Законы Кирхгофа для мгновенных значений сигналов

Два закона Кирхгофа устанавливают уравнения электрического равновесия между токами в узлах и напряжениями в контурах цепи.

Под алгебраическим суммированием понимают сложение или вычитание соответствующих величин.

Можно использовать и другую формулировку первого закона Кирхгофа: сумма мгновенных значений втекающих в узел токов равна сумме мгновенных значений вытекающих токов.

Пример схемы цепи показан на рис. 1.23, она повторяет схему на рис. 1 20 с указанием положительных направлений и обозначений токов и напряжений во всех элементах, а также номеров узлов (в кружках).

Рис. 1.23.

В цепи четыре узла и для каждого из них можно записать уравнение первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов ветвей,.

• — узел 0: ;
• — узел 1: ;
• — узел 2: ;
• — узел 3: .

Нетрудно убедиться, что если просуммировать уравнения для узлов и умножить результат на -1, то получим уравнение для узла 0. Следовательно, одно из уравнений (любое) линейно зависимо от остальных, и должно быть исключено. Таким образом, система уравнений по первому закону Кирхгофа для цепи рис. 1.23 может быть записана в виде.

Очевидно, можно записать и другие варианты этой системы уравнений, но все они будут эквивалентны.

Физическим обоснованием первого закона Кирхгофа является принцип не накопления заряда в узле цепи. В любой момент времени заряд, поступивший в узел от втекающих токов должен быть равен заряду, покидающему узел за счет вытекающих токов.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС идеальных источников напряжения, включенных в этот контур.

Для выбора знаков в алгебраических суммах необходимо задать положительное направление обхода контура (чаще всего его выбирают по часовой стрелке). Тогда, если направление напряжения или ЭДС совпадает с направлением обхода, то в алгебраической сумме записывается знак плюс, а иначе — знак минус.

Количество уравнений по второму закону Кирхгофа равно числу независимых контуров цепи, не содержащих идеальные источники тока. Оно определяется выражением.

(1.33).

где — число ветвей без идеальных источников тока, а — число узлов.

Независимыми называют контуры, которые отличаются друг от друга хотя бы одной ветвью.

В схеме на рис. 1.23, (одна ветвь содержит идеальный источник тока) и. Тогда в ней имеется независимых контура. Как видно, общее число контуров существенно больше .

Выберем следующие независимые контуры:

• — e, R1, C1,
• — C1, R2,C2,C3,
• — C3R3, L, R4,

с положительным направлением обхода по часовой стрелке и для них запишем уравнения второго закона Кирхгофа в виде.

(1.34).

Можно выбрать и другие независимые контуры, например,.

• — e, R1, C1,
• — C1, R2,C2,C3,
• — e, R1, R2,C2,C3,

и для них записать уравнения второго закона Кирхгофа, которые будут эквивалентны системе (1.34).

Второй закон Кирхгофа базируется на фундаментальном законе природы — законе сохранения энергии. Сумма напряжений на элементах замкнутого контура равна работе по переносу единичного заряда в пассивных элементах контура, а сумма ЭДС — работе сторонних сил в идеальных источниках напряжения по переносу в них того же единичного заряда. Так как в результате заряд возвратился в исходную точку, то эти работы должны быть одинаковы.