Локальный экстремум функций нескольких переменных

Функция u = f (M) имеет в точке М₀ локальный максимум, если существует такая окрестность точки М0, в которой выполняется неравенство.

f (M) < f (M₀) для всех М Ф М₀. (3.30).

Функция u = f (M) имеет в точке М₀ локальный минимум, если существует такая окрестность точки М0, в которой выполняется неравенство.

f (M) > f (M₀) для всех М Ф М₀. (3.31).

Если функция u = f (M) имеет в точке М₀ локальный максимум или локальный минимум, то говорят, что эта функция имеет в точке М₀ локальный экстремум.

ТЕОРЕМА Необходимое условие экстремума Если функция u = f (M) имеет в точке М0 локальный экстремум и в этой точке существует частная производная функции по какому-либо аргументу Х_к, то О и/ О х_к (M_o) = 0.

Следствие. Если функция u = f (M) имеет в точке М₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то дифференциал функции в точке М₀ равен нулю, т. е.

аи (Мо)=|^ (Мо)ёх,+…+^L (Мо)ахп = о. (3.32).

Рассмотрим достаточное условие экстремума функции на примере функции двух переменных.

ТЕОРЕМА Достаточное условие экстремума Пусть функция u = f (x, у) дифференцируема в окрестности точки М0(х0,у0) и дважды дифференцируема в самой точке М0. Пусть М₀ — точка возможного экстремума данной функции, т. е. дифференциал функции в этой точке равен нулю: du (M₀) = 0. Введем обозначения:

• 1. Если D > 0, то в точке М0 функция u = f (x, у) имеет локальный экстремум:
  • — максимум при an < О;
  • — минимум при an > О.
• 2. Если D < 0, то в точке М₀ функция u = f (x, у) не имеет экстремума.
• 3. Если же D = 0, то в точке М₀ функция u = f (x, у) может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его. Требуются дополнительные исследования функции в этой точке.

ПРИМЕР 1.

Найти точки локального экстремума функции: и = х² — 4х + у² — 2у.

Решение.

Вычисляем частные производные и приравняем их к нулю: и'_х = 2х — 4 = 0, тогда х = 2; и'_у = 2у — 2 = 0, тогда у = 1.

Получаем точку М₀(2,1), в которых возможен экстремум функции и = и (х, у) — точку «подозрительную» на экстремум.

Далее находим частные производные второго порядка:

и''хх = 2, и''ху = 0, и''уу = 2.

В точке М0: D^) = и''хх * и''уу — (и''ху)² = 2 * 2 — (0²) = 4 > 0. Следовательно, в точке М₀ — локальный экстремум. Поскольку и''_хх(М₀) = 2 > 0, то в точке М₀(2,1) — локальный минимум.

Тогда: min и (х, у) = и (2,1) = (2)² — 4 * (2) + 1² — 2 * 1 = -5.

ПРИМЕР 2.

Найти точки локального экстремума функции:

22 и = 6х — х + 4у — у.

Решение.

Вычисляем частные производные и приравняем их к нулю: и'_х = 6 — 2х = 0, тогда х = 3; и'_у = 4 — 2у = 0, тогда у = 2 Получаем точку М₀(3,2), в которых возможен экстремум функции и = и (х, у) — точку «подозрительную «на экстремум.

Далее находим частные производные второго порядка:

и''хх = -2, и''ху = 0, и''уу = -2.

В точке М0:

D (^) = и''хх * ы" уу — (и''ху)² = (-2)*(- 2) — (0²) = 4 > 0.

Следовательно, в точке М₀ — локальный экстремум. Поскольку и''_хх(М₀) = -2 > 0, то в точке М₀(2,1) — локальный максимум.

Тогда: тах и (х, у) = и (3,2) = 6 * (3) — (3)² + 4 * 2 — 2² = 13.

ПРИМЕР 3.

и = х — 2 * ху+ 2 * у.

1. Найти точки локального экстремума функции х² — 2 * х* у Решение.

Вычисляем частные производные функции и приравниваем их к нулю:

u'_x = 2х -2у = 0; u’y = -2х + 2 = 0.

Решением системы являются координаты точки М (1,1).

Далее находим частные производные второго порядка:

u'^ = 2; u'^ = -2; u" ^ = 0.

Тогда D = ^'хх^уу — (u%)² = - 4 < 0.

Следовательно, в точке М функция u = f (x, у) не имеет локального экстремума.

ПРИМЕР 4.

Найти точки локального экстремума функции:

u = х² + 2ху +—.

Решение.

Вычисляем частные производные и приравняем их к нулю: u'_x = 2х + 2у = 0, тогда х = -у; u'_Y = 2х + у² = 0, поскольку х = -у, то получаем:

² * ⁽-у⁾ + у² = у ⁽у — ²⁾ = ⁰.

Получаем две точки М₁(0,0) и М₂(-2,2), в которых возможны экстремумы функции u = u (x, у).

Далее находим частные производные второго порядка:

u’xx = 2, u% = 2, u'^ = 2у.

В точке М₁: D (М₁) = u''_xx * u''^ - (u^Mxy)² = 2 * 0 — (2²) = -4 < 0.

Следовательно, в точке М1 нет локального экстремума.

В точке М₂:

D (М₂) = u''_xx * u''^ - (u'y² = 2 * (2 * 2) — (2)² = 4 > 0.

Следовательно, в точке М2 — локальный экстремум, а поскольку u''_xx = 2 > 0, то в точке М₂(-2,2) — локальный минимум.

Тогда: min u (x^) = u (-2,2) = (-2)³ + 2(-2) + 8 = - 4о.

ЗАДАНИЕ Найти точки локального экстремума функций:

• 1). u = х² — 2х + у² — 4у. 2). u = 4х — х² + 2у — у²
• 3). u = х² — 4х + у² — 6у. 4). u = 2х — х² + 4у — у²
• 5). u = х² — ху + у². 6). u = х² -ху — у².