Расчет остаточных напряжений

Пусть рентгеновский луч падает под углом ф к нормали исследуемой поверхности металла. Если угол отражения 0 (угол Бреггов) близок к 90 °, то с достаточной точностью можно считать, что измеряется расстояние вдоль падающего луча. В этом случае деформация кристаллической решетки в этом направлении

Расстояние d представляет собой некоторое усреднение для кристаллов данной ориентации, находящихся в пучке лучей, диаметром.

1…2 мм в слое глубиной около 20 мкм. Величина e_v, вообще говоря, отличается от обычной (макроскопической) деформации материала в заданном направлении. Деформация кристаллической решетки определенным образом связана с действующими на нее механическими напряжениями. Эта связь основана на уравнениях деформации монокристаллов, учитывающих упругую анизотропию.

В практических расчетах применяется приближенный способ, в котором деформация кристаллической решетки отождествляется с обычной деформацией, а напряжения вычисляются по формулам теории упругости. Существенно, что при таких вычислениях используются обычные значения постоянных упругости (Е и ц), свойственные изотропному телу [7].

Наиболее полно определяется сумма главных напряжений в поверхностном слое, когда луч направлен перпендикулярно поверхности металла.

в этой формуле d_t представляет собой расстояние между кристаллографическими плоскостями при направлении рентгеновского луча перпендикулярно к поверхности.

Первоначальное расстояние между соответствующими плоскостями d «можно найти, проводя такое же измерение для напряженного слоя (например, для материала в отожженном состоянии).

В большинстве случаев более важно найти не сумму главных напряжений, а напряжение в заданном направлении. Это достигается с помощью съемки (облучения) под углом ф к нормали поверхности.

Для использования результатов косой съемки необходимо знать некоторые зависимости теории упругости. Они необходимы также и для расчета остаточных напряжений в общем случае.

При произвольном объемном напряженном состоянии можно найти три главных направления.

Для поверхностного слоя детали (свободной от внешних нагрузок) одно из главных направлений (ему приписывается индекс 3) нормально к поверхности (о₃= 0). Два других главных напряжения создают двухосное напряженное состояние в поверхностном слое.

Из уравнений упругости (для равномерно нагретого тела) деформации в главных направлениях выражаются следующими равенствами (а₃= 0):

Пусть падающий рентгеновский луч составляет угол ф с нормалью к поверхности и лежит в плоскости, образующей угол ф с координатной плоскостью /, 3 (см. рис. 24).

Углы ф и ф представляют собой сферические координаты направления (угол ф — широта, угол ф — азимут).

Деформация в этом направлении

где /, т, п — косинусы углов, составленных вектором рассматриваемого направления с осями координат соответственно. Легко видеть, ЧТО П = COSV)/ .

Величины /им устанавливаются из геометрических соображений: / = cosa = cosepsin vp; т = cosp= sin cpsin vp. Таким образом,.

Если внести в это равенство соотношения (28), то получим следующую важную формулу:

В дальнейшем окажутся необходимыми некоторые соотношения для плоского напряженного состояния.

В площадке, нормаль которой составляет угол ф с направлением 1 (см. рис. 24), действуют нормальное и касательное напряжения.

Равенство (30) удобно представить в следующем виде:

Нормальное напряжение в площадке, нормаль к которой составляет угол ф + а с главным направлением 1 (см. рис. 24), будет равно.

Для определения остаточного напряжения в произвольном направлении ф необходимо провести две съемки: одну по нормали к поверхности и вторую под углом тр к нормали и так, чтобы падающий луч лежал в плоскости, содержащей нормаль и направление ф.

Расстояние между кристаллографическими плоскостями при первой съемке (нормально к поверхности) обозначается d_x, соответствующее расстояние по второй съемке d₄ .

Запишем итоговое уравнение (29) в следующем виде:

Если учесть, что.

используя соотношение (29), можно найти.

Величина d₀ мало отличается от d, так как упругие деформации в материале малы. С погрешностью, меньшей 0,1%, можно положить.

и тогда.

Это и есть расчетная формула для определения нормального напряжения в произвольном направлении. Угол ф выбирают обычно в пределах от 45 до 60 ° [7].

Рис. 24. Определение величины и направления главных напряжений.

В большинстве практических задач можно ограничиться определением остаточного напряжения в заданном направлении.

В некоторых случаях требуется найти величину и направление главных напряжений. Для этого необходимо сделать четыре съемки — одну нормально к поверхности и три другие при различных углах ср, но при постоянном угле ф (рис. 24).

Выбрав произвольно направление первого косого снимка, целесообразно провести второй под углом я/2, а третий — по биссектрисе угла между ними.

По формуле (32) могут быть вычислены напряжения о_ф>ст_ф+я/₂«ст_ф+я/4. Задача заключается в определении главных напряжений по известным значениям нормальных напряжений в трех направлениях.

Из соотношения (31) для, а = 0;тг/2;7с/4 будем иметь.

Из этих уравнений получаем.

Учитывая равенство.

из соотношений (33) и (34) можно найти:

Равенство (36) определяет два главных направления, составляющих между собой угол я/2 .

При сГфст_с+л/2 = 0 определение главных направлений лишено смысла; так, в этом случае нормальные напряжения по всем направлениям одинаковы и потому любое направление может быть признано главным.

После вычисления угла ср можно найти разность главных напряжений а, -а₂.

Из уравнения (33).

Учитывая соотношение (35), окончательно можно записать.

Что касается точности рентгеновских методов, го можно отметить, что погрешности, связанные с необходимостью точного измерения угла отражения рентгеновского луча, можно сделать достаточно малыми. Однако это не дает уверенности в том, что полученные результаты могут быть использованы для достаточно точного определения обычных напряжений и деформаций. В практических задачах представляет интерес определение именно макронапряжений, так как только с их помощью в настоящий момент может быть проведена оценка влияния остаточных напряжений на прочность.

Два основных вопроса нуждаются в дальнейшем исследовании: определение действительных значений упругих постоянных при осреднении деформации различных кристаллов и учет пластических деформаций. Это последнее обстоятельство весьма существенно, так как оно связано с большой неоднородностью в условиях деформации отдельных кристаллов и кристаллитов.

Погрешности при определении остаточных напряжений рентгеновским методом могут достигать больших величин: 50…200 МПа. Определение напряжений по глубине поверхностного слоя в 10…20 мк, которое получается в рентгеновском методе, также является в отдельных случаях дополнительным источником погрешностей.

Следует, однако, полагать, что возможность определения остаточных напряжений без разрушения детали является таким значительным преимуществом рентгеновского метода, что указанные его недостатки будут преодолены. Об этом свидетельствует накопленный опыт предприятий, позволяющий разрабатывать промышленно пригодные методики определения остаточных напряжений. Далее приводится пример такой методики, созданной и применяемой в лаборатории рентгеновской металлографии ОАО «Уралмаш».