Колебания струны и балки

Изучим движение двух одномерных упругих систем — натянутой струны и балки.

Рассмотрим цилиндрическое упругое тело (струну) с образующей, параллельной оси Ox_t. Основанием цилиндра служит круг, радиус которого г₀ много меньше высоты цилиндра /. Ось Ох, совпадает с осью цилиндра. Для простоты будем рассматривать такие движения струны, когда ее ось остается в плоскости Ох, х₂. Деформированное состояние оси струны зададим соотношениями.

Концы струны закреплены — и_к(0, Г) = «*(/, 0 = 0, *=1, 2, а параметр е характеризует первоначальное растяжение струны.

Пусть на струну действует поле массовых сил f (г, t) = (f (s, 0, /₂(s, г), 0), а поверхностные силы на боковой поверхности струны отсутствуют. Как и в § 9.4, примем тензор напряжений Р для всех точек ортогонального сечения струны одинаковым, когда p_n = p_n(s, I), а р_и = рзз = р_|2 = ри = р₂₃ = 0. Эта аппроксимация называется гипотезой плоских сечений Кирхгофа—Лява. Функционал потенциальной энергии упругих деформаций в этом случае аналогичен функционалу (4.9), соответствующему продольным колебаниям стержня, и имеет вид

где e,(s, t) — деформация упругой оси струны. Согласно формулам (5.1), гипотезе плоских сечений и определению главной деформации 0.1.4 главная деформация, характеризующая растяжение упругой оси струны, равна.

Функционал (5.2) с точностью до членов второго порядка малости по производным dUf/ds, du-Jds с учетом малости е представим в виде.

Первый член в (5.3) определяет потенциальную энергию прямолинейной растянутой струны и не влияет на уравнения движения. Согласно закону Гука ESe = Т₀ — натяжение струны. Положим.

При вычислении кинетической энергии струны будем считать, что энергия сечения совпадает с энергией материальной точки, лежащей на оси струны, т. е.

где р₀ — линейная плотность материала струны (р₀ = р5).

Вариационный принцип Д’Аламбера—Лагранжа и следующие из него уравнения движения представим в форме.

При выводе уравнений (5.6) и (5.7) следует выполнить в (5.5) интегрирование по частям в двух последних членах и учесть граничные условия. Уравнение (5.6) совпадает с уравнением (4.5) и описывает продольные колебания в струне, а уравнение (5.7) — соответственно поперечные колебания струны. Набор собственных частот и собственных форм поперечных колебаний определяется согласно методу Фурье (см. § 8.4) и равен.

Аналогично § 8.4 общее решение уравнения (5.7) при /_г = 0 задается формулой.

где коэффициенты АА_п подлежат определению из начальных условий движения. В рассматриваемом приближении продольные и поперечные колебания струны полностью разделяются. Собственные частоты поперечных колебаний меньше соответствующих собственных частот продольных колебаний струны v_k < ш_ъ к = 1, 2,… так как Т₀ < ES.

Еще одна модель изгиба прямолинейного стержня соответствует модели упругой балки, когда первоначальная деформация струны равна нулю (Го = 0). Также предполагаем, что продольные силы отсутствуют и продольные перемещения точек оси балки и₍(дг, г) равны нулю. Под действием поперечного поля сил Мх_ь I) возникают перемещения точек оси стержня (балки) по оси Ох_г. При изгибе балки так же, как и раньше, справедлива гипотеза плоских сечений, так как внешние поверхностные силы предполагаются равными нулю, а стержень достаточно тонким. Поле перемещений точек балки выразим через м₂(х, /) — перемещение оси балки в проекции на ось Ох_г. Единичный вектор касательной к оси балки т * (1, и₂'), ^а нормаль п * (—м₂', 1), где штрих означает дифференцирование по х,. Согласно гипотезе плоских сечений точка балки М, радиус-вектор которой г (х, х₂, х₃), переходит в процессе изгиба в точку М*, радиус-вектор которой г* =х, е,+х₂п+ х₃е₃+ + и₂(х, I) е₂. Главная деформация частицы, соответствующая направлению оси Ох|, вычисляется по формуле (1.5) § 8.1 и равна.

В выражении (5.8) оставлены члены, линейные по компонентам вектора перемещений оси балки. Рассматривая элементарный объем балки dx_tdx₂dx₂ по аналогии с найденным ранее выражением потенциальной энергии упругих деформаций стержня или струны, получим соответствующий функционал.

Величина EJ называется изгибной жесткостью балки. Если, как и ранее, кинетическую энергию балки принять равной.

то вариационный принцип Д’Аламбера—Лагранжа представится в форме.

Здесь м₂(Х|, О обозначена через v (s, (), ах, — через s. Функции v (s, /), 6v (s, t) принадлежат конфигурационному пространству #₂ = Ms, I): v (s, t) е И^/'₂²([0, / ]), v (0, t) = i>(/, /) = 0}, если концы балки закреплены. Здесь И^/₂²((0, / ]) — пространство Соболева функций, суммируемых вместе с квадратами вторых производных на отрезке |0, /]. Поскольку

то принцип Д’Аламбера—Лагранжа принимает вид.

Учитывая произвольность вариаций 8u (s, t), 8v'(0, t), 6и'(/, /), приходим к уравнениям.

Уравнение (5.11) описывает поперечные колебания балки, а соотношения (5.12) суть динамические граничные условия, которые вместе с кинематическими граничными условиями (условиями закрепления концов балки) образуют полный набор граничных условий. Общее решение однородного уравнения (5.11), описывающее собственные колебания балки, можно также получить методом Фурье разделения переменных.