.1.).

7.9. Пусть W_t и W_t — два независимых винеровских процесса, ар — константа, по модулю меньшая единицы. Проверить, является ли случайный процесс X_t =рW_t +y]-p²W_t винеровским. (Указание. Достаточно проверить свойства 1—3 винеровского процесса из параграфа 8.1.).

• 7.10. Рассматривается броуновское движение со сносом: S, = oW + рt. Показать, что для любых значений, а (а Ф 0), р, Т (Т> 0) существует положительная вероятность того, что S_T < 0.
• 7.11. Рассматривается средневозвратный процесс Орнштейпа — Уленбека

Здесь X — некоторый «нормальный» уровень X, т. е. тот уровень, к которому X стремится вернуться; г| — скорость возвращения. Требуется выразить математическое ожидание процесса Х_г как функцию времени, если известно, что в начальный момент уровень X был Х₀.

• 7.12. С помощью формулы Ито вычислитьd2e^wt, где W_r — винеровский процесс.
• 7.13. С помощью формулы Ито вычислить d3e ' 2, где W, — винеровский процесс.
• 1 _
• 7.14. С помощью формулы Ито вычислить d—W/, где W_t — винеровский процесс.
• 7.15. С помощью формулы Ито вычислить dW_t¹², где W_t — винеровский процесс.
• 7.16. С помощью формулы Ито вычислить стохастический интеграл т

J 2W_rdW_t, где W_t — винеровский процесс, о.

• 7.17. Случайный процесс Z_r представляет собой броуновское движение со сносом dZ, = 2dt -г 3dW_v где W_t — винеровский процесс. Записать выражение процесса F{Z_V t) = tZ, в дифференциальной форме.
• 7.18. Выразить de^w?¹, где W_t — винеровский процесс, как броуновское движение.

г

7.19. Вычислить стохастический интеграл 2WfdW_s как линейную ком;

о бинацию случайных процессов или (и) римановских интегралов от случайных процессов.

7.20. Для фиксированных а, b е Ш рассматривается следующее одномерное уравнение:

Показать, что процесс.

является решением этого уравнения, и доказать, что limF, =b почти навер;

нос (процесс Y_t называется броуновским мостиком¹ из а в /?).

7.21. Если обозначить через (V_v W₂) двумерное броуновское движение, то можно ввести комплексные обозначения и положить.

Такой процесс W (t) называется комплексным броуновским движением, а) Пусть F (z) = u (z) + iv (z) — аналитическая функция, т. е. F удовлетворяет условиям Коши — Римана.

Определим Z_t = F (W (t)). Требуется доказать, что dZ_t = F'(W (t))dW (t), где F' есть комплексная производная функции F(заметим, что обычно присутствующие в вещественной формуле Ито члены второго порядка здесь отсутствуют).

• б) Решить комплексное стохастическое дифференциальное уравнение² dZ_t = aZ_tdW (t) (а — константа).
• 7.22. (Рост популяции в насыщенной стохастической среде.) Нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение

часто используется в качестве модели роста размера популяции Х₍ в насыщенной стохастической среде. Константа К > 0 называется несущей емкостью среды, константа г е М является мерой качества среды, а константа 3 g R есть мера интенсивности шума в системе. Проверить, что.

есть решение заданного уравнения.

7.23. Техника, использованная в примере П. 111, может быть применена к решению более общего нелинейного стохастического дифференциального уравнения вида.

• 1 Другие свойства этого процесса см. в книге: Rogers L. С. G., Williams D. Diffusions, Markov processes, and martingales. J. Wiley and Sons, 1987. Vol. 2. P. 86—89.
• 2 Дальнейшие сведения о комплексном стохастическом анализе можно найти, например, в статье: Uboe J. Conformal martingales and analytic functions // Math. Scand. 1987. Vol. 60. P. 292−309.

где /:R*R—"Rhc:1R —> К — заданные непрерывные (детерминированные) функции. Нужно поступить следующим образом.

А. Ввести интегрирующий множитель.

и показать, что это равенство можно записать в виде Б. Определить У,(to) = F_t(a>_t(со), гак что В. Показать, что уравнение (2) приобретает вид.

Отметим, что это детерминированное дифференциальное уравнение относительно функции t —" У,(to) для каждого со е О. Поэтому мы можем решить уравнение (4), считая со параметром, и найти У,(со), а затем получить Х,(со) из равенства (3).

Задание:

1. Применить этот подход к решению стохастического дифференциального уравнения

где, а — константа.

2. Применить этот метод к изучению решений стохастического дифференциального уравнения.

где, а и у — константы.

3. Определить, при каких значениях у мы получим «взрывной» эффект у решения?

7.24. Пусть ?'(/) — неотрицательная функция, такая что для некоторых констант С, А. Доказать, что тогда.

(лемма Гронуолла — Веллмана).

t

Указание. Можно считать, что А Ф 0. Определите w (t) = Jv (s)ds. Тогда о.

w) < С + Aw (t). Покажите, что рассмотрев функцию f (t) = w (t)exp (-At). Воспользуйтесь этим неравенством для получения неравенства леммы.

• 7.25. Параллельный RLC-контур подключается к источнику тока /(?) + (3W,, (3 = const, W_t — одномерный броуновский процесс. Найти потокосцепление ^(f) на индуктивном элементе как функцию времени, если ЧЧО) = 4VFJ=?/o-
• 7.26. Акция одного предприятия котируется 8 января по цене 245 руб. В тот же день можно было продать и купить колл-опцион этой акции со сроком обращения до 15 июня того же года с базисной ценой 260 руб. по цене 6,10 руб. Соответствующая безрисковая годовая ставка процента составила r_F= 7%.

Требуется рассчитать теоретическую цену колл-опциона с помощью модели Блэка — Шоулза при допущении, что моментная волатильность цены акции составляет 2%.

Если бы вам задали вопрос, превышает ли подразумеваемая волатильность 2%, то что бы вы ответили и как бы вы обосновали свой ответ?

Подразумеваемой волатильностью называется такое значение моментной волатильности, для которого теоретическая модель оценки дает цену колл-опциона, в точности соответствующую фактически наблюдаемой цене.

• 7.27. Акция имеет текущую стоимость 100 руб. Страйк колл-оициона равен 102 руб. Период исполнения составляет девять месяцев. Процентная ставка (номинальная годовая при непрерывном начислении) составляет 15%. Риск изменения цены акции (волатильность) составляет 20%. Определите равновесную (теоретическую) цену опциона.
• 7.28. Про колл-опцион говорят, что он «в деньгах», если спот-цена основного актива больше, чем сумма страйка и премии. Про пут-опцион говорят, что он «в деньгах», если его страйк больше, чем сумма его премии и спот-цены основного актива.

Предположим, что на некоторый актив, продающийся по цене 51,50 долл., имеются опционы со страйками 40, 50 и 60 долл. Цена колл-опциона со страйком 50 долл, равна 4,50 долл.

• 1. Какова собственная ценность этого опциона?
• 2. Является ли этот опцион колл-опционом «в деньгах»?
• 3. Какова спекулятивная премия за этот опцион?
• 4. Какой процент составляет спекулятивная премия от цены основного актива?
• 5. Являются ли опционы 40 и 60 долл, опционами «в деньгах»?
• 7.29. Ходят слухи, что корпорация ВГ будет поглощена корпорацией АБ. Текущая цена акций компании ВГ равна 300 руб. Вам удалось подслушать, что совет директоров АБ примет окончательное решение в течение ближайших двух недель. Если поглощение произойдет, цена акций В Г возрастет до 400 руб., если нет, то упадет до 200 руб. Предложите опционную стратегию, использующую эту новость.
• 7.30. Предположим, что инвестор владеет фондовым портфелем, который он не имеет права продавать в течение шести месяцев. Объясните, почему использование опционов может показаться привлекательным и как опционы могут быть использованы.
• 7.31. Предположим, что инвестор имеет американский колл-опцион со страйком 50 фунтов стерлингов, который истекает в конце года. Что надо предпринять, если текущая цена основного актива равна 53,47 фунтов стерлингов?