Энергетический метод определения критической силы

Для определения критической силы в предыдущем параграфе использовался метод Эйлера, заключающийся в составлении линеаризованного дифференциального уравнения равновесия стержня и его последующем интегрировании с целью нахождения равновесных состояний, отличных от исходного прямолинейного состояния. Вместе с тем для решения практических задач полезным оказывается так называемый энергетический метод определения критической силы. Метод основан на рассмотрении изменения полной потенциальной энергии упругого стержня при переходе от прямолинейной формы равновесия к искривленной.

Рассмотрим стержень, нагруженный сжимающей силой, действующей вдоль оси (рис. 15.12). Выведем тем или иным способом стержень из состояния прямолинейного равновесия. В результате изгиба стержня в нем накопится потенциальная энергия деформации.

Дифференциальное соотношение (7.7) позволяет преобразовать интеграл (15.30) к виду.

В результате деформации стержня точка приложения силы переместится па величину, А (см. рис. 15.12). Так как в процессе деформации стержня значение силы не изменяется, то выполненная силой работа равна W= FA.

Рис. 15.12. Стержень, нагруженный сжимающей силой, действующей вдоль оси.

Вычислим значение, А как разность проекций стержня на его ось в исходном и деформируемом состояниях. Вычтем из длины стержня / его проекцию в изогнутом состоянии О АС на направление Ох:

В случае малых перемещений можно положить 0 ~ утогда значение работы составит.

Приравняв энергию изгиба стержня работе внешней силы, обусловившей этот изгиб, приходим к выражению для определения критической силы:

Таким образом, если бы мы знали заранее зависимость у (х), характеризующую изогнут}то форму стержня, то по формуле (15.33) смогли бы определить значение критической силы. Можно показать, что чем точнее будет предсказана функция у (х), тем меньшему значению критической силы она будет соответствовать. Действительно, отклонение изогнутой оси от своего естественного положения равносильно наложению дополнительных связей, что ведет к ужесточению системы и, как следствие, увеличению критической силы.

Таким образом, если мы располагаем двумя значениями критической нагрузки, полученными для двух различных приближенных заданий формы оси деформированного стержня, то более точным является меньшее из них. Если же предсказать у (х) точно, то в ответе получим точное значение критической силы.

Для иллюстрации рассмотрим задачу Эйлера (см. рис. 15.8), точное решение которой известно. Зададим функцию у (х) точной формулой, которая нам также известна:

Как и ожидалось, с помощью формулы (15.33) получим точное значение критической силы:

В качестве приближения рассмотрим полиномиальную функцию.

Отметим, что полиномы легко аналитически интегрировать и дифференцировать, что облегчает подбор функции, которая должна обязательно удовлетворять кинематическим граничным условиям и желательно статическим.

Подстановкой в формулу (15.33) вычислим значение критической силы:

Полученный энергетическим методом приближенный результат отличается от точного результата примерно на +2% в большую сторону. Подводя итог нашим вычислениям, отмечаем, что энергетический метод позволяет дать оценку критической силе сверху.