Равновесие жидкости в сосуде, равномерно вращающемся относительно вертикальной оси

При равновесии в движущемся сосуде жидкость движется вместе с сосудом как единое целое, т. е. находится в состоянии относительного покоя.

Рассмотрим цилиндрический сосуд радиусом (рис. 2.9), заполненный до некоторого уровня жидкостью плотностью и приведенный во вращение с постоянной угловой скоростью относительно вертикальной оси. Через некоторое время после начала вращения сосуда жидкость под действием сил трения будет вращаться с той же скоростью, что и сосуд. Установится равновесие жидкости относительно сосуда или, иначе говоря, относительно вращающейся вместе с сосудом неинерциальной системы координат. При написании уравнений равновесия в неинерциальной системе необходимо в число действующих сил вводить переносную силу инерции. В рассматриваемом случае такой силой является центробежная сила, направленная вдоль радиуса и равная для элементарной массы, вращающейся на расстоянии от вертикальной оси. Кроме центробежной силы на любую частицу действует сила тяжести. Проекции вектора плотности распределения массовых сил при этом:

от силы тяжести.

;; ;

от переносной силы инерции.

;; ,.

где и — горизонтальные координаты произвольно выбранной точки A жидкости.

Рис. 2.9.

Рассмотрим здесь два вопроса.

Форма поверхностей равного давления. Используем уравнение поверхности равного давления (2.10).

и, подставляя в него выражения для и, найдем.

.

После интегрирования получим.

или, поскольку.

.

. (2.23).

Из (2.23) ясно, что поверхности равного давления в рассматриваемом случае представляют собой семейство конгруэнтных параболоидов вращения с вертикальной осью. Различным значениям постоянной соответствуют разные параболоиды равного давления.

Свободная поверхность также является поверхностью равного давления, во всех точках которой давление равно внешнему давлению .

Найдем значение произвольной постоянной для параболоида свободной поверхности. Координаты вершины параболоида. Подставив эти координаты в уравнение (2.23), получим.

.

Уравнение свободной поверхности.

или.

. (2.24).

Частица жидкости, находящейся в состоянии относительного покоя во вращающемся сосуде, расположенная на расстоянии радиуса от оси вращения, имеет линейную скорость. Высота, на которую поднята над вершиной параболоида точка свободной поверхности (например,), равна.

. (2.25).

Ордината вершины параболоида свободной поверхности при заданной угловой скорости зависит от объема жидкости в сосуде. Если до вращения сосуда уровень жидкости был горизонтальным и устанавливался на высоте, то объем жидкости равнялся. При вращении сосуда свободная поверхность становится параболической, форма объема жидкости изменяется, а его значение при =const остается неизменным:

.

После интегрирования имеем.

или.

.

Полагая, найдем угловую скорость и, при которой свободная поверхность жидкости коснется дна сосуда:

.

Закон распределения давлений. Используя дифференциальное уравнение равновесия жидкости (2.5) и подставляя в него проекции плотности распределения массовых сил, получаем.

. (2.26).

После интегрирования уравнения (2.26) имеем.

. (2.27).

Подставив в уравнение (2.27) координаты вершины параболоида свободной поверхности = 0, и давление, найдем.

.

Подставив найденное значение в (2.27), получим.

. (2.28).

Так как по (2.25) для любой точки, то можно переписать (2.28) в виде.

или.

(2.29).

где — глубина погружения точки под свободной поверхностью, т. е. измеренное по вертикали расстояние от свободной параболической поверхности до рассматриваемой точки. Таким образом, в жидкости, покоящейся в равномерно вращающемся сосуде, давление по вертикали распределяется по гидростатическому закону.