Логическое определение числа

Определению числа как объема равночисленных понятий Фреге предпосылает доказательство, что объемы понятий являются специфически логическими объектами. Чтобы доказать это, Фреге формулирует ответы на следующие три взаимосвязанные вопроса:

• (1) Что такое логический объект?
• (2) Что такое логическая объективность?
• (3) Что такое закон логики?

Исходный пункт размышлений Фреге — не всякое знание является эмпирическим. Это следует из существования априорных и аналитических истин арифметики, фундаментальных как для теоретического, так и эмпирического знания. Без них невозможна индукция и тем самым — апостериорное обоснование. Математика, следовательно, — не просто часть общего и специального знания человека о природе, а его фундамент. Не было бы математики — никакая наука была бы невозможна в принципе.

Фреге далее доказывает, что не всякое знание является субъективным. Идеи не существуют без субъекта, но субъект не есть идея. Следовательно, существует нечто, что не является субъективным знанием. В каждой идее существует то, что связывает ее именно с этим, а не другим субъектом, делает ее субъективной, и то, что связывает ее с более чем одним субъектом. Именно эта вторая компонента всякой идеи, называемая мыслью, представляет первичный логический объект.

Понятие объекта Фреге определяет противоположным образом традиционному представлению и с существенным отличием от кантовского. Объект — формальное содержание суждения, т. е. мысль, которая никаким образом не зависит от внешнего мира, интуиции и способности чувственного созерцания. Так как мысли не обладают пространственно-временными характеристиками, то объекты Фреге носят исключительно логический характер. «Однако, быть может, на это возразят, что даже если Земля и на самом деле непредставима, она все-таки является внешней вещью, занимающей определенное место; но где находится число 4? Его нет ни вне нас, ни в нас. В пространственном смысле последнее понимается правильно. Определение местонахождения числа 4 не имеет смысла; но отсюда вытекает только то, что оно не является пространственным предметом, а не то, что его вообще нет»^[1].

Объекты характеризуются свойствами тех выражений, которые их обозначают и называются их собственными именами. Фреге формулирует четыре критерия, которым должны удовлетворять объекты. Их собственные имена, не должны начинаться с неопределенного артикля; не должны содержать свободных переменных; не могут использоваться предикативно (но могут входить как часть предиката); могут входить слева и справа от знака равенства, т. е. образовывать законченные предложения. Выражения, содержащие числа (например, «число семь», «быть равным числу семь»), удовлетворяют этим критериям. Следовательно, числа, которые они обозначают, являются логическими объектами.

Мысли, но не идеи, частью которых они являются, объективны, существуют вне времени и пространства, самодостаточны и сами по себе совершенны. Субъективно то, что связано с некоторым носителем, зависит от субъекта, определяется им. Объективно то, что понимается более чем одним субъектом в одном и том же смысле, т. е. то, что по своей природе интерсубъективно. Любая мысль истинна или ложна независимо от того, какое личное значение истинности приписывает ей ее субъект или даже все субъекты вместе. Гносеологическая независимость мысли делает ее объективной. Но объективность мыслей лишь логическая, т. е. она не постулирует реального существования мыслимых вещей. Логическая объективность не влечет реального существования ни самих мыслей, ни их референтов. «Л отличаю объективное от осязаемого, пространственного, действительного. Земная ось, центр массы Солнечной системы являются объективными, но я не могу назвать их действительными, как саму Землю. Экватор часто называют мысленной линией, но было бы ложным назвать его выдуманной линией; он не является результатом душевного процесса, возникшим посредством мысли, но лишь познается, схватывается посредством мысли»^[2].

Область мыслимого и исчислимого — высшая и универсальная область объективного знания, включающая логические законы и все логические объекты — мысли и их объемы, истину и ложь, понятия, числа, функции, отношения и т. п. «Для понятийного же мышления можно принять противоположное той или иной геометрической аксиоме, без того чтобы, если следствия выводятся из таких конфликтующих с созерцанием предпосылок, запутаться в противоречиях с самим собой. Эта возможность показывает, что геометрические аксиомы независимы друг от друга и от первичных логических законов и являются синтетическими. Можно ли сказать то же самое об основоположениях науки о числах? Не смешается ли все, если захотелось бы отрицать одну из них? Было ли бы тогда еще возможно мышление? Не лежит ли основание арифметики глубже, нежели основа всего опытного знания, даже глубже, чем основание геометрии? Арифметические истины господствуют над областью исчислимого. Это основание является всеобъемлющим, так как ему принадлежит не только действительное, не только созерцаемое, но и все мыслимое. Разве не должны тогда законы чисел находится в теснейшей связи с законами мысли?»^[3]

Логические законы — строго универсальные утверждения, распространяющие свою истинность на все вещи универсума. Отличительные черты логических законов — их универсальность и истинность. Универсальность законов логики означает, что им подчиняются все без исключения вещи универсума. Их истинность — истинность правил вывода. Логика вообще должна рассматриваться как наука о законах истины. Истина — ее подлинный предмет и единственная цель.

Аналитическая истинность арифметики, особый статус ее объектов несовместимы с формалистской интерпретацией ее утверждений. Фреге специально подчеркивает, что если арифметические уравнения считать неинтерпретированными формулами, то их истинность будет иметь не больше смысла, чем особое расположение фигур на шахматной доске. Самое большее, на что способна формалистки интерпретированная арифметика, — это доказательство непротиворечивости своих правил. Но из этого доказательства не следует с необходимостью истинность ее утверждений. Знаки без того, что они обозначают, — нелепость. «О знаках можно ничего не говорить; никто ничего не желает знать о знаках, если их свойство одновременно не выражает свойство обозначаемого. Здесь без логической ошибки одно и то же может иметь различные знаки; числу знаков даже не нужно совпадать с числом обозначаемого»^[4].

Логические объекты не могут быть даны с помощью интуиции или наглядного созерцания. Они задаются, согласно Фреге, контекстом тех предложений, в которые входят утверждения с их собственными именами. В следующем отрывке из «Основоположений арифметики» Фреге вводит так называемый контекстный принцип значения. «Стало быть, непредставимость содержания слова не является основанием лишить его всякого значения или исключить из обихода. Противоположный взгляд, вероятно, возникает вследствие того, что мы рассматриваем слова изолированно, а потом спрашиваем об их значении, за которое затем принимаем представление. Таким образом, кажется, что слово, которому недостает соответствующего внутреннего образа, не имеет содержания. Необходимо, однако, всегда учитывать полное предложение. Только в нем слова обладают подлинным значением. Внутренний образ, который при этом как бы витает, не обязательно соответствует логически составной части суждения. Достаточно, если предложение имеет смысл как целое; благодаря этому свое содержание получают также и его части»^[5].

Каким образом, спрашивает Фреге, можно определить число, если мы не в состоянии обладать его представлением или созерцанием? Ведь слова обозначают нечто только в контексте предложения. Ответ следующий — посредством объяснения смысла предложения, в которое входит числительное. Контекст предложения задает цель счета и тем самым понятие числа и само число как его объект.

Необходим также критерий равенства для чисел, определяемых как понятия. О значении равенства для математики в целом свидетельствует следующее признание Фреге. «Если мы удалим, — пишет он, — равенство из арифметики, вряд ли что-нибудь останется от нее как науки»^[6]. Благодаря отношению равенства различаются и отождествляются все объекты универсума. В отношении чисел принципиальное открытие Фреге состоит в следующем. Всякое выражение вида «Существует п объектов, выполняющих понятие F» можно заменить суждением равенства «число вещей, выполняющих понятие F, равно п». Это открытие позволило Фреге ввести критерий равенства для высказываний, содержащих числа: «Число, соответствующее понятию F, является тем же самым, как и число, соответствующее понятию С7». Данное определение, признает Фреге, он заимствовал у Лейбница: «Тождественные [объекты] суть те, один из которых может быть поставлен вместо другого с сохранением истинности [всего отношения]»^[7]. Данное заимствование свидетельствует о том, что Фреге не различал отношения равенства и тождества. Причина этого в том, что в каждое определение он рассматривал как равенство.

Введенный критерий позволяет образовывать суждения равенства, каждая сторона которого является числом (является равночисленным понятием). Пусть F’s обозначает число объектов, образующих объем понятия F; аналогично для G’s. Отношение взаимно однозначного соответствия объемов Фреге называет равночисленностью.

Понятия F и G равночисленны (объекты их объемов находятся во взаимно однозначном соответствии), если и только если число F’s равно числу G’s.

Фреге разъясняет приведенное определение следующим рассуждением: «Если официант хочет быть уверен, что он положил на стол ножей столько же, сколько и тарелок, ему нет надобности считать и те и другие; как только он справа от каждой тарелки рядом положит нож, каждый нож на столе будет находиться рядом с соответствующей тарелкой. Тарелки и ножи будут взаимно однозначно соотнесены друг с другом, и притом, в равном соотношении местоположений»^[8].

После анализа и критики определений, с которыми он не согласен, Фреге достигает, наконец, собственной дефиниции числа. Как логический объект, всякое натуральное число есть понятие, элементы объема которого находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами объемов всех эквивалентных ему понятий. Более точно^[9]:

Числом понятия F называется объем понятия «равночисленно понятию F», т. е. класс всех понятий, которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие с F (класс всех эквивалентных классов, образующих объем понятия F).

Будем говорить, что объект выполняет понятие F (подпадает под понятие F, в терминологии Фреге), если и только если он является элементом объема F.

Из приведенного определения следует, что:

Число 0 = число понятия F = быть не равным самому себе.

= число понятия F, объем которого содержит 0 Fs.

= не существует ни одного объекта, выполняющего понятие F.

Число 1 = число понятия F = быть равным 0.

= число понятия F, объем которого содержит точно 1 F. = существует объект х, выполняющий понятие F, и для всякого другого объекта у, выполняющего F, истинно: х= у.

Число 2 = число понятия F = быть равным 0 или 1.

= число понятия F, объем которого содержит точно 2 Fs. = существуют два различных объекта х и у, х * у, выполняющих понятие F, и для любого третьего объекта z, выполняющего F, истинно: либо z = х, либо z =у.

Число п = число понятия F= быть равным 0 или 1, или п.

= число понятия F, объем которого содержит точно п F’s. = существуют п различных объектов х, у,л, выполняющих понятие F, х * у, х * z, …_Уу Ф z, и для всякого (п + 1)-го объекта w, выполняющего F, истинно либо w = jc, либо w =у, либо w — п.

0 определяется Фреге как число понятия быть «е равным самому себе. Из этого определения и определения равенства следует, что число 0 равно числу Fs, если и только если вещи, выполняющие F’s, можно поставить во взаимно однозначное соответствие с вещами, которые не равны самим себе. Но ни одна вещь не является не равной самой себе. Поэтому число F’s можно поставить во взаимно однозначное соответствие с вещами, которые не равны самим себе, только в том случае, если и только если не существует ни одной вещи, удовлетворяющей понятию F. Таким образом, число Fs равно 0 тогда и только тогда, когда не существует ни одной вещи, выполняющей понятие F. «Ведь утверждение существования есть не что иное, как отрицание числа ноль»^[10].

В отношении выбора понятия для числа 0 Фреге дает следующее пояснение. «Я могу принять за определение 0 любое другое понятие, под которое ничего не подпадает. Но дело в том, что мне нужно выбрать такое понятие, которое может быть доказано чисто логически; и для этого „не равное себе“ представляется удобным. Причем для „равное“ (на самом деле тождественное. — В. С.) я признаю приведенное выше объяснение Лейбница, являющееся чисто логическим. Теперь с помощью прежних установлений должно быть возможным доказательство того, что каждое понятие, под которое ничего не подпадает, равночисленно с каждым понятием, под которое не подпадает ничего, и только с такими понятиями; отсюда следует, что 0 — это число, соответствующее такому понятию, и что предметы не подпадают под понятие, если соответствующее ему число есть О»^[11].

Число 1 определяется как число понятия быть равным 0. Так как только одна вещь равна 0, то число Fs равно 1, если и только если Fs можно поставить во взаимно однозначное соответствие с вещами, равными 0 (т. е. если и только если существует ровно одна вещь со свойствами F).

Комментарий Фреге: «Чтобы теперь перейти к числу 1, мы должны сразу же показать, что существует нечто такое, что в натуральном ряду чисел следует непосредственно за 0. Мы рассмотрим понятие — или, если угодно, предикат — „равно 0“ ! Под него подпадает 0. Напротив, под понятие „равно 0, но не равно 0“ не подпадает никакой предмет, так что 0 — это число, которое принадлежит данному понятию. Таким образом, у нас есть понятие „равно 0“ и некий предмет 0, под него подпадающий; отсюда имеет силу следующее: число, соответствующее понятию „равно 0“, равно числу, соответствующему понятию „равно 0“; 0 — это число, соответствующее понятию „равно 0, но не равно 0“. Стало быть, согласно нашему объяснению, число, соответствующее понятию „равно 0“, в натуральном ряду чисел непосредственно следует за О»^[12].

Определение произвольного числа п принципиально ничем не отличается от приведенных определений чисел 0, 1 и 2. Высказывание «п — число понятия F» должно в общем случае интерпретироваться как «объем понятия F находится во взаимно однозначном соответствии с числами, меньшими или равными л», или как «существует точно п объектов х таких, что каждый из них является элементом объема F».

Пусть выражение xFx символизирует логический объект, связанный с понятием F, т, е. объем F (для каждого объекта *, если д; выполняет F, истинно, что он является элементом объема F). Тогда следующие два равенства выражают основное содержание определения числа Фреге:

Несмотря на то, что определение числа Фреге порождает всю последовательность натуральных чисел, этого еще недостаточно для того, чтобы назвать ее натуральным рядом чисел. Для этого необходимо определить отношение следования, в котором находятся любые два смежных члена натурального ряда чисел. Неформально это означает, что необходимо доказать, что за каждым натуральным числом п всегда следует число, большее его на одну единицу, п + 1, и что не существует конечного члена натурального ряда чисел.

С этой целью Фреге сначала определяет отношение у непосредственно следует за х^[13]:

у непосредственно следует за х, если и только если существует понятие F и объект z такой, что:

• • z выполняет понятие F;
• • у — есть число понятия F;
• • х — число понятия объект, не равный z, выполняющий понятие F.

Пояснением определения отношения у непосредственно следует за х служит следующий пример^[14]. Допустим, рассматривается пара чисел 1 и 2. Ясно, что число 2 непосредственно следует за числом 1 по числовой шкале. Пусть дано понятие F = быть соавтором Principia Mathematica и объект z = А. Уайтхед такие, что:

• • Уайтхед выполняет понятие быть соавтором Principia Mathematica;
• • 2 — число понятия быть соавтором Principia Mathematica;
• • 1 — число понятия соавтор Principia Mathematica, отличный от Уайтхеда.

Последнее условие примера истинно, потому что существует точно один объект, именно Б. Рассел, который выполняет понятие объект, отличный от Уайтхеда и выполняющий понятие быть автором Principia Mathematica.

Отношение непосредственного следования определяет бесконечную последовательность пар, ,, левый член каждой из которых меньше правого члена ровно на единицу.

Затем Фреге определяет отношение х предшествует у в ряду чисел, связанных отношением непосредственного следования. Допустим, дана последовательность чисел от 0 до 3, выполняющих отношение непосредственного следования: 1 следует за 0, 2 следует за 1, 3 следует за 2. Отношение предшествовать является более либеральным, чем отношение непосредственно следовать: если выполняется отношение непосредственного следования, тогда число 0 предшествует не только числу 1, но и числам 2 и 3; число 1 предшествует не только числу 2, но и числу 3.

Сказанное объясняет определение натурального числа и тем самым всего натурального ряда чисел^[15]:

х есть натуральное число, если и только если либо х = 0, либо 0 есть наименьшее число в ряду чисел, выполняющих отношение предшествования (т. е. 0 предшествует всем числам, связанным отношением непосредственного следования).

Определение Фреге выполняет требование эффективности порождения числового ряда. Ибо если натуральные числа заданы посредством равенств 0 = число х (х ф х), S (n) = число х (х то на основании только этих посылок становится возможным эффективное определение всех чисел натурального ряда. Это определение позволяет ввести принцип математической индукции в форме «Если 0 выполняет понятие F и некоторое натуральное число п выполняет F, только если п + 1 выполняет F, тогда каждое число выполняет F». Следовательно, отношение предшествования и допущение, что 0 образует наименьший класс натуральных чисел, позволяет построить модель для аксиом натуральных чисел Пеано. Этим самым достигается полная формализация арифметики.

• [1] Фреге Г Основоположения арифметики. § 61.
• [2] Фреге Г. Основоположения арифметики. § 26.
• [3] Фреге Г. Основоположения арифметики. § 14.
• [4] Там же. § 24.
• [5] Фреге Г. Основоположения арифметики. § 60.
• [6] Frege G Nachgelassene Schriften. S. 180.
• [7] Лейбниц Г. В. Указ. соч. С. 632. Формально: (x^Yf^Fx з Fy) = (.х = у), чточитается как «Всякие две вещи х иу равны друг другу тогда и только тогда, когдадля всякого свойства F истинно, что х обладает F, если и только если у обладает F».
• [8] Фреге Г. Основоположения арифметики. § 70.
• [9] Там же. § 68.
• [10] Фреге Г. Основоположения арифметики. § 53.
• [11] Фреге Г. Основоположения арифметики. § 74−75.
• [12] Там же. § 77.
• [13] Фреге Г. Основоположения арифметики. § 76.
• [14] Zalta Е. Gottlob Frege // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / N. EdwardZalta (ed.). 2005 (http://plato.stanford.edu/archives/sum2005/entries/frege).
• [15] Фреге Г. Основоположения арифметики. § 83.