Тринадцатая книга «Начал» Евклида

Теперь перейдем к последней книге собственно евклидовых «Начал» — тринадцатой книге. Здесь Евклид наконец реализует цели всего своего изложения и строит пять правильных многогранников. Но сначала Евклид рассматривает вспомогательные предложения. Таковыми являются первые шесть предложений тринадцатой книги, посвященные делению прямой в крайнем и среднем отношении. Затем Евклид вводит правильный пятиугольник.

А предложение 8 книги 13 связывает правильный пятиугольник с только что рассмотренными шестью предложениями о делении в крайнем и среднем отношении. Это предложение звучит так: «Если у равностороннего и равноугольного пятиугольника прямые стягивают два смежных угла, то они делят друг друга в крайнем и среднем отношении и большие их отрезки равны стороне пятиугольника»^[1].

В следующих двух предложениях Евклид соотносит шестиугольник и деление в крайнем и среднем отношении, а затем сводит вместе на этом основании пятиугольник, шестиугольник и десятиугольник. Это предложение 10 книги 12 Евклид излагает следующим образом: «Если в круг вписан равносторонний пятиугольник, то сторона пятиугольника в квадратах равна стороне шестиугольника вместе со стороной десятиугольника, вписанных в тот же самый круг»^[2].

Это предложение будет одним из ключевых при построении икосаэдра. Рассуждения о делении в крайнем и среднем отношении оказываются нужны Евклиду, чтобы определить правильный пятиугольник, вписанный в круг. Этой проблеме посвящено предложение 11 книги 13: «Если в круг, имеющий рациональный диаметр, вписывается равносторонний пятиугольник, то сторона пятиугольника будет иррациональной — так называемой „меньшей“»^[3].

Здесь проявляется будущая иррациональная составляющая икосаэдра и додекаэдра. Ведь при построении икосаэдра используется правильный пятиугольник, додекаэдр сам составлен из правильных пятиугольников. Не менее важно предложение 12 книги 13. В нем вводится вписанный в круг правильный треугольник, который является составным элементом для огня, воздуха и воды. Оказывается, что этот треугольник является носителем соизмеримости в степени. Предложение 12 дается Евклидом следующим образом: «Если в круг вписывается равносторонний треугольник, то сторона этого треугольника в степени в три раза больше прямой из центра в круг»^[4]. Прямой из центра Евклид называет радиус.

Теперь все пути открыты для построения правильных многогранников.

Евклид начинает построение правильных многогранников с пирамиды. Это делается в предложении 13 книги 13: «Составить пирамиду, охватить ее заданной сферой и показать, что диаметр сферы будет в квадратах в полтора раза больше стороны пирамиды»^[5]. Евклид следующим образом строит этот правильный многогранник. Сначала он использует сферу, в которую будет вписана пирамида. На диаметре этой сферы АВ надстраивается полукруг ADB, а сам диаметр делится точкой С так, чтобы АС была в два раза больше СВ (рис. 3.16). От точки С под прямым углом строится прямая CD до пересечения с точкой D. Эта точка соединяется с точкой А.

Рис. 3.16.

После этого Евклид использует полученные линии для построения пирамиды. Линия CD становится радиусом круга EIH, в который вписывается правильный треугольник. Из центра этого круга G восстанавливается перпендикуляр GK, равный АС, после чего вершина перпендикуляра точка К соединяется с вершинами правильного треугольника точками Е, I, Н и показывается, что полученные линии равны AD. Эго операция завершает построение пирамиды. Затем Евклид доказывает, что полученная фигура является правильным многогранником и диаметр сферы будет в квадратах в полтора раза больше стороны пирамиды. Здесь очень важно, что диаметр сферы и сторона пирамиды являются величинами соизмеримыми в квадрате.

Следующим правильным многогранником, построение которого осуществляет Евклид, является октаэдр. Этому посвящено предложение 14 книги 13: «Составить октаэдр, охватить его сферой, как и пирамиду, и показать, что диаметр сферы будет в квадратах вдвое больше стороны октаэдра»^[6].

Опять Евклид использует сферу, в которую будет вписан октаэдр. На диаметре этой сферы АВ надстраивается полукруг ADB, а сам диаметр делится точкой С гак, чтобы АС была равна СВ (рис. 3.17). От точки С под прямым углом строится прямая CD до пересечения с точкой D. Эта точка соединяется с точкой В. После этого Евклид, как и в случае с пирамидой, использует полученную линию BD для построения октаэдра. Линия BD становится стороной квадрата EIHG. Диагонали этого квадрата пересекаются в точке К. Из точки К восстанавливается перпендикуляр к плоскости квадрата EIHG. На перпендикуляре отсекается линия, равная половине диагонали квадрата EIHG. Получается линия KL, она продлевается в противоположную сторону и на ней откладывается точка М. Так построены шесть вершин октаэдра EIHGLM.

Рис. 3.17.

После этого Евклид доказывает, что полученная фигура является правильным многогранником и диаметр сферы будет в квадратах вдвое больше стороны октаэдра. Здесь также очень важно, что диаметр сферы и сторона октаэдра являются величинами, соизмеримыми в квадрате.

Теперь Евклиду остается построить последний «хороший», в смысле соизмеримый в степени, правильный многогранник. Таковым является куб, и построение производится в предложении 15 книги 13: «Составить куб, охватить его сферой, как и выше, и показать, что диаметр сферы будет в квадратах в три раза больше стороны куба»^[7].

Евклид снова использует сферу, в которую будет вписан куб. На диаметре этой сферы Л В надстраивается полукруг ЛОВ, а сам диаметр делится точкой С гак, чтобы АС была втрое больше СВ (рис. 3.18). От точки С под прямым углом строится прямая CD до пересечения с точкой D. Эта точка соединяется с точкой В. Линия BD становится стороной квадрата EIHG. Из каждой точки квадрата восстанавливается перпендикуляр, и на этих перпендикулярах отсекаются линии, равные стороне квадрата. Так получаются все восемь точек куба EIHGKLMN.

Рис. 3.18.

Опять Евклид доказывает, что полученная фигура является правильным многогранником и диаметр сферы будет в квадратах в три раза больше стороны куба.

Последние два правильных многогранника строятся уже с очень большими сложностями, ибо содержат иррациональности. Их построение занимает уже значительный объем, не говоря уже о том, сколько предложений из других книг «Начал» для этого привлекается. Разберем сначала случай икосаэдра. Евклид это осуществляет в предложении 16 книги 13: «Составить икосаэдр, охватить его сферой, как и вышеупомянутые фигуры, и показать, что сторона икосаэдра будет иррациональной — так называемой „меньшей“»¹.

Как обычно, Евклид использует сферу, в которую будет вписан икосаэдр. На диаметре этой сферы АВ надстраивается полукруг ADB, а сам диаметр делится точкой С так, чтобы АС была в четыре раза больше СВ (рис. 3.19). От точки С под прямым углом строится прямая CD до пересечения с точкой D. Эта точка соединяется с точкой В.

Рис. 3.19.

После этого Евклид использует полученные линии для построения пирамиды. Линия BD становится радиусом круга EIHGK, в который вписывается правильный пятиугольник. Каждая из полученных дуг делится пополам, и получается еще пять точек на круге. Так Евклид строит вписанный в круг десятиугольник. Затем над пятиугольником надстраивается еще один пятиугольник на высоте, равной радиус}' круга EIHGK. Это пятиугольник PRSTU. Затем Евклид соединяет точку Р из верхнего пятиугольника и точку О в нижнем правильном десятиугольнике. Тогда РЕ оказывается стороной правильного шестиугольника.

И здесь Евклид использует предложение 10 книги 13, которое уже выше разбиралось. Из этого предложения следует, что РО будет стороной правильного пятиугольника. Евклид доказывает, что все построенные таким образом стороны будут сторонами правильного пятиугольника. А значит, и треугольник POU будет равносторонним и правильным, ведь он состоит из сторон, входящих в правильные пятиугольники. Итак все треугольники, полученные таким способом.

Теперь из центра круга EIHGK восстановим перпендикуляр FZ к плоскости круга. Отсечем на этом перпендикуляре точку Z на расстоянии, равном сумме сторон уже рассмотренных шестиугольника и десятиугольника. Так получится еще одна вершина икосаэдра.

В завершении построения Евклид продолжает перпендикуляр FZ в противоположную сторону и откладывает на нем линию FY, равную стороне десятиугольника. Так получаются все вершины икосаэдра. Все они составляют двадцать правильных треугольников. Они и будут гранями икосаэдра. Во второй половине доказательства Евклид обосновывает окончательно, что полученная фигура является икосаэдром, проводит построение описанной сферы и выясняет, что сторона икосаэдра будет иррациональной — так называемой меньшей.

Немного проще в построении оказывается последний правильный многогранник — додекаэдр. Его построению посвящено предложение 17 книги 13: «Составить додекаэдр, охватить его сферой, как и вышеупомянутые фигуры, и показать, что сторона додекаэдра будет иррациональной — так называемым вычетом»^[8].

Сначала Евклид ставит себе цель построить правильный пятиугольник как сторону будущего додекаэдра. Для этого используется другой правильный многогранник — куб. Две грани куба ABCD и BEIC делятся пополам в точках Я, G, К, L и N, М, Q (рис. 3.20). Затем эти точки Евклид соединяет и получает линии NO, OQ и GP. Эти линии делятся в крайнем и среднем отношении, и здесь Евклид использует первые предложения тринадцатой книги. После такого деления получаются три точки R, S, Т. Из этих точек Евклид восстанавливает перпендикуляры во «внешние стороны куба»^[9] и отсекает на них линии RU, SF, ТХ, равные ранее разделенным в крайнем и среднем отношении RO, OS, ТР.

Рис. 3.20.

После соединения полученных грех точек и двух точек куба Евклид достигает своей цели — строит правильный пятиугольник BXCUF. Причем Евклид дополнительно доказывает, что он будет равносторонний, равноугольный и все его стороны находятся в одной плоскости. После этих долгих доказательств Евклид формулирует утверждение, что если на каждой из двенадцати сторон куба устроить то же самое, то и получится двенадцать правильных пятиугольников. Эти правильные пятиугольники и составят грани додекаэдра. Во второй половине доказательства Евклид проводит построение описанной сферы и выясняет, что сторона додекаэдра будет иррациональной — так называемым вычетом.

Последние страницы евклидовых «Начал» посвящены сравнению сторон пяти правильных многогранников и доказательству того, что всего возможно только пять таких совершенных многогранных тел. Первая часть этой задачи формулируется непосредственно в предложении 18 книги 13: «Составить стороны пяти этих фигур и сравнить их между собой»^[10], а вторая часть — в самом концы книги в виде утверждения: «Вот я утверждаю, что кроме упомянутых пяти тел нельзя построить другого тела, заключенного между равносторонними и равноугольными равными друг другу многоугольниками»^[11].

Тринадцатая книга дает построение пяти правильных многогранников. Евклид приводит геометрическое построение правильных многогранников с использованием иррациональностей десятой книги. Согласно этой книге «Начал» существует три рода величин: соизмеримые, соизмеримые в степени и несоизмеримые. Первые два рода величин назывались рациональные, несоизмеримые же именовались иррациональными. На греческом это звучало как логос и алогос.

Соизмеримые величины при использовании алгоритма Евклида давали конечное разложение, подобное разложению в десятичную дробь с конечным числом знаков. Соизмеримые в степени давали бесконечное разложение, но через некоторое число знаков набор цифр начинал повторяться. Это называется периодичной десятичной дробью. Несоизмеримые величины давали при использовании алгоритма Евклида разложение в бесконечную десятичную дробь без всякой разумной связи между элементами.

Теория иррациональностей была нужна древнегреческим математикам для построения правильных многогранников, т. е. тех первоначал, о которых постоянно говорит пифагорейско-платоновская философия. Определяющим существенным свойством любого правильного многогранника является отношении длины его ребра к радиусу описанной вокруг него сферы (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Очевидно, что Евклид использует при построении правильных многогранников две иррациональные величины — вычет и меньшую иррациональность. Вводить иррациональности (алогос) в идеальный космос было не слишком приемлемо для любящих совершенство последователей пифагорейско-платоновской традиции. Надо было как-то спасать совершенство идеального космоса.

Три первоэлемента вполне в него вписывались, ибо при их построении использовались только соизмеримые в степени. Поэтому эти элементы подходили под Логос. Проблему с водой можно было решить через взаимное превращение элементов. Соотнеся воду с элементами огня, можно было повторить ход рассуждений при доказательстве отсутствия пустоты. Об этом писалось чуть выше. Но надо было решить также и вопрос с иррациональностью высшего божественного элемента — эфира. Ведь додекаэдр содержал внутри себя алогос в виде иррационального вычета.

Единственный возможный ответ содержится в способе построения додекаэдра на основе куба. Сам куб содержит соизмеримость в степени и при построении сфера принципиально не используется. Сфера описывается позже, уже на готовый додекаэдр. Поэтому можно говорить о том, что иррациональность возникает уже позже додекаэдра и отчасти не является для него столь существенным моментом, именно потому, что додекаэдр строится без привлечения сферы. Это отличает его от четырех низших первоэлементов. Так удается все правильные многогранники в той или иной мере избавить от иррациональности (алогоса) и ввести в сферу Логоса.

Все эти рассуждения приводились для того, чтобы сделать последний очень важный вывод. Сразу отметим, что Евклид вообще не делал метафизических выводов и комментариев в своих «Началах». Поэтому попробуем сделать этот вывод за него. Итак, логос в переводе с греческого означает «слово» (наряду со значением «разум», «рацио»). И именно в этом значении логос используется в греческом тексте Евангелия от Иоанна: «В начале было Слово…».

Теперь замыкается круг древней геометрии и науки о «божественном». Знания и определения пяти правильных многогранников-первоэлементов — это и есть «божественное» знание, ибо из них состоит идеальный космос и из эфира состоят ангельские преображенные тела.

Таков настоящий смысл тринадцати книг «Начал», которые составлены непосредственно Евклидом. Следует сделать еще одно небольшое замечание. Как правило, к тринадцати евклидовским книгам прибавляются еще два небольших позднейших сочинения. «В большинстве изданий «Начал» содержится еще так называемая четырнадцатая книга, принадлежащая одному позднейшему математику, Гипсиклу, и пятнадцатая книга, наверное, еще гораздо более позднего происхождения; впрочем, они даются в виде приложений к труду Евклида, ибо в них, как и в последней книге «Начал», рассматривается вопрос о правильных многогранниках.

Книга Гипсикла представляет, несомненно, шаг вперед в трактовке этого вопроса. В качестве образчика содержащихся в ней теорем мы приведем предложение, согласно которому окружности, описанные около граней правильных икосаэдра и додекаэдра, равны между собой, если оба многогранника вписаны в один и тот же шар"^[12].

Эти сочинения содержат очень много новых и интересных соотношений между правильными многогранниками, но подробный разбор этих книг выходит за пределы возможного для данной работы.

• [1] Там же. С. 113.
• [2] Там же. С. 115.
• [3] Там же. С. 117.
• [4] Там же. С. 120.
• [5] Евклид. Начала. Книги XI—XV. С. 121.
• [6] Там же. С. 124.
• [7] Евклид. Начата. Книги XI—XV. С. 125.
• [8] Евклид. Начала. Книги XI—XV. С. 132.
• [9] Там же.
• [10] Евклид. Начала. Книги XI—XV. С. 136.
• [11] Там же. С. 140.
• [12] Цейтпеп Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 117.