Момент импульса твердого тела

Момент импульса твердого тела связан с угловой скоростью вращения тела. Момент импульса системы (см. формулу (3.38)).

Пусть ?! — радиус-вектор й частицы. Положим /• = R + г/, т. е. ?! — радиус-вектор, проведенный из центра масс в точку нахождения /-й частицы. Формула (3.36) дает.

Положим.

(Это момент внешних сил относительно центра масс.) Предыдущее равенство примет вид.

Но, согласно равенству (3.3), dP/dt = F, так что.

Это важный результат: достаточно определить изменение собственного момента импульса системы. Уравнение для полного момента при этом удовлетворяется автоматически.

Возвращаясь к нашей проблеме, заключаем, что достаточно найти собственный момент импульса твердого тела (момент относительно центра масс). Мы уже сталкивались с этой задачей (см. задачи 3.13, 3.14), однако в общем случае ситуация не столь проста.

Дело обстоит следующим образом. С каждым телом связаны три взаимно ортогональные оси, проходящие через центр масс, называемые главными осями моментов инерции. Для каждой из осей вычисляется величина /_а, а = 1,2, 3, по следующему правилу. Тело разбивается на малые элементы массой Ат_г Пусть г. — расстояние от /-го элемента до оси. Тогда.

суммирование — по всем элементам, на которые разбито тело, и для трех осей. Величины 1_а называются моментами инерции тела относительно соответствующих осей (главные моменты инерции).

Если теперь с главными осями связать базисные векторы /, у, Л, компоненты вектора L в этом базисе будут связаны с компонентами вектора угловой скорости в этом же базисе формулой.

Как видим, векторы момента импульса и угловой скорости не совпадают по направлению (кроме случая, когда все три момента инерции совпадают или один равен нулю, а два других одинаковы), но все же связь между ними линейная (увеличение угловой скорости в 2 раза увеличивает момент импульса в 2 раза). Связь между векторами момента и угловой скорости (3.86) выглядит достаточно простой, однако простота эта обманчива. Базисные векторы жестко связаны с телом и вращаются вместе с ним, что нужно учитывать при вычислении компонент векторов в этом базисе.

Остался невыясненным один вопрос — как найти главные оси? Для произвольного тела решение этой проблемы непростое, и мы не будем здесь ее обсуждать. Практически достаточно следующих соображений. Момент инерции тела относительно оси зависит от распределения массы относительно этой оси: чем далее в среднем удалены массы от оси, тем больше момент (это видно из формулы (3.85)). Так вот, из трех главных моментов один максимален (по сравнению с моментами относительно всех осей, проходящих через центр масс), а другой минимален. Если тело обладает осью симметрии, то она является одной из главных осей. В большинстве практических ситуаций этих соображений достаточно для нахождения главных осей.

Задача 3.21. Найти главные моменты инерции гантели (см. задачу 3.13).

Решение. Гантель (система из двух частиц, соединенных невесомым стержнем) — простейший представитель твердого тела. Эта система, очевидно, обладает осью симметрии (прямая, на которой лежат частицы), так что одну главную ось мы нашли.

Момент инерции относительно этой оси находим по формуле (3.85):

(Расстояния от частиц до оси равны нулю!) Две другие оси проходят через центр масс ортогонально оси симметрии. Симметрия такова, что их выбор, очевидно, произволен, и соответствующие моменты инерции одинаковы. Из решения задачи 3.13 следует.

Приведем без доказательств моменты инерции некоторых тел.

1) Сплошной однородный цилиндр радиусом R, длиной /:

(Вектор / — вдоль оси симметрии, векторы j, к произвольно.) В частности, при R -э О (тонкий стержень) /, =0, /, = /₃ = -L/n/²; при / —> 0 (тонкий диск).

2) Сплошной однородный шар радиусом R:

Тело, у которого один из главных моментов равен нулю, а два других одинаковы, называется ротатором. Таким образом, гантель и тонкий стержень — ротаторы.

Дополнение (для знатоков матричной алгебры). Формулу (3.86) можно представить следующим образом. Если вектору поставить в соответствие матрицу-столбец из компонент вектора, то будем иметь.

или в развернутом виде.

Появившаяся здесь 3×3-матрица / представляет так называемый тензор моментов инерции. Формула (3.91) эквивалентна (3.86), но если бы дело ограничивалось этим, то не стоило бы огород городить.

Диагональный вид матрицы /связан с тем, что базисные векторы совпадают с главными осями инерции. Если перейти к другому базису, компоненты векторов момента импульса и угловой скорости изменятся, формула (3.86) потеряет смысл, однако формула (3.90) сохранит силу, при этом, правда, матрица / не будет уже диагональной. Существуют правила преобразования матриц, представляющих тензоры, при переходе от одного базиса к другому, которые мы не будем здесь обсуждать. Что касается понятия тензор, то тензор можно рассматривать как линейный оператор, ставящий в соответствие одному вектору другой, в частности тензор моментов инерции переводит вектор угловой скорости в вектор момента импульса. Если вектор представляется матрицей-столбцом, тензор представляется квадратной матрицей, а действие тензора на вектор — матричным произведением. (Правда, если быть совсем точным, речь идет о тензоре второго ранга. Тензор третьего ранга — это линейный оператор, ставящий в соответствие вектору тензор второго ранга и т. д.).