Б. Риман и У. Гамильтон

Б. Риман продолжил формирование новой модели эфира. «Риман предложил эфир, элементы которого наделялись способностью сопротивления сжатию, а также (как и элементы эфира МакКулага) сопротивлением к изменению ориентации. Он полагал, что первое свойство является причиной действий тяготения и электростатики, а второе — вызывает оптические и магнитные явления»^[1]. Во многих направлениях представления Римана формировали модель эфира, сходную с будущей моделью Фарадея — Максвелла. В 1858 г. Риман высказал ряд теоретических положений, «которые можно охарактеризовать как предвосхищение теории, созданной Максвеллом в 1865 году»^[2].

Но новые положения эфирной теории заставили Римана продвинуться много дальше своих предшественников. Он решил много физических задач, находя новые методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. Риман писал: «Главная моя работа — новая трактовка известных законов природы»^[3].

Риман представлял себе эфир в виде непрерывной материи. Эта «материя, непрерывно заполняющая пространство, проникает с потенциалом скорости V в материальные точки, создающие тяготение, и превращается там в „мнимую массу“»^[4]. Причем всякое взаимодействие обязательно, по Риману, происходит с конечной скоростью. Этот же потенциал скорости отвечает и за возникновение электрических эффектов.

Риман «предложил заменить уравнение электростатического потенци;

1 d^[2]V

ала Пуассона, а именно, V V + 4лр = 0, уравнением V^[2]P—-—— + 4лр = О,.

2 a^[3]t

согласно которому изменения потенциала, вызванные изменением электризации, распространяются наружу от зарядов со скоростью с"^[8]. Очевидно, что Риман очень близок к нахождению связи между светом, электромагнетизмом и тяготением.

Новые математические методы Римана заключались в исследовании абелевых функций, а также других еще более сложных трансцендентных функций. При этом Риман использовал теоретические построения функции комплексного переменного. «Особого успеха в рассматриваемой тематике удалось добиться Риману, рассмотревшему многозначность функций комплексного переменного и сделавшему блестящее открытие, что при помощи обобщенных функций 0 можно решить общую задачу обращения абелевых интегралов. Таким образом, теория абелевых интегралов сводилась к изучению обратных им абелевых функций»^[9]. Разберем эти достижения более подробно.

Функция комплексного переменного у Римана непосредственно связана с потенциалом скорости эфира. Само определение функции /(z) комплексного аргумента формулируется Риманом следующим образом: w = и + iv называется функцией комплексного аргумента z-x+ iy, если эта функция удовлетворяет условиям непрерывности, дифференцированности и еще должны выполняться ранена

г, ди ди ,.

При этом — и — являются компонентами потенциала скорости эфира.

Само и обозначает потенциал скорости, v — соответствующую функцию потока. Из вышеприведенного условия сразу же следуют два весьма важных для математической физики уравнения Ди = 0 и Av = 0. Потенциал скорости в электростатике назывался напряжением и электростатическим потенциалом, в теории тепла Фурье это температура.

Аналитическую функцию Риман понимает следующим образом. Есть некоторое значение функции в начальной области. А затем эта область поверхности получает две компоненты скорости и начинает двигаться согласно вышеприведенным дифференциальных уравнениям Коши.

~ Эи dv ди dv _. «.

Римана — = —, — =. Это представляет собой непрерывное анали;

дх ду Э у дх

тическое продолжение функции.

Кстати, идею непрерывного продолжения позже очень плодотворно использовал Вейерштрасс. Но вернемся к Риману.

Непрерывное продолжение функции может осуществляться, по Риману, различными путями. И тогда одному и тому же значению х + iy будут соответствовать различные значения и + iv. Наглядно это себе можно представить так. Кусок поверхности х + iy отображается сразу в несколько кусков поверхностей и + iv. Так возникает многолистная риманова поверхность: внизу кусок х + iy, а над ним различные куски и + iv. Это повое представление сразу позволило сделать новые шаги в теории эллиптических и абелевых функций.

Стоит напомнить, что Якоби, столкнувшись с многозначностью, назвал ее абсурдной. И тут Риман с ходу решает вопрос о периодичности эллиптического интеграла. «Теория, очевидно, не совершенствовалась до 1850-х годов, когда Риман показал, что двойная периодичность становится очевидной, когда эллиптические интегралы помещены в подходящее геометрическое окружение»¹.

Риман связывает параллелограмм периодов эллиптической функции с точками ветвления, или точками, где происходит разрезание римановой поверхности. Именно в этих точках возникает многозначность. Именно в этих точках возникают физические разрывы непрерывности. Это особые точки, которые и являются вершинами параллелограмма периодов.

Риман использует свою математическую модель для описания модели механического эфира. Он рассматривает эллиптический интеграл третьего рода как поверхность, содержащую две точки А и В. Обе эти точки являются точками разрыва непрерывности. Сама непрерывность присутствует на поверхности и выражается через уравнения Коши — Римана и их следствия Аи = 0 и Av = 0. Риман представляет эти точки как два полюса, создающих непрерывное течение по поверхности. Это можно проиллюстрировать с помощью гальванической батареи.

Но Риман с помощью своей модели описывает течение механического эфира. Точки А и В являются материальными точками, в которые входит эфир. За счет этого вхождения возникает разрыв непрерывности, что приводит к многозначности и многолистности римановой поверхности. Здесь же Риман дает интерпретацию теореме существования Коши: «Таким образом, мы получим новую теорему существования, которую можно сформулировать так: на всякой замкнутой римановой поверхности существует потенциальная функция и. Всюду непрерывная, кроме двух заранее выбранных точек, в которых и согласно заранее поставленному условию становится логарифмически-бесконечной».

Далее Риман дает такую же иллюстрацию для эллиптических интегралов второго рода и первого рода. Для интеграла второго рода следует ввести одну точку разрыва, т. е. непрерывный эфир входит только в одну точку и в ней прерывается. Эллиптический интеграл первого рода описывает модель непрерывно движущегося без разрывов эфира.

Теперь следует сказать несколько слов о принципе Дирихле, который Риман много использовал и за что был много критикуем. Суть этого принципа заключается в следующем. Пусть эфир непрерывно в своем непрерывном течении приближается к некоторому краю. Непрерывное течение эфира описывается двойным интегралом.

При приближении к краю эфир испытает разрыв прерывности по всей длине края, ибо здесь оперирует Риман поверхностями и их сечениями, а не линиями и точками. В момент приближения к краю интеграл становится минимальным и первая вариация обращается в нуль:

При этом уравнение, А и = = 0 становится необходимым усло;

дх² ду²

вием обращения вариации в нуль. Риман и Дирихле принимали существование неотрицательной нижней грани значений интеграла для всех возможных и. Далее они считали, что интеграл будет непрерывен и дифференцируем начиная с этого значения. Вейерштрасс подверг критике это положение, приводя классический пример о ломаной, которая является минимальным значением, но сама претерпевает разрыв в своих звеньях. Таким образом, нарушается требование непрерывности и дифференцируемости. Но благодаря этой критике математика постепенно перешла к исследованию совершенно иных функций. Сам Вейерштрасс показал возможность существования непрерывной функции, не имеющей производной. Так началась эра патологических функций.

Теперь рассмотрим творчество У. Гамильтона. С хронологической точки зрения основные открытия Гамильтона произошли раньше Римана,.

но с логической точки зрения Риман продолжал традиции Гаусса, Коши, Абеля и Якоби. А Гамильтон окажет существенное влияние на английскую эфирную традицию, которая будет рассмотрена ниже.

Итак, Гамильтон исходил из представлений об эфире, и благодаря Гамильтону эфир впервые попытался выйти из границ плоскости и линии. Именно Гамильтон дал трехмерную интерпретацию эфира через свои кватернионы как трехмерного аналога плоскостных комплексных чисел. Выше было подробно показано, как комплексные числа описывают перемещения эфира в плоскости.

Естественно, Гамильтон сначала пытался построить новые числа, состоящие из трех компонент, но это в течение многих лет категорически не удавалось. «Возникает вопрос, нельзя ли соответствующие преобразования в пространстве интерпретировать с помощью каких-нибудь комплексных чисел более высокого порядка. Можно было бы попытаться воспользоваться трехчленным выражением и условиться, что число ix + jy + kz должно изображать точку с координатами х, у, z, или отрезок — как теперь говорят, вектор, — соединяющий эту точку с точкой О»¹.

Оказалось, что при сложении таких векторов проблем не возникало. Но умножение производить было невозможно. Для комплексных чисел умножение понималось как вращение всей плоскости вокруг точки О на угол ф с одновременным растягиванием всех размеров в отношении 1 к р: (.г + iy) • (а + ib) = (х + iy) • р • е’У, т. е. речь шла о вращательном растяжении эфира.

Совсем другая ситуация возникает при определении умножения в пространстве. Опять же умножение должно определить вращение с растяжением. Вращение будет осуществляться вокруг нулевой точки. Но при этом в пространстве возникнет ось вращения. Для характеристики этой оси приходится использовать уже три параметра, и еще один параметр будет использован для определения растяжения. Итак, два параметра определят направление вращения. Они выражаются через косинусы углов: cosa, cos|3, cosy, при этом cos²a + cos²P + cos^ = 1. Поэтому один угол может быть выражен через два других и остаются вследствие этого два параметра. Еще один параметр определяет угол вращения со. Последний четвертый параметр определяет, как уже было сказано, растяжение г. Отсюда и возникает четырехчленное комплексное число, которое Гамильтон назвал кватернионом. Вот полная запись кватерниона, определяющего вращение с растяжением эфира в трехмерном пространстве:

Гамильтон вводит новые понятия, которые характеризуют новую трехмерную эфирную модель. Он разделяет скалярную часть кватерниона и векторную часть. Сначала разберем векторную часть ix+jy + kz, которая выделяется при гcos-^ = 0. Гамильтон обозначает таким образом только одно направление. Это чистый вектор, который может определить растяжение и вращение на 180°. Для введения вращения на другие углы Гамильтон вводит скалярную часть г cos—. Таким образом, любое трехмерное растяжение с вращением эфира описывается при помощи сложения двух вращений с растяжениями.

В каждой эфирной точке, по Гамильтону, приложен кватернион, который состоит из скалярной и векторных частей. Так возникает поле кватернионов, которое можно различным образом преобразовывать. Это понятие поля полноправно входит в физику и будет вскоре использовано Максвеллом при описании электродинамической модели эфира. Для характеристики поля Гамильтон вводит символические операторы, состоящие из частных производных по координатам точек поля. Основным оператором, характеризующим поля, является набла:

Этот оператор применяется как к скалярной, так и к векторной части кватерниона. При применении к скалярной части Гамильтон получает градиент:

Градиент скаляра определяет величину и направление наибольшего изменения rcos—. Если оператор наола применяется к векторной части, то возникает кватернион, состоящий из двух частей — дивергенции поля и вихря:

Первая часть в этой форме является скалярной дивергенцией поля. Она отвечает за точки, в которые вливается и из которых изливается эфир.

. ди dv дт> . .

Компоненты определяют скорость (интенсивность) истечения.

дх ду dz

эфира. Вторая часть означает величину кручения эфирного вихря. Так Гамильтон вполне подготовил максвелловские уравнения для электромагнитного эфира, введя ротор и дивергенцию.

Для полноты описания введем еще символическую операцию дельта Д, которая возникает при двукратном применении оператора набла к скаляру:

Гамильтон мечтал создать всеобъемлющую систему, основанную на кватернионах. «На основе исчисления кватернионов как четырехчленных комплексных чисел должна была быть построена алгебра с обстоятельной теорией уравнений, которая, как предполагали, получится от приравнивания нулю полиномов относительно кватернионов. Крайней целью было — и остается теперь — создание теории функций для кватернионов, от которой ожидали совершенно новых, необычайно широких результатов для всей математики»¹. Но, к сожалению, эта программа Гамильтона не выполнена до сих пор.

• [1] Уиттекер Э. Указ. соч. С. 287.
• [2] Клейн Ф. Указ. соч. С. 53.
• [3] Там же. С. 290.
• [4] Там же. С. 293.
• [5] Клейн Ф. Указ. соч. С. 53.
• [6] Клейн Ф. Указ. соч. С. 53.
• [7] Там же. С. 290.
• [8] Уиттекер Э. Указ. соч. С. 287—288.
• [9] Добровольский В. А. Указ. соч. С. 353.