Изгиб. 
Техническая механика: сопротивление материалов

Цель: сформировать представление об основных характеристиках сопротивления изгибу.

Геометрические характеристики плоских сечений

Статические моменты сечения. Определение положения центра тяжести составного сечения

Основным объектом, изучаемым в разделе «Сопротивление материалов», является стержень. Сопротивление стержня различным видам деформации зависит не только от материала и размеров конструктивного элемента, но и от формы и расположения поперечных сечений. Рассмотрим основные геометрические характеристики поперечных сечений стержня, определяющие сопротивление различным видам деформаций.

Простейшей геометрической характеристикой является площадь поперечного сечения. Она входит в расчетные формулы, определяющие прочность и жесткость при осевом растяжении или сжатии стержня.

В случаях изгиба, кручения и сложного сопротивления встречаются более сложные геометрические характеристики. К ним относятся статические моменты, осевые моменты инерции, полярный момент инерции, осевые моменты сопротивления и др.

Рассмотрим произвольное поперечное сечение стержня, связанное с координатными осями ох и оу (рис. 32, а). Выделим элемент площади dA с координатами х у.

Статическими моментами сечения относительно осей х и у (рис. 32, а) называются определенные интегралы вида.

где А — площадь сечения; xwу-координаты элемента площади dA.

Если известно положение центра тяжести сечения С (рис. 32, б), то статические моменты сечения могут быть определены по простым формулам, без взятия интегралов:

где .ус и хс — координаты центра тяжести сечения.

Рис. 32. Расчетная модель определения статических моментов сечения: а) выделенное сечение в декартовой системе координат; б) положение центра тяжести сечения Из определения статического момента сечения вытекают три следствия:

• 1. Статический момент сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю.
• 2. Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными.

Если сечение имеет ось симметрии, то центр тяжести сечения лежит на этой оси. В случае, когда сечение имеет две оси симметрии, центр тяжести лежит на пересечении этих осей.

3. Статический момент сложного (составного) сечения равен алгебраической сумме статических моментов простых фигур (статические моменты отверстий в сложных сечениях берутся со знаком «минус»).

Из выражения (34) можно определить координаты центра тяжести сечения:

Для вычисления статических моментов сложного (составного) сечения (рис. 33) его разбивают на простые части, для каждой из которых известны площадь A_t и положение центра тяжести х, и у,. Статический момент всего сечения относительно данной оси определяется как сумма статических моментов каждой части:

По формулам (35) и (36) легко найти координаты центра тяжести сложного сечения:

где А, — площадь /-ой части сечения; х_с, и у_с,• - координаты цен трое тяжести отдельных частей сечения.

Рис. 33. Схема для определения центра тяжести и статических моментов сложного сечения.