Апериодическое (инерционное, статическое) звено

Типовое дифференциальное уравнение взаимосвязи выходного и входною сигналов апериодического ТДЗ имеет вид.

где Т₀ — постоянная времени; к — коэффициент передачи.

Дифференциальное уравнение является неудобной формой математической модели звена или объекта, так как решение большинства дифференциальных уравнений — это сложная вычислительная процедура. Более удобна математическая модель объекта, записанная в виде передаточной функции.

Передаточной функцией называется преобразованное по Лапласу исходное дифференциальное уравнение, т. е. уравнение, записанное в виде отношения преобразованных по Лапласу выходного и входного сигналов звена (объекта).

В преобразовании по Лапласу исходное дифференциальное уравнение называется оригиналом, а преобразованное и записанное в операторной форме уравнение — его изображением. Суть преобразования Лапласа заключается в замене функций вещественных переменных х_ВЬ1Х(т) и jc_bx(t) на функции комплексных переменных х_вых(/?) и х_вх(/?), где р — оператор Лапласа (комплексное число р = ±т± in). Эти функции связаны между собой интегралом Лапласа:

Для большинства дифференциальных уравнений, используемых в ТДЗ, чисто формальным условием перехода от оригинала к изображению будут следующие замены:

Таким образом, легко можно получить из оригинала изображение, т. е. операторную форму записи дифференциального уравнения апериодического ТДЗ.

Дифференциальное уравнение апериодического звена — оригинал — имеет вид.

а операторная форма записи — изображение этого уравнения:

Огромное преимущество такого преобразования заключается в том, что записанное в операторной форме исходное дифференциальное уравнение становится алгебраическим. Если бы все дифференциальные уравнения можно было преобразовать по Лапласу, это была бы революция в развитии математики, так как решать алгебраические уравнения значительно проще. К сожалению, это возможно только для небольшого их числа, например для дифференциальных уравнений ТДЗ.

Поскольку уравнение изображения апериодического звена алгебраическое, его можно преобразовать следующим образом:

Из этого выражения легко получить отношение х_вых(/?)Д_вх(р), которое называется передаточной функцией и для апериодического звена имеет вид.

Каждое типовое динамическое звено имеет ряд типовых частотных характеристик: амплитудно-частотную (АЧХ); фазочастотную (ФЧХ); амплитудно-фазовую частотную АФЧХ (или АФХ); логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ); логарифмическую фазочастотную (ЛФЧХ).

На практике чаще используют АФЧХ (или АФХ).

Амплитудно-фазовая характеристика является вектором, а график АФХ — годографом этого вектора, т. е. кривой на комплексной плоскости, которую описывает конец вектора при изменении частоты со от 0 до «>. Вектор характеризуют две величины: направление (градиент) и длина (скаляр, или вектор по модулю).

Вектор аналитически можно записать в виде двух проекций на действительную и мнимую оси, и выразить эти проекции через угол а:

или, используя формулу Эйлера:

где W — вектор по модулю, или длина вектора; / — мнимое число, / = V^T, /² = -1, /³ = /⁴ = +1.

Аналитическое выражение вектора АФХ любого ТДЗ легко получить через передаточную функцию, заменив в ней оператор Лапласа р на выражение /со, где со — частота колебаний, со = 2п/Т Т — период колебаний.

Для апериодического звена АФХ имеет вид.

Чтобы записать вектор АФХ в виде суммы проекций на действительную и мнимую оси, необходимо провести следующие преобразования:

в.

Рис. 4.3. Апериодическое звено:

а — амплитудно-фазовая характеристика; б — входной сигнал и переходная функция; в — пример реализации Изменяя частоту со от 0 до «>, можно построить на комплексной плоскости график вектора АФХ — его годограф (рис. 4.3, а), представляющий собой полуокружность, расположенную в четвертом квадранте комплексной плоскости, диаметр которой равен коэффициенту к.

На рис. 4.3, б приведена типовая, переходная функция апериодического звена, которая называется экспонентой. Любая экспонента обладает одним замечательным свойством: если к любой ее точке провести касательную, а затем точку касания и точку пересечения касательной с асимптотой, к которой с течением времени приближается экспонента, спроецировать на ось времени, то получится один и тот же отрезок на оси времени. Эта проекция, называемая постоянной времени, соответствует коэффициенту Т₀ в передаточной функции и АФХ апериодического звена, а ордината асимптоты, к которой стремится экспонента, — коэффициенту к в его передаточной функции. Таким образом, по переходной функции легко найти коэффициенты к и Т₀ в передаточной функции апериодического звена.

Примером реализации апериодического звена является электродвигатель небольшой мощности, который после включения в электросеть (подачи единичного скачка) набирает обороты по экспоненте. Также примером реализации апериодического звена может быть установка, изображенная на рис. 4.3, в.

В бак поступает поток воды с расходом 0,; из бака вытекает свободно поток воды с расходом 0₂. Регулируемый параметр х_шх — уровень Н воды в бакс.

При подаче единичного скачка 0, уровень Н в баке повышается; при этом увеличивается гиростатическое давление и возрастает 02* Затем уровень воды И стабилизируется (т.е. экспонента приближается к асимптоте). Эта способность самостоятельно восстанавливать равновесие, присущая объектам, аппроксимируемым апериодическим ТДЗ, за счет притока или стока энергии или вещества называется самовыравниванием. Количественно самовыравнивание определяется коэффициентом р, равным обратному значению коэффициента к в передаточной функции звена, т. е./>= 1 /к.

В литературе объекты с передаточной функцией апериодического звена называют статическими.