Кольца. 
Дискретный анализ. 
Основы высшей алгебры

Перейдем теперь к рассмотрению более сложной алгебры алгебры с двумя операциями. Операции будем всегда обозначать как сложение и умножение, хотя к обычным сложению и умножению они могут не иметь никакого отношения.

Определение кольца и простейшие свойства

Кольцо это множество R с двумя бинарными операциями сложения 4- и умножения • такими, что.

R1: относительно сложения R — коммутативная группа (которая называется аддитивной группой кольца);

R2: умножение ассоциативно;

R3: а*(6+с) = а-6+а-с; (6+с)-а = 6-а+с-а (дистрибутивность умножения относительно сложения слева и справа).

Если в кольце имеется единичный элемент для умножения, то кольцо называется кольцом с единицей. Мы будем обозначать единицу через 1, несмотря на двусмысленность такого обозначения. Если умножение коммутативно, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

Замечание 2.1. В литературе встречается другое определение кольца, в котором опущена аксиома ассоциативности R2.

В таких книгах кольца с ассоциативным умножением называются ассоциативными. Нам удобнее использовать более узкое понятие кольца.

Замечание 2.2. Когда рассматриваются кольца с единицей, почти всегда исключается вырожденный случай 0 = 1. Далее всегда предполагается, что в кольцах с единицей 0¹.

Обратного элемента по второй операции (умножению) в кольце может и не быть. Поэтому уравнение ах = Ь может не иметь решений в кольце.

Классический пример кольца — это множество целых чисел с операциями сложения и умножения. Обозначается кольцо целых чисел через Z. Обратного элемента, но умножению нет для всех целых чисел, за исключением ±1. Другой важный пример кольца — кольцо многочленов — подробно рассматривается ниже (раздел 2.2).

Из аксиом кольца следует довольно много тривиальных следствий. Приведем здесь только самые необходимые, и будем вводить остальные по мере надобности.

Утверждение 2.3. В любом кольце а (Ь — с) = ab — ас.

Это утверждение означает, что дистрибутивность выполняется и для вычитания (сложения с противоположным, т. е. обратным относительно сложения).

Доказательство, а (Ь — с) + ас = а (Ь — с + с) = ab. ?

Конечно, выполняется также и равенство (6 — с)а = Ьа — са.

Утверждение 2.4. В любом кольце, а ? 0 = 0.

Доказательство, а • 0 = a (b — b) = ab — ab = 0. ?

Выполняется также и аналогичное равенство при умножении на 0 слева: 0 • а = 0.

Для чисел и многочленов выполняется такое свойство: если произведение двух элементов равно нулю, то хотя бы один элемент равен нулю. В общем случае это свойство может не выполняться. Давайте рассмотрим некоторые примеры.

Пример 2.5. Множество целых чисел с операциями сложения и умножения по модулю 4. Более точно, мы рассматриваем операции на множестве вычетов по модулю 4, т. е. не различаем числа, разность которых делится на 4. Относительно этих операций множество из четырех различных вычетов по модулю 4, т. е. {0,1,2,3}, образует кольцо. И в этом кольце произведение двух не равных нулю элементов может быть нулевым: 2−2 = 0.

Пример 2.6. Прямым обобщением предыдущего примера является кольцо вычетов по модулю п, где п — натуральное число. Элементами этого кольца, которое мы будем обозначать Z_n, являются числа 0,1,…, п — 1. Сложение и умножение в этом кольце определяются как сложение и умножение по модулю п. Аналогично предыдущему примеру можно заметить, что если число п = ab — составное, то ab = 0 в Z_n. Оказывается, что если п — простое, то произведение ненулевых элементов в Ъ_п обязательно отлично от 0. Доказательство этого утверждения будет приведено ниже (см. раздел 2.7).

Пример 2.7. Есть еще один важный пример — кольцо непрерывных функций на отрезке [0,1] с обычными операциями поточечного сложения и умножения функций: (/ + д)(х) = = f (x)+g (x), (f-g)(x) = f (x)g (x). Нулем этого кольца является функция, тождественно равная нулю. Рассмотрим две ненулевых функции /, д, графики которых изображены на рисунке. Очевидно, что произведение этих функций тождественно равно нулю.

Пример 2.8. По двум кольцам Ri, /?2 можно определить их прямую сумму R1 Ф R-2 аналогично прямому произведению групп, которое было определено в примере 1.35 и прямой сумме абелевых групп, которая была определена в разделе 1.12.

Кольцо R 0 Я2 состоит из всевозможных нар (/1,7*2), где т*1? j? i, 7*2 € R2- Операции определяются так:

(для простоты обозначений мы используем одни и те же символы для операций в обоих кольцах).

Проверка аксиом кольца для прямой суммы колец выполняется механически. По сложению это группа, которая есть прямое произведение аддитивных групп колец R и /?2- Ассоциативность умножения и дистрибутивность проверяются покомпонентно.

В прямой сумме колец несложно построить пару ненулевых элементов, произведение которых равно нулю. Используем утверждение 2.4:

Ненулевые элементы кольца, произведение которых равно нулю, имеют специальное название — делители нуля. Технически бывает удобно различать левые и правые делители нуля. Элемент а? R называется правым (левым) делителем нуля, если для некоторого b? R выполняется Ьа = 0 (ab = 0).

Наличие делителей нуля в кольцах является крайне неприятным эффектом. Поэтому выделяется класс колец без делителей нуля. Коммутативные кольца без делителей нуля называются целостнылш кольцами (или областями целостности). Как правило, мы будем рассматривать целостные кольца, поскольку они дают важные для приложений примеры.