Первая книга «Начал» Евклида. 
Аксиоматика

А теперь перейдем, наконец, к геометрии в изложении самого Евклида, к его «Началам». До Евклида подобные «Началам» книги написали Гиппократ Хиосский, платоники Леон и Фейдий. Но эти книги значительно уступали Евклиду, поэтому о них сохранились лишь немногие упоминания. Еще раз повторим, что «Начала» являются наиболее талантливым сводом древнего тайного знания о божественном мире первоэлементов.

И Евклид явился наилучшим популяризатором тысячелетиями недоступного толпе знания. Греки времен Платона раскрыли его, поэтому настоятельно требовалось изложить его в наиболее совершенном виде. А это поистине титаническая задача, требующая десятилетий самоотверженных занятий.

Известно, что все школьные учебные пособия по арифметике, геометрии и начальной алгебре во всем мире основываются на «Началах» Евклида. Поэтому все то, что дети в течение долгих лет изучали в школе, есть лишь так или иначе модифицированное изложение «Начал».

Итак, о чем же «Начала» Евклида? Первая строчка первой книги «Начал» говорит о минимальном геометрическом объекте — точке, а через тринадцать книг все заканчивается построением пяти правильных многогранников. Речь идет о пирамиде (огне), октаэдре (воздухе), икосаэдре (воде), кубе (земле) и додекаэдре (эфире). Это и есть математические первоэлементы, платоновские космические тела, о которых не устает на протяжении тысячелетий говорить древняя и средневековая философия. Согласно этой многовековой традиции из этих первоэлементов состоят идеальный космос и все божественные существа.

Неслучайно «Начала» Евклида переводятся еще либо как «Элементы», либо как «Стихии», что еще раз подтверждает связь геометрии Евклида и философских первоэлементов или первостихий. Известнейший философ-неоплатоник V в. н.э. Прокл вполне определенно говорит, что «сам Евклид в своих „Началах“ конечной целью ставит построение правильных тел»^[1]. О самом Евклиде Прокл писал: «Он принадлежит к платоникам и близок их философии, почему и поставил целью всего своего изложения начал описание так называемых пяти платоновских тел»^[2]. Точно так же воспринимали изучение «Начал» Евклида в Средние века, когда их непосредственно связывали с учением о первоэлементах в «Тимее» Платона.

Первое определение первой книги «Начал» гласит: «Точка — это то, что не имеет частей»^[3]. Далее дано определение линии как длины без ширины. Следующее определение Евклида вводит поверхность как «то, что имеет длину и ширину»^[4]. Первые определения первой книги «Начал» Евклида описывают основные достижения этапа атомизма, где рассматриваются математические точки, линии и поверхности как неделимые. Таким образом, Евклид начинает именно с краткого аксиоматического изложения основ математики неделимого. Весь атомизм дается в виде определений.

Евклид таким образом показывает, что он будет пользоваться уже полученными ранее результатами. Здесь Евклид опять же в сжатой аксиоматической форме вводит наиболее простые неделимые — прямые и плоскости. Определение прямой линии дается как линии, которая «равно расположена по отношению к точкам на ней». Плоскость же определяется как поверхность, которая «равно расположена по отношении к прямым линиям на ней»^[4].

Затем Евклид вводит представление о различных углах. Угол есть сочетание либо двух линий, либо двух поверхностей, т. е. угол есть сочетание неделимых атомизма. Евклид дает определение угла через «наклонение друг к другу двух линий, в плоскости встречающихся друг с другом, но не расположенных по одной прямой»^[4]. Далее Евклид опять вводит простейшие сочетания неделимых. «Когда же линии, содержащие угол, прямые, то угол называется прямолинейным»^[4]. Угол представляет собой незамкнутое сочетание неделимых. Если же сочетание будет замкнуто, то возникает либо криволинейная, либо прямолинейная фигура. «Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или каких-нибудь границ»^[8].

Простейшая криволинейная фигура вводится посредством определения круга. «Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии (которая называется окружностью), на которую все из одной точки внутри фигуры падающие (на окружность круга) прямые равны между собой»^[8]. Отсюда круг понимается атомистически как совокупность радиусов. Если же сочетание состоит из трех линий, то получается простейшая геометрическая фигура — треугольник. После этого Евклид вводит еще определения других прямолинейных фигур: прямоугольников, квадратов, трапеций и т. д.

После определений Евклид приводит пять постулатов. Эти постулаты задают разрешенные в математике первоэлементов операции. Они наглядно показывают, что математика первоэлементов — это математика потенциальной бесконечности и атомизм заканчивается в определениях. Далее операции актуально бесконечного деления в традиции первоэлементов не разрешены.

Вот евклидовы формулировки первых трех постулатов: «1. Что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию. 2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 3. И что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг»^[10]. Как правило, всегда приводятся пять постулатов, но четвертый постулат о равенстве прямых углов и пятый постулат о параллельных прямых часто относят к аксиомам (соответственно десятая и одиннадцатая аксиомы).

Это кажется более логичным, ибо первые три постулата вполне задают способ описания математики первоэлементов как геометрии линейки и циркуля. Первый и второй постулаты вводят потенциально бесконечное построение всякой прямой именно как проведение линии. Третий постулат вводит построение круга посредством проведения линии, причем этот постулат контрастирует с вышеприведенным определением круга как совокупности радиусов.

Здесь же следует на контрасте рассмотреть отличия математики правильных многогранников от математики материального эфира и математики атомизма. В атомизме линия между двумя точками дана сразу, причем эта линия состоит не из проведенных отрезков, а из разделенных пустотой точек как неделимых. Уже неоднократно повторялось, что эти точки-атомы лучше понимать как предельные особенные точки, данные со своими окрестностями. Вот эти окрестности предельных точек в первом приближении и следует называть пустотой.

Математика материального эфира оперирует с потенциальной бесконечностью. Но фундаментальная разница заключается в том, что материальный эфир описывается через конечные и бесконечные неопределенные уравнения, а математика первоэлементов оперирует только с конечными степенными уравнениями одной переменной и их системами. Поэтому математика материального эфира начинается с конических сечений, описываемых неопределенными уравнениями второй степени, а математика первоэлементов не выходит за пределы прямой и круга (линейки и циркуля).

Известно, что сам Евклид проводил исследование кривых линий — конических сечений и ему принадлежит известное в Античности сочинение, посвященное коническим сечениям. Но это евклидово сочинение в отличие от непревзойденных «Начал» уступило «Коническим сечениям» Аполлония Пергского. Для Евклида «Начала» начинаются там, где заканчивается его сочинение по коническим сечениям.

Продолжают различение математики правильных многогранников от двух других математических традиций общие понятия, или аксиомы, Евклида. Основное различение в аксиомах проводится между математикой первоэлементов и атомизмом. Первые же аксиомы определяют существенность этого различия. Эти аксиомы гласят: «1. Равные одному и тому же равны между собой. 2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны»^[11].

Это совершенно правильно для конечной арифметики и алгебры, но это принципиально неправильно для математики атомизма как математики бесконечного (например, вспомним парадоксальное равенство между всеми натуральными числами и их квадратами, которое в Новое время было известно как парадокс Галилея). Получается, что оба множества равны, поэтому если к ним прибавить какое-то, например, конечное множество, то выходит опять же парадоксальная и совершенно неочевидная для конечного разума ситуация. Такие же проблемы возникают для отнятия и удвоения.

Но естественно, что самая парадоксальная ситуация возникает с аксиомой «целое больше части», ибо это совершенно неправильно для математики атомизма, где «целое равно части». Это, кстати, одно из положений канторовской теории множеств. Девятая аксиома «и две прямые не содержат пространства», а также упоминавшиеся выше десятая и одиннадцатая аксиома четко отличают евклидову геометрию от неевклидовых геометрий. Особенно это касается одиннадцатой аксиомы (пятого постулата): «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых»^[4].

Попытки доказательства этой аксиомы и привели в конце концов к построению неевклидовой геометрии. Очевидно, что неевклидовы геометрии принадлежат к иной, чем математика первоэлементов, традиции. Этой традицией следует опять же считать математический атомизм. «В 1966 году И. Тот на основании анализа нескольких текстов Аристотеля пришел к заключению, что в античной математике до Евклида изучались геометрические системы, в которых сумма углов треугольника не равна двум прямым, а больше или меньше этой величины. Такие системы в XIX веке получили название неевклидовых. Согласно И. Тоту, греки знали многие предложения неевклидовой геометрии»^[13].

Но неевклидовы геометрии получили право на существование только после победы математического атомизма теории множеств Кантора. До этого еще Гаусс боялся «криков беотийцев» и по мировоззренческим соображениям не обнародовал свои результаты, которые по духу принадлежали атомизму. Но Гаусс в отличие от Вейерштрасса принципиально отказался от перехода к атомизму, ведь до победы атомизма тогда оставалось еще почти полвека.

• [1] Евклид. Начала. Книги XI—XV. Комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. М.; Л., 1950. С. 309.
• [2] Прокл. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида.

  Введение

  М., 1994. С. 167—168.

• [3] Евклид. Начала. Книги I—VI. С. 11
• [4] Там же.
• [5] Там же.
• [6] Там же.
• [7] Там же.
• [8] Там же. С. 12.
• [9] Там же. С. 12.
• [10] Евклид. Начала. Книги I—VI. С. 14.
• [11] Евклид. Начала. Книги I—VI. С. 15.
• [12] Там же.
• [13] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 110.