Сложение скоростей в релятивистской механике

Как мы видели, из преобразований Галилея следовал закон сложения скоростей, несовместимый с постоянством скорости-света во всех системах отсчета. Из преобразований Лоренца должен получиться правильный закон сложения скоростей.

Пусть события X_v Х₂ — два последовательных положения движущейся частицы.

Тогда Ах = v_xA/, Ах' = v_x'AФормула (2.19) дает.

или Полезно сравнить эту формулу с формулой (2.12), следующей из преобразований Галилея. Перемножая матрицы в правой части равенства (2.22), получим.

Деля первое из этих равенств на второе, будем иметь.

Это и есть новый закон сложения скоростей.

Для других компонент скорости получим Ду = v_yAt = Ду' = v 'At', откуда с учетом формулы (2.23) находим.

Аналогичная формула имеет место и для компоненты v .

Формулы (2.24), (2.25) можно обратить, т. е. выразить штрихованные компоненты через нештрихованные. Занятие это не очень приятное, но результат можно написать сразу: достаточно переставить штрихи и сменить знак скорости V(это следует просто из симметрии систем К, К'). Таким образом,.

Из этих формул видно, что скорость света не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой. С другой стороны, при достаточно малых скоростях преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, и старый закон сложения скоростей оказывается справедлив.

Задача 2.4. Скорость частицы в системе К' имеет компоненты v' = v’cosa, v' = v’sina. Какова будет скорость частицы в системе К1 Под каким углом р к оси х будет двигаться частица в этой системе? Решение. Имеем:

Если Vстремится к скорости света, v стремится к нулю и угол Р стремится к нулю.