Модели зависимости от касательного портфеля

Другим фактором, часто используемым в линейных регрессионных моделях, является доходность некоторого выделенного портфеля ценных бумаг, который называется касательным. Это понятие было введено Г. Марковицем в 1952 г. Опишем это понятие.

Пусть на финансовом рынке обращается п ценных бумаг и капитал, равный единице, инвестируется в эти бумаги так, что х_{ — капитал, инвестируемый в i-ю бумагу. Набор чисел р = x_lf …, х_п, удовлетворяющий условию х_х +х₂ + … + х_п =1, назовем портфелем цепных бумаг. Разумеется, некоторые числа {Xj} могут быть нулевыми. (На самом деле некоторые x_i могут быть и отрицательными: соответствующая ситуация называется продажей ценной бумаги без покрытия. Мы, однако, не будем углубляться в это понятие.).

Каждому портфелю р соответствует случайная величина г_р —доходность, которая определяется аналогично доходности одной ценной бумаги.

п

Очевидно, г_р = X^х/⁷/- Рассмотрим координатную плоскость, на которой, но /=1.

оси ординат откладывается математическое ожидание доходности (ожидаемая доходность 7_р), а по оси абсцисс — стандартное отклонение доходности — а_р = ^О^ГрУ Величина а_р называется риском портфеля. Тогда каждому портфелю может быть поставлена в соответствие точка на такой координатной плоскости, а все множество допустимых портфелей отображается в некоторую двумерную фигуру, называемую допустимым множеством (рис. 15.1).

Между множеством всех портфелей и допустимым множеством, разумеется, нет взаимно-однозначного соответствия. Конечно, два различных портфеля могут иметь равные значения Т и а_р.

Рис. 15.1.

Естественно предположить, что инвестор предпочитает получить большую доходность с наименьшим риском, т. е. из двух портфелей с одинаковым значением 7_р он выберет тот, значение о_/; которого меньше. Это значит, что наиболее предпочтительному портфелю соответствует точка на куске границы АВ (см. рис. 15.1). Линия АВ называется эффективным множеством.

Проблема выбора точки эффективного множества решается каждым инвестором индивидуально и, казалось бы, зависит от его склонности к риску (или, наоборот, к избеганию риска). Оказывается, однако, что эффективному множеству принадлежит точка, которая является выделенной для всех инвесторов.

Предположим, что кроме приобретения ценных бумаг инвестор имеет возможность безрискового предоставления и получения займов. Такое предположение вполне соответствует действительности, если инвестор имеет возможность покупать государственные облигации и брать кредит. Мы сделаем еще одно предположение (уже отнюдь не столь бесспорное), что безрисковое предоставление и получение займов происходит с одной и той же процентной ставкой /у, которая называется безрисковой ставкой.

Рассмотрим прямую /, пересекающую ось ординат в точке /у и касательную к эффективному множеству.

Рис. 15.2.

Уравнение прямой / имеет вид 7 = ?у ±(г_м — /у).

^ал/.

Рассмотрим портфель р = (ду, х_м), где ду — безрисковые вложения (положительные в случае приобретения облигаций и отрицательные при заеме средств) с фиксированной ставкой /у, дг_м — вложение в портфель, соответствующий точке М. Тогда.

а _ _.

откуда г_р = /у +——{г_м т. е. точка (а_р, г_р) лежит на прямой /. Очевид;

^ам

но также, что любая точка полупрямой /, лежащая в первой четверти, достижима с помощью комбинации (ду, х_м).

Таким образом, при наличии возможности безрискового предоставления и получения займов допустимое множество расширяется, а эффективным множеством становится прямая /.

Портфель, соответствующий точке касания М (рис. 15.2), называется касательным портфелем.

Таким образом, оптимальной для любого инвестора стратегией оказывается инвестирование части средств в касательный портфель, а части — в безрисковые облигации. Либо наоборот: получение займа для дополнительного инвестирования в касательный портфель.

Разумеется, на практике точное нахождение касательного портфеля невозможно. Но для многих практических целей оказывается полезной модель, в которой в качестве фактора выбрана доходность касательного портфеля, а точнее — разница между г_м и безрисковой ставкой /у. Таким образом, F = г_м — гf и модель имеет вид.

где i — номер ценной бумаги.