Толстостенная труба под действием радиального давления

Рассмотрим бесконечно длинную толстостенную трубу под действием радиального внутреннего и наружного давления (рис. 2.2).

Рис. 2.2.

Будем считать, что ее материал упругий и изотропный, а значение интенсивности давления не меняются ни в окружном, ни в осевом направлениях, т. е. р_а = const и p_h = const.

Задача является осесимметричной. Мысленно вырежем из этой трубы кольцо единичной протяженности, нагруженное внутренним и наружным давлением. Найдем напряжения в нем (рис. 2.3), предполагая, что реализуется плоское напряженное состояние, т. е. что осевое нормальное напряжение (<�з₂) равно нулю.

Рис. 2.3.

Вследствие осевой симметрии касательные напряжения на гранях малого элемента (см. рис. 2.3) отсутствуют, а радиальное перемещение (и), радиальные и окружные деформации (е_г, с_ф) и напряжения (ст, ст_ф) будут функциями только одной переменной — текущего радиуса (г). Таким образом, напряженное состояние — сложное (двухосное растяжение-сжатие), а задача оказывается одномерной.

Уравнения теории упругости (1.15), (1.16) и (2.3) для рассматриваемой задачи примут вид Решение этого уравнения имеет вид Подставив выражения (2.16) в уравнение (2.12), получим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно радиального перемещения.

Разрешим уравнения закона Гука относительно напряжений:

а в них относительные деформации с помощью геометрических соотношений (2.13) выразим через радиальное перемещение, тогда.

Постоянные интегрирования находят из граничных условий.

В рассматриваемой задаче на границах известны напряжения (рис. 2.4), и граничные условия записываются следующим образом:

Рис. 2.4.

Таким образом, для определения постоянных интегрирования (А и В) сначала необходимо получить выражение для радиального напряжения. Используя решение (2.18) и соотношения (2.16), получим.

Решив эту систему алгебраических уравнений, найдем постоянные интегрирования:

Используя соотношения (2.16), (2.18) и (2.21), получим окончательные выражения, определяющие напряженно-деформированное состояние трубы. Эти выражения имеют следующий вид:

Если в осевом направлении действует напряжение ст_г, то выражения для окружных и радиальных напряжений не изменятся, а радиальное перемещение будет вычисляться по следующей формуле:

где/|(ц) = —^г-;/₂(ц) =.

Эта задача была решена профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Г. Ламе.

На рис. 2.5 показаны эпюры радиальных и окружных напряжений для трубы, у которой а = 1, b = 2,5 a, q_a = 1, q_h = 0,2 q_a, R = г/а.

Расчетные формулы для напряжений в трубе, нагруженной только внутренним давлением, имеют вид.