П. 7. Стохастические дифференциальные уравнения

Для решения примеров данного раздела практикума будем руководствоваться теорией, изложенной в гл. 8^[1].

Мы рассматриваем возможные решения Х_?(со) стохастического дифференциального уравнения.

Интерпретация Ито состоит в том, что процесс X, должен удовлетворять стохастическому интегральному уравнению

или в форме дифференциалов.

Пример П. 106.

Докажем с помощью формулы Ито, что.

Решение. Пусть Y_t = Wp. Тогда по формуле Ито следовательно,.

Пример П. 107.

Пусть W_t — одномерное броуновское движение, W₀ = 0. Определим Требуется доказать с помощью формулы Ито, что.

Требуется показать, что E (W⁴) = 3t², и найти E (W_t⁶).

Решение. Применяя формулу Ито, находим.

Интегрируя данное равенство, получим.

Возьмем от обеих частей математическое ожидание:

Используя обозначения (П.39), находим.

Таким образом, имеем:

Решим стохастическое дифференциальное уравнение.

Решение. Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель е~^с:

По теореме 8.3.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

или следовательно, Пример П. 109.

Решим стохастическое дифференциальное уравнение.

Решение. Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель е': .

По теореме 8.3 Интегрируя, получаем.

(мы предполагаем, что W₀ = 0).

Пример П. 110.

а) Требуется решить уравнение Орнштейна — Уленбека (или уравнение Ланжевена)

где р, о — вещественные константы, W_t € R (решение этого уравнения называется процессом Орнштейна — Уленбека), и найти E (X_t) и D (X_t) = = E ((X_t-E (X_tm

Решение. Умножим уравнение Орнштейна — Уленбека на интегрирующий множитель е~^‘:

По теореме 8.3

Тогда.

Математическое ожидание, очевидно, равно Р{Х,) = е^Х₀, а дисперсия.

Пример П. 111.

Требуется решить стохастическое дифференциальное уравнение.

где г, а — вещественные константы, W_t е К.

Решение. Умножим уравнение на интегрирующий множитель F_t =e^z>, где Z_t — — aV_t + аЧ

По теореме 8.5 находим Таким образом, или.

Пример П. 112.

Средневозвратным процессом Орнштейна — Уленбека называется решение X, стохастического дифференциального уравнения.

где т, а — вещественные константы, W_t е М. Требуется: а) решить это уравнение;

б) найти Е (Х,) и 1)(Х,) = Е ((Х, — Е (Х_Г))²).

Решение. Умножим уравнение на интегрирующий множитель eh

По теореме 8.3 получаем.

Поэтому.

Следовательно,.

Очевидно, что математическое ожидание и дисперсия равны, соответственно,

Пример П. 113.

Требуется решить двумерное стохастическое дифференциальное уравнение

где (№^(7), V₂(t)) — двумерное броуновское движение; а, (3 — константы (это уравнение вибрирующей струны под действием случайной силы).

Решение. Запишем наше двумерное стохастическое дифференциальное уравнение в матричном виде:

где.

В качестве интегрирующего множителя будем использовать матричную экспоненту е~'Е Имеем.

или.

где Пользуясь тем, что J¹ = -Е, полученное решение можно переписать в виде.

• [1] Подробное описание методов решения одномерных стохастических дифференциальных уравнений см. также в книге: Card Т. С. Introduction to stochastic differential equations. Dekker, 1988.