Принцип относительности. 
Физика. 
Механика. 
Электромагнетизм

Все инерциальные системы эквивалентны. Если какое-либо механическое устройство функционирует определенным образом в данной инерциальной системе, то такое же устройство в любой другой инерциальной системе будет функционировать точно так же. Равномерное движение относительно инерциальной системы не влияет на протекание механических процессов. Это положение, известное со времен Галилея, называется принципом относительности. (На самом деле справедливо более сильное утверждение, а именно: равномерное движение не влияет на протекание любых физических процессов.)

Принцип относительности в механике означает, что уравнения движения должны выглядеть одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Поскольку эти уравнения содержат производные координат и скоростей, а координаты и скорости преобразуются определенным образом при переходе от одной системы отсчета к другой, уравнения движения при замене, скажем, штрихованных переменных на нештрихованные не должны изменять своего вида. Уравнения движения должны быть инвариантны (не менять вида) относительно преобразований координат от одной инерциальной системы к другой. Это требование накладывает ограничения на возможный вид уравнений движения.

Для начала, в порядке предварительной тренировки, рассмотрим преобразования Галилея.

Как мы видели (см. п. 2.1.1), событие можно задать матрицейстолбцом X =^*j. Для двух близких событий A', X_v представляющих два последовательных положения частицы, определим матрицу АХ = Х₂ — Х_г Эта матрица преобразуется так же, как X: представляет скорость частицы (сравните это с выводом формул (2.П), (2.13)).

Точно так же находим, что матрица.

преобразуется как матрица U:

Эта матрица представляет ускорение частицы. Равенство (2.55) дает.

откуда видно, что ускорение не преобразуется. Если скорость относительна, то ускорение абсолютно.

На основе второго закона Ньютона можем написать матричное равенство.

Переходя к пределу At0, получим.

(см. формулу (2.4)). Поскольку At = At' (время не преобразуется), из равенства (2.50) следует.

где матрица.

справедливое в системе К'. В развернутом виде.

Матрица F представляет силу.

Умножим равенство (2.57) на матрицу G:

Согласно равенству (2.55), в левой части (2.59) мы получаем т^~ в.

dr.

системе К. Если мы хотим, чтобы второй закон Ньютона выполнялся в системе К, правая часть равенства (2.59) должна представлять силу в системе К:

Сила должна преобразовываться, как координаты и скорость. Однако равенство (2.60) дает еще более жесткое условие. Расписывая это равенство с учетом (2.58), получим.

Видим, что сила не преобразуется: F_x = F'_x.

Принцип относительности в классической механике требует, чтобы сила была инвариантом преобразований Галилея.

Задача 2.9. Проверить, удовлетворяет ли принципу относитель;

dv.

ности уравнение движения вида т—- = -кх.

dr.

Решение. Смотрим, как ведет себя это уравнение при преобразованиях Галилея. Имеем: v_x = v' + V, х — х' + Vt. Подставляя эти равенства в уравнение, получим m^f = -k (x' + Vl'). Уравнение изменило вид! Это значит, что оно не удовлетворяет принципу относительности. Однако это уравнение описывает движение частицы под действием пружины, и его можно встретить в любом учебнике физики (уравнение колебаний). Дело в том, что по смыслу х в уравнении означает не координату, а удлинение пружины, или смещение частицы от положения равновесия. Если под х понимать координату, то силу следовало бы записывать в виде F= —к (х — х₀), х₀ — координата положения равновесия. Это выражение инвариантно относительно преобразований Галилея (убедитесь в этом) и удовлетворяет принципу относительности. (Можно, конечно, совместить начало координат с положением равновесия, но тогда уравнение справедливо только в этой системе координат и ни о каком принципе относительности не может быть речи.).

Обратимся теперь к преобразованиям Лоренца. Событию (х, у, z, t) ставим в соответствие матрицу-столбец X с элементами х, у, z, ct. Преобразование задается формулой.

или в развернутом виде.

Для двух последовательных событий в истории движущейся частицы вводим матрицу ДА" = Х_} — Х_г Она преобразуется так же, как и матрица X:

При обсуждении преобразования Галилея мы ввели матрицу U для скорости, деля ДА' на At, и получили матрицу, преобразующуюся как матрица координат (см. формулу (2.51)). Здесь мы не можем поступить таким же образом, так как в отличие от преобразований Галилея, величина At не является инвариантом относительно преобразований Лоренца. Однако и в этом случае есть подходящий инвариант.

Мы видели (см. п. 2.1.8), что величинам² = Дх² + Ду² + Az² — c²At² инвариантна относительно преобразований Лоренца. Если эта величина определена для наших двух событий, то.

Таким образом, величина.

инвариантна (не изменяется) относительно преобразований Лоренца, т. е.

Если скорость частицы равна нулю, величина Дт равна временному промежутку, разделяющему два события, и измеряется часами. Отсюда заключаем, что эта величина в общем случае есть временной промежуток между двумя событиями в истории частицы по ее часам (так называемое собственное время).

Возвращаясь к формуле (2.63), видим, что если обе части равенства разделить на Дт, получим новую матрицу U, равную U = dX/dx, которая преобразуется так же, как АХ:

Элементами матрицы U будут величины yv, Y^v_y> W Y^c- Первые три из них, умноженные на массу частицы, дадут компоненты импульса (см. формулу (2.33)). Таким образом, матрица.

представляет импульс частицы. Из равенства (2.67) следует, что Дифференцируя равенство (2.69) по собственному времени частицы х, получим.

(Было учтено, что dx = dx'.) Матрица dP/dx в системе, где частица покоится, имеет своими элементами величины mdv_x/dt, mdvjdt, mdv_z/dl, 0.

Пусть система К' — система покоя частицы. В этой системе, согласно второму закону Ньютона, будем иметь.

где F' — матрица-столбец с элементами F_x, F' F'_z, 0. Первые три из них — компоненты ньютоновской силы, измеряемой динамометром. Умножив равенство (2.71) на матрицу L, получим уравнение в системе К:

Матрица F, представляющая силу в системе К, будет равна.

Равенство (2.72) совместно с (2.73) дает уравнения движения’в системе К:

При этом F_x = F'_x, F_y = F_y/у, F_t = F’Jy, где, напомним, штрихованные компоненты силы — это показания динамометра в системе покоя частицы. Обратите внимание на то, что х-я компонента силы выражается через показания динамометра не так, как у-,^{-компоненты.} Это связано с тем, что в системе К ось х направлена вдоль скорости частицы (так была получена эта система), так что F_x — это тангенциальная составляющая силы, а компоненты F_y, F_z дадут в сумме нормальную составляющую.

Таким образом, исходя из второго закона Ньютона в системе покоя частицы, где он, безусловно, справедлив, с помощью принципа относительности мы смогли получить уравнения движения в произвольной системе. Но это еще не все.

Из равенств (2.72), (2.73) в виде приза получаем еще одно равенство (четвертая строка матрицы):

Возникает вопрос: откуда оно взялось? Мы начинали с трех уравнений второго закона Ньютона в системе покоя частицы. Из трех уравнений нельзя получить четыре независимых уравнения, поэтому надо полагать, что уравнение (2.75) является их следствием. Так оно и есть. Равенство (2.75) выражает важный физический факт, смысл которого выяснится чуть позже.

Задача 2.10. Космический корабль разгоняется с постоянным в сопутствующей системе ускорением, равным g (сопутствующая система отсчета — это система, в которой в данный момент скорость объекта равна нулю). За какое время скорость корабля достигнет значения 0,9с?

Решение. Отметим прежде всего, что ускорение, о котором идет речь, — это именно то ускорение, которое ощущают обитатели корабля (и показывает акселерометр). Для того чтобы корабль имел такое ускорение, должен работать двигатель с тягой F= mg, где т — масса корабля. Первая из формул (2.74) дает уравнение Это уравнение немедленно интегрируется, и мы находим, что v/J — v²/c² = gt. Отсюда для времени разгона получаем 1 = 610⁷с. (Это примерно два года.).

Задача 2.11. В условиях предыдущей задачи найти, сколько времени будет длиться разгон по часам обитателей корабля.

Решение. Как мы видели, интервал собственного времени равен.

так что для собственного времени разгона получим.

Чтобы вычислить интеграл, нужно знать скорость как функцию времени. Из решения предыдущей задачи находим.

В результате получаем табличный интеграл и окончательно находим.

Подставляя числа, получим для времени разгона около полутора лет. Результат не очень впечатляющий. Если разгон производится до скорости 0,99с, время разгона будет по земным часам около семи лет и по собственному времени 2,6 года.

Задача 2.12. На космическом корабле, движущемся со скоростью 0,9с, для коррекции траектории включили двигатель, обеспечивающий в сопутствующей системе ускорение g перпендикулярно скорости корабля. Каков будет радиус кривизны траектории корабля?

Решение. В сопутствующей системе двигатель развивает тягу Fmg. В исходной системе этому соответствует, согласно (2.74), сила F_n = mg/y. Из формулы (2.49) находим R = pv/F_n = y²mv²/mg = yV/g. Подставляя числа, получаем R = 3,8 10¹⁰км. Это в 250 раз больше расстояния от Земли до Солнца. Если считать по формулам классической механики, радиус был бы в 5 раз меньше.