Изгиб прямых стержней

Внутренние силовые факторы при изгибе стержней

Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты. Стержень, работающий на изгиб, принято называть балкой.

Если в поперечных сечениях балки возникают только изгибающие моменты, нагружение называется чистым изгибом. Если в поперечных сечениях наряду с изгибающими моментами возникают также поперечные силы, изгиб называют поперечным изгибом.

Рассмотрим случай плоского изгиба, при котором вся внешняя нагрузка (т.е. сосредоточенные силы, распределенные силы и моменты) действует в одной плоскости (рис. 5.1), а именно, в плоскости, проходящей через ось бруса в перпендикулярном к оси Oz направлении (плоскость хОу).

Рис. 5.1. Балка в условиях плоского изгиба При дальнейшем изложении используем следующие определения.

Плоскость действия внешней нагрузки назовем силовой плоскостью, а линию пересечения силовой плоскости с поперечным сечением балки — силовой линией для этого сечения.

Традиционно изгиб балок характеризуется прогибом, который принято отсчитывать по вертикали вниз. В настоящем учебнике, чтобы не нарушать правила для правосторонней системы координат, положительные прогибы отсчитываются вдоль положительного направления оси у.

В случае совпадения силовой линии с одной из двух главных центральных осей инерции поперечного сечения изгиб называется прямым изгибом.

В случае несовпадения силовой линии ни с одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения изгиб называется косым изгибом.

Рассмотрим прямой брус, нагруженный системой сил, действующих в плоскости хОу, как это показано на рис. 5.2.

Изучим внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении бруса. Рассмотрим условия равновесия элемента. Используя метод сечений, вырежем из стержня на расстоянии х от начальной точки О элемент.

Рис. 5.2. Прямой плоский изгиб балки.

Рис. 53. Элемент балки

бесконечно малой длины dx (рис. 5.3) Согласно принципу неизменности начальных размеров уравнения равновесия составляем для недеформированного состояния.

Поскольку силы, действующие в горизонтальном направлении, отсутствуют, уравнение равновесия вдоль оси х удовлетворяется тождественно. Спроецировав все действующие па элемент силы на ось у и приравняв сумму нулю, получаем.

В пределах бесконечно малой длины элемента dx интенсивность распределенной нагрузки q_y = q можно считать постоянной величиной, поэтому интеграл от действующих на элемент распределенных сил представлен как qdx.

После преобразований получаем следующее дифференциальное соотношение между поперечной силой О = Qn интенсивностью распределенных сил:

Интегрируя уравнение (5.1), получим формулу для определения поперечной силы в текущем сечении:

Здесь Qq — значение поперечной силы в сечении балки с координатой х = 0.

Составим третье уравнение равновесия для плоской системы сил, которое соответствует равенству нулю суммы моментов всех сил, действующих на элемент dx, относительно точки С:

Последним слагаемым, имеющим второй порядок малости по сравнению с бесконечно малыми первого порядка, можно пренебречь. После преобразований находим, что изгибающий момент М₂ = М_нзг и поперечная сила Q_y = Q связаны следующей дифференциальной зависимостью^[1]: ¹

Ранее отмечалось, что для случая чистого изгиба поперечная сила в сечении равна нулю. Следовательно, при чистом изгибе изгибающий момент в балке постоянен:

При определении значений изгибающего момента полезен будет также следующий вывод. Если балка нагружена только сосредоточенными силами и моментами, то на участках между точками их приложения поперечная сила остается постоянной, а изгибающие моменты изменяются по линейному закону.

• [1] В ряде учебников, чтобы избавиться от отрицательного знака при поперечной силе, изменяют положительное направление силы на противоположное. В частности, если ось брусанаправлена слева направо, то используют следующее правило знаков для Q: поперечная силасчитается положительной, если сумма всех внешних сил слева от сечения направлена вверх. В настоящем учебнике знаки сил, моментов, а также перемещений и углов поворота строгосоответствуют правилам для правосторонней декартовой системы координат.