Некоторые вопросы качественной теории эллиптических и параболических уравнений

В диссертации исследуются качественные свойства решений дифференциальных уравнений с частными производными. Рассматриваются эллиптические уравнения вида.

И/ ?

Хи-^21 а>ч-(х) =о, (1) '?IX.

1-/} - У и параболические уравнения вида.

И/ ?

ЪЫ)^ Ш = 0 (3,.

У1У.

Гу г h.J.? со следующими предположениями относительно коэффициентов.

4) чн. J J.

Относительно эллиптических уравнений вида (I) в области ^ исследуется задача Дирихле w — 0 в SL tt, I =? (к) USL r, а относительно уравнений вида (2) — задача Зарембы.

Lu, = о в J? L UkDV lr? U у и где ^ - производная по конормали оператора L, (J~ ?>S2 Р др —^, /? — компакт. T>v ni —, «¡-г — А*;

Для параболических уравнений (3) и (4) в области изучаются аналогичные задачи вида.

Р^^О в Я / ^¡-Г (Ч (^).

Ра = 0 в 3) и-1 = / 0 где собственная граница области ?), Л.

Гх Л Г^ - , — компакт, а — цилиндрическая по I поверхность.

1°. Структура диссертации.

Диссертация состоит из 4-х глав. Во введении к каждой главе обсуждаются постановки задач. Все параграфы снабжены примечаниями, в которых в основном приводится обзор литературы по рассматриваемому вопросу.

В первой главе изучается поведение решения смешанной задачи Зарембы для уравнения (2) вблизи гх в зависимости от изо-периметрических свойств области. Во второй главе исследуются те свойства решений смешаннойзадачи, которые достаточно эффективно описываются в терминах проводимости множеств. Задача Дирихле для недивергентных эллиптических уравнений с непрерывными коэффициентами рассматривается в третьей главе. Параболическим уравнениям (3) и (4) посвящена четвертая глава.

Полученные результаты тесно связаны между собой, во-первых, по постановке задачи, во-вторых, непосредственно, когда доказательство той или иной теоремы основано на изученных ранее свойствах решений. Приведем схему связей глав, в которой пунктир означает связь по постановке, а сплошная линия — непосредственную связь.

2°. Исторический обзор и место полученных результатов среди других работ.

Качественная теория изучает свойства априори существующих в области решений уравнений, удовлетворяющих тем или иным краевым условиям на границе, в зависимости от структурных свойств области и ее границы. Наибольшее число работ по качественной теории эллиптических и параболических уравнений посвящено задаче Дирихле, меньше — задаче Неймана и сравнительно мало и недавно — смешанной задаче.

Эллиптические уравнения.

Качественная теория эллиптических уравнений берет свое начало в работах С. Зарембы, А. Лебега, 0. Перрона, Н. Винера, О. Келлога, М. В. Келдыша и др. С. Заремба [116] и затем А. Лебег [39] показали, что в случае областей с Негладкой границей задача Дирихле дая уравнения Лапласа, вообще говоря, может быть неразрешима в том смысле, что существуют области и в них гармонические функции, непрерывные на границе, но терпящие разрыв при приближении к граничной точке изнутри области. 0. Перрон [114] определил решение задачи Дирихле в случае областей с негладкой границей и ввел важное понятие барьера регулярности граничной точки. Вопрос о разрешимости задачи Дирихле для уравнения Лапласа был решен в работах Н. Винера [119,120], в которых определено обобщенное решение задачи Дирихле, введено понятие емкости, и в терминах этой характеристики множества доказан критерий регулярности граничной точки. Далее Н. Винером было показало, что определенное им решение совпадает с пероновским обобщенным решением. Обобщенное по Винеру решение однозначно определяется значениями в регулярных граничных точках. Это связано с тем, что множество иррегулярных точек имеет нулевую емкость (теорема О. Келлога), а граничные значения на множестве нулевой емкости несущественны для единственности задачи Дирихле (Булиган). Подробно все эти свойства освещены в известной статье М. В. Келдыша [28], в которой изучен также вопрос об устойчивости задачи Дирихле, о пределах, в которых заключены значения решения в иррегулярной граничной точке, введено понятие гармонической меры и изучен ряд ее свойств. О. А. Олейник [80] показала, что граничная точка для задачи Дирихле относительно эллиптического уравнения с гладкими коэффициентами регулярна тогда и только тогда, когда она регулярна относительно уравнения Лапласа.

В работах Е. М. Ландиса [42,43] установлены возможные возрастания и убывания решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с дифференцируемыми коэффициентами в окрестности граничной точки и на бесконечности в зависимости от строения границы. Такого типа теоремы названы в [42] теоремами типа Фрагмена-Линделёфа (Ф-Л).

В другом аспекте в то же время теорема типа Ф-Л получена П. ДДаксом [107] в цилиндрических областях, но для уравнений высокого порядка, когда коэффициенты уравнения не изменяются вдоль оси цилиндра. Подробный обзор литературы до 1961 года по качественной теории эллиптических уравнений 2-го порядка можно найти в статье Е. М. Ландиса [43], Теоремы типа Ф-Л получены Е. М. Ландисом для областей, которые описаны в терминах объема.

Для областей, описываемых в терминах емкостей, первым их по, лучил В. Г. Мазья [57,58] для уравнений в дивергентной форме. Позднее, другими методами для недивергентных уравнений с непрерывными коэффициентами это было сделано А. А. Новрузовым [72], Г. Н. Блохиной [3] и др. В терминах мер теоремы типа Ф-Л для эллиптических уравнений в недивергентной форме с ограниченными и измеримыми коэффициентами получены Н. В. Крыловым и М. Сафоновым [38], А. А. Новрузовым [77] и др.

В другом аспекте поведение решений эллиптических уравнений изучалось В. А. Кондратьевым, В. Г. Мазьёй, О. А. Олейник, О. А. Ладыженской, Н. Н. Уральцевой, В. А. Солонниковым и др. В этих работах структура области, как правило, описывается в терминах собственного числа задачи, определенной на специально выбранном многообразии (обычно сфера или гиперплоскости), пересеченном с областью. Подробно об этом круге вопросов написано в недавно вышедшей обзорной статье ВД. Кондратьева и О. А. Олейник [35].

Все эти результаты относятся к эллиптическим уравнениям в дивергентной форме. Поведение решения задачи Дирихле вблизи граничной точки для несамосопряженных уравнений изучалось в работах Е. М. Ландиса, Н. В. Крылова, А. А. Новрузова и др. Е.М.ЛаН' дисом [45] рассматривались уравнения с разрывными коэффициентами и в терминах так называемой 5 -емкости доказаны достаточные условия регулярности граничной точки для задачи Дирихле. Н. В. Крыловым [37] и позднее другим методом А. А. Новрузовым [72] показано, что критерий регулярности граничной точки для задачи Дирихле относительно эллиптических уравнений 2-го порядка с непрерывными по Дини коэффициентами совпадает с критерием Винера.

Из примеров, построенных Е. М. Ландисом [45], А. А. Новрузовым [74], К. Миллером [62,63] и О. Н. Зограф [46] следует, что условие Дини в этом результате существенноболее точно, существуют примеры уравнений и областей, для которых граничная точка иррегулярна относительно задачи Дирихле для данного уравнения и регулярна для уравнения Лапласа. Этим недивергентные уравнения отличаются от дивергентных, для которых, как показали У. Литман, Г. Стампакья, Г. Вейнбергер [52], граничная точка регулярна относительно задачи Дирихле тогда и только тогда, когда она регулярна для уравнения Лапласа.

Так же дело обстоит и с вопросом об устранимости множеств, а именно: если модуль непрерывности коэффициентов удовлетворяет условию Дини, то, как показал А. А. Новрузов {72], критерий устранимости множеств для данного уравнения относительно задачи Дирихле совпадает с критерием устранимости для уравнения Лапласа. Если же условие Дини не выполнено, то это уже не так в ему построенных К. Миллером [63] и Е. М. Ландисом Г47] примеров.

Таким образом для всего класса эллиптических уравнений с непрерывными коэффициентами, не удовлетворяющими условию Дини, не может быть единого критерия регулярности граничной точки и устранимости множеств. Поэтому, на наш взгляд, естественно было получить отдельные необходимые и достаточные, не обязательно смыкающиеся, условия регулярности граничной точки и устранимости множества относительно задачи Дирихле для решений уравнений с непрерывными коэффициентами. С этой целью в гл. Ш для эллиптических уравнений с непрерывными коэффициентами вводятся так называемые суби суперемкости и потенциалы. В терминах этих емкостей получены необходимые условия и достаточные условия регулярности граничной точки (теоремы 2.1 и 2.2) и устранимости множества (теоремы 3.1 и 3.2), аналог теоремы Келлога о массивности множества иррегулярных точек (теорема 3.3), аналог теоремы типа Ф-Л (теорема 4.1), полеченной В. Г. Мазьёй для дивергентных уравнений. Кроме того в этой главе устанавливается связь между «степенью иррегулярности» граничной точки и гладкостью вблизи этой точки задачи Дирихле (теорема 4,1). Все результаты этой главы опубликованы в статьях 1*14,20,21] .

Ю.А.Алхутовым [I], А. А. Новрузовым и И. Т. Мамедовым [79], И. Т. Мамедовым [" 64] необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки изучались и для более широкого класса эллиптических уравнений, характеризуемых не модулем непрерывности коэффициентов, а специальным образом определенной функцией эллиптичности.

В стороне от этого короткого обзора по эллиптическим уравнениям осталось много вопросов: неравенство Харнака, априорные оценки норм Гельдера, единственности и др. Подробно с ними можно ознакомиться по книгам О. А. Ладыженской и Н.Н.Ураль-цевой Г40], Е. МДандиса [46], Гилбарга и Трудингера [101] и обзорной статьи В. А. Кондратьева и О. А. Олейник [35]. Но даже из сказанного видно, что качественные свойства решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений хорошо изучены.

Иначе дело обстоит с задачей Неймана и Зарембы. Первые работы здесь появились сравнительно недавно. В случае, когда область звездная, вопросу о разрешимости задачи Неймана посвящены работы О. А. Ладыженской и H.H. Уральцевой [40], Лион-са fl03], Лионса и Дени [104] и др. В серии статей В. Г. Мазьи [53−56] даны критерии разрешимости задачи Неймана для эллиптических уравнений' 2-го порядка в различных соболевских пространствах. Им же в статье [54] получена оценка максимума модуля решения задачи Неймана в предположении, что область удовлетворяет изопериметрическим условиям. В монографии О. А. Ладыженской и H.H.Уральцевой [41] получены априорные оценки нормы Гельдера вплоть до границы области в предположении, что вблизи границы выполнены специальные интегральные неравенства. Далее, при выполнении изопериметрических условий А. К. Гущин [5] для решения 2-й краевой задачи относительно параболических уравнений в цилиндрических областях получил теоремы о стабилизации такие же, как если бы область совпадала со всем полупространством и рассматривалась задача Коша. Известна тесная связь между изопериметрическими условиями и интегральными неравенствами (см. работы В. Г. Мазьи Г53−56]), с одной стороны, и априорными оценками нормы Гельдера и стабилизацией решения задачи Коши для параболических уравнений (см. [7,41,113]), — с другой. В этой связи нам представлялось интересным выяснить, как зависит поведение решений задачи Неймана вблизи границы области в зависимости от изопериметрических свойств области. В первой главе при ограничении типа изопериметрического неравенства для решения задачи Неймана относительно эллиптического уравнения в дивергентной форме с однородными условиями на границе получена априорная оценка нормы Гельдера вплоть до границы (теорема 4.1) и неравенство Харнака (теорема 3.1).

Используемая в гл. I методика позволила также выявить три возможных способа поведения решения задачи Неймана в зависимости от изопериметрических свойств области. Во-первых, это решения, колеблющиеся и выходящие на константу при приближении к граничной точкево-вторых, колеблющиеся и стремящиеся по последовательное тям точек к*00 и — и, в-третьих, знако-постоянные и стремящиеся к (теорема 4.2 или теорема о трихотомии). Впервые такого рода теорема типа Ф-Л была получена Е. М. Ландисом и Г. П. Панасенко 149] для неограниченной цилиндрической области с достаточно гладкой границей. Влияние структуры области на рост либо убывание решения задачи Неймана на бесконечности изучено в статьях О. А. Олейник и Г. А. Иосифяна Г81,82], С. С. Лахтурова [51], В. Г. Мазьи, Т.М.Ке-римова и А. А. Новрузова [29], В. А. Солонникова [83] и А.К.Тю-линой [90]. Вопросу о реализации решений, обладающих соответствующей асимптотикой в теореме о трихотомии, посвящен § 6.

Первые работы по разрешимости задачи Зарембы для областей с липшицевой границей получены в работах [40,95,103]. Необходимые и достаточные условия на область для разрешимости в ней смешанной задачи получены В. Г. Мазьёй [55]. Т. М. Керимовым в работе [31] показано, что точка стыка носителей данных Дирихле и Неймана регулярна для задачи Зарембы тогда и только тогда, когда она регулярна для следующей задачи Дирихле: л м- - о в, = /При некоторых предположениях относительно носителей данных Неймана, сформулированных в терминах гармонических мер, А. АЛоврузовым [75] показано, что граничная точка стыка регулярна для смешанной задачи тогда и только тогда, когда она регулярна для задачи Дирихле в той же области. В работе В. Г. Мазьи, Т. М. Керимова, А. А. Новрузова [29] для неограниченной цилиндрической области с липшицевой границей доказан критерий регулярности бесконечноудаленной граничной точки для смешанной задачи. Т. М. Керимов [30] обобщил этот результат на случай областей липшицевых на каждом сечении и суживающихся на бесконечности и в окрестности конечной граничной точки.

В.А.Кондратьевым в [32] доказана гельдеровость в замыкании области решений смешанной задачи для эллиптических уравнений высокого порядка в областях, для которых справедливы специальные интегральные неравенства. В работах О. А. Олейник и ее учеников (см. [81,82,90]) получены различные интегральные оценки решений смешанной задачи в зависимости от структуры области.

Как уже отмечалось, при изучении поведения решений эллиптических уравнений вблизи носителя нулевых условий Неймана существенную роль играют изопериметрические свойства области. Точно так же в терминах специального «относительного» изопериметрического условия в гл. I удалось получить оценку модуля непрерывности (теорема 6,4) смешанной задачи в точках стыка носителей данных Дирихле и Неймана и доказать теорему типа Ф-Л (теорема 6.5), аналогичную теореме Е. М. Ландиса, доказанной для задачи Дирихле [42]. Все эти результаты опубликованы в статьях [16,18,19,22].

Во второй главе изучаются различные свойства смешанной задачи, которые естественным образом формулируются в терминах проводимости. А именно: для областей, удовлетворяющих изопе-риметрическим условиям в специальных сферических слоях, доказывается критерий регулярности граничной точки (теорема 2,1), устранимости множеств (теорема 3.1) и теорема типа Ф-Л (теорема 4.1), аналогичная теореме В. Г. Мазьи [58]. В этой же главе для задачи Зарембы получены аналоги теоремы Келлога о несущественности множества иррегулярных точек (теорема 3.2), теоремы Келдыша о предельных значениях решений в иррегулярной точке (теорема 4.2) и теорема о гладкости вблизи иррегулярной точки (теорема 4.1). Доказательство всех теорем существенно опирается на изученные в гл. I свойства решений задачи Неймана. Эти результаты, в основном, опубликованы в статьях [16,18,19, 23].

Параболические уравнения.

В той степени, в какой качественная теория эллиптических уравнений берет свое начало от работы Н. Винера и О. Перрона, качественная теория параболических уравнений берет свое начало от статьи И. Г. Петровского [85], в которой в случае, когда граница области в окрестности граничной точки устроена как мо.

V V {> о функция, доказан Эффективный критерии регулярности граничной точки душ задачи Дирихле относительно уравнения теплопроводности.

В статье Б. Пини ГПбД в терминах тепловых емкостей получено достаточное условие регулярности граничной точки для уравнения теплопроводности. Однако это условие не обобщает достаточные условия И. Г. Петровского. Е. МДандисом [44] в произвольных областях для параболических уравнений построено обобщенное решение, аналогичное винеровскому, и доказывается критерий регулярности граничной точки относительно задачи Дирихле для уравнения теплопроводности.

Этот критерий формулируется в терминах потенциалов. Для уравнений с модулем непрерывности коэффициентов, удовлетворяющим условию 5 т)/т)1ит! ¿-г с критерий регулярности о граничной точки для уравнений в недивергентной форме доказан А. А. Новрузовым [711. Этот результат в случае уравнений с непрерывными по Дини коэффициентами получен И. Т. Мамедовым [66]. Для уравнений с разрывными коэффициентами достаточные условия регулярности получены Е. М. Ландисом [46]. Различные обобщения этих результатов на случай эллиптико-параболических уравнений, вырождающихся в параболические вблизи границы, получены в статьях [11−13,71]. В другом аспекте, поведение решения уравнения с неотрицательной характеристической формой вблизи границы изучались в работах М. В. Келдыша, А. В. Бицадзе, Дж. Фи-керы, О. А. Олейник, Да. Кона и Л. Ниренберга и др. Подробный обзор молено найти в книгах О. А. Олейник и Е. В. Радкевич [84], А. В. Бицадзе (21 и в недавно вышедшей статье А. В. Иванова [25]. В областях с цилиндрической по t границей вопрос о непрерывности в граничной точке изучался в работах А. Н. Тихонова [89] и В. А, Ильина [26]. Для уравнений в дивергентной форме несмыкающиеся, необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки относительно задачи Дирихле получены Е. Ланконел-ли ГЮ5,106]. Результаты работ [105,106] сформулированы в терминах емкостей. Критерий регулярности граничной точки в терминах емкостей для уравнениятеплопроводности получен Гарьепи и Эвансом [100].

Отметим, что душ уравнений в дивергентной форме с ограниченными и измеримыми коэффициентами, вообще говоря, нет критерия регулярности граничной точки, аналогичного критерию регулярности для дивергентных эллиптических уравнений. Подробнее об этом написано во введении к гл. 1У.

В этой главе для уравнений в недивергентной форме с непрерывными коэффициентами получены несмыкающиеся необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки и устранимости множеств относительно задачи Дирихле (теоремы 2.2, 2.3 и 3.1). Далее рассматривается вопрос о существенности в смысле единственности множества иррегулярных точек, о том, в каких пределах заключены предельные значения решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности в иррегулярной точке' (теорема 4.1), и то, как «степень иррегулярности» точки влияет на гладкость решения задачи Дирихле вблизи этой точки (теорема 4.2).

В этой же главе изучается поведение решений задачи Дирихле для параболических уравнений на + =*=> и — е><=> по?. Поведение решений параболических уравнений в неограниченных областях относительно задачи Дирихле с переменной по t границей изучалось в работах Е. МДандиса [43], М. Кшижанского [102], ЮЛеремныха [23], В. А. Кондратьева [33], В. П. Михайлова [67], Ф. Х. Мукнинова 69, 0.А.Ладыженской, В. А. Солонникова и Н.Н.Ураль-цевой [41], О. А. Олейник и Г. А. Мосифяна [82], О. А. Олейник и.

Е.В.Радкевича [83], А. К. Гущина [7] и др. В этих работах в терминах мер или в терминах первого собственного числа задачи Дирихле на пересечении гиперплоскостей i — са^Л с областью для эллиптического уравнения в дивергентной форме получены оценки решений задачи Дирихле для параболических уравнений в дивергентной форме на + и — >=<=> .

В гл. 1У в неограниченных областях по конструкции Винера-Ландиса определено обобщенное решение задачи Дирихле для параболических уравнений и в терминах параболических емкостей получены достаточные и необходимые условия регулярности бесконечно удаленной точки (теорема 2.2 и теорема 2.3). Этот вопрос оказался тесным образом связанным с задачей А. Н. Колмогорова, впервые рассмотренной И. Г. Петровским, и теоремами типа Ф-Л для параболических уравнений (теорема 5.1 и 5.2), имеющих свою специфику. Используемая методика позволила рассмотреть аналогичные вопросы для смешанном задачи для дивергентного параболического уравнения в том случае, когда граница области липшицева (§ 7). Полученные результаты в основном опубликованы в статьях [12,15,17,24].

3°. При выполнении этой работы я был связан с широким кругом лиц, оказавшим на нее влияние.

Прежде всего, мне хотелось бы отметить своего первого учителя А. А. Новрузова, привлекшего меня к занятиям качественной теории. На протяжении ряда лет я был тесно связан с Е.М.Ланди-сом, принимал участие в проводимом им совместно с В. А. Кондратьевым семинаре и обсуждал с ним новые постановки и полученные результаты.

В течение многих лет я был прикомандирован к отделу дифференциальных уравнений с частными производными Математического института игл. В. А. Стеклова АН СССР. Все результаты постоянно докладывались и обсуждались на семинарах А. В. Бидадзе и В. А. Ильина, А. А. Дезина, В. П. Михайлова и А. К. Гущина. Эти обсуждения сыграли большую роль при выполнении этой работы.

На протяжении всех лет моей работы большую поддержку мне оказывал Ф. Г. Максудов.

Всем им я приношу мою глубокую благодарность.

1. Алхутов Ю. А. О регулярности граничных точек относительно задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка. Матем. заметки, 1.81, т.30, вып.3, № 4, 333−342.

2. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., Наука, 1981, 447с.

3. Блохина Г. И. Теоремы типа Фрагмена-Линделёфа для линейного эллиптического уравнения второго порядка. Матем.сб., 1970, т.84(124), № 4, 507−531.

4. Гурса Э. Курс математического анализа. т. Ш, ОНТИ, НКТП СССР, 1933, с. 273.

5. Гущин А. К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка. Труды Матем. Ин-та им. В. А. Стеклова, 1973, т. CXX7I, 5−45.

6. Гущин А. К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка. Матем.сб., 1976, т.101(143), В 2(8), 459−499.

7. Гущин А. К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения. Матем.сб., 1982, т.119(161), 14(12), 451−507.

8. Джамалов Р. И. О поведении на границе решений вырождающихся параболических уравнений второго порядка. Изв. АН Азерб.ССР, сер. физ-техн. и матем. наук, 1983, Jfc 2, 20−28.

9. Де Джоржи. Sulla differentiabilifca е l"analiticita delle ез-fcremali degli integral! mulfcipli regolari, MenuAcc#Sci, Torino 1957,3 > 1−19.

10. Заремба С. Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа. Успехи матем. наук, 1946, т.1, вып. 3−4 (13−14), 125−146.

11. Ибрагимов А. И. 0 поведении на границе решений вырождающегося эллиптического уравнения 2-го порядка. Докл. АН СССР, 1975, т.224, № 3, 519−522.

12. Ибрагимов А. И. О регулярности граничных точек для решения квазилинейного уравнения, вырожающегося на границе области. Дифференц. уравнения, 1976, т.12, № 10, 1815−1823.

13. Ибрагимов А. И. О поведении на границе решений линейного вырождающегося уравнения второго порядка с непрерывными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1977, т.233, № 3, 281−284.

14. Ибрагимов А. И. О поведении в окрестности граничной точки и теоремы об устранимых множествах для эллиптических уравнений 2-го порядка с непрерывными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1980, т.250, № I, 39−43.

15. Ибрагимов А. И. Устранимые множества и теоремы типа Фрагмена-Линделёфа для решений параболических уравнений 2-го порядка с непрерывными коэффициентами. Успехи матем. наук, 1980, т.35, вып.4(214), 173−174.

16. Ибрагимов А. И. Некоторые качественные свойства решений смешанной задачи для эллиптических уравнений в негладких областях. Докл. АН СССР, 1982, т.265, № I, 27−31.

17. Ибрагимов А. И. О некоторых качественных свойствах решений уравнений параболического типа второго порядка с непрерывными коэффициентами. Дифференц. уравнения, 1982, т. ХУШ, 2, 306−319.

18. Ибрагимов А. И. О разрешимости смешанной задачи для эллиптических уравнений 2-го порядка. Докл. АН СССР, 1983, т.273,6, I305−1308.

19. Ибрагимов А. И. О разрешимости смешанной задачи для эллиптических уравнений второго порядка. Дифференц. уравнения, 1983, т. XIX, Ш I, 56−65.

20. Ибрагимов А. И. О некоторых качественных свойствах решений эллиптических уравнений с непрерывными коэффициентами. -Матем.сб., 1983, т.121(163), № 4(8), 454−468.

21. Ибрагимов А. И. Некоторые качественные теоремы для вырождающихся эллиптических уравнений. Матем. заметки, 1983, т.34, № 3, 407−415.

22. Ибрагимов А. И. Некоторые качественные свойства решений смешанной задачи для уравнений эллиптического типа. Матем. сб., т.122, МО, 168−181.

23. Ибрагимов А. И. О поведении решения смешанной задачи в окрестности граничной точки. Изв. АН Азерб.ССР, сер. физ-техн. и матем. наук, 1983, I 4, 27−32.

24. Ибрагимов А. И., А. А. Новрузов. О поведении в окрестности граничной точки решений вырождающихся параболических уравнений 2-го порядка. Докл. АН СССР, 1982, т.267, № 5, 1046−1048.

25. Иванов A.B. Квазилинейные вырождающиеся и неравномерно-эллиптические уравнения 2-го порядка. Труды Матем. Ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1982, т. С ХХУ1, 5−285.

26. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений. УМН, i960, т.15,вып.2, 97−154.

27. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. Об одном подходе к проблеме единственности для параболических уравнений второго порядка. Сиб.матем.ж., 1983, т.24, № 5, 59−70.

28. Келдыш М. В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле.-УМН, 1941, т.8, I7I-23I.

29. Керимов Т. М., Мазья В. Г., Новрузов A.A. Аналог критерия Винера для задачи Зарембы в цилиндрических областях. -Функц.анализ и его прилож., 1982, т.16, вып.4, 70−71.

30. Керимов Т. М. О регулярности граничной точки для задачи Зарембы. Докл. АН СССР, 1982, т.264, № 4, 815−819.

31. Керимов Т. М. Критерий регулярности граничной точки относительно смешанной задачи для эллиптического уравнения второго порядка. Докл. АН Азерб. ССР, 1981, т. ХХХУП, № 9, 10−14.

32. Кондратьев В. А. О гельдеровости в замыкании области решений смешанной задачи для эллиптических уравнений высокого порядка. УМН, 1982, т.37, в.4, 104−105.

33. Кондратьев В. А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях. Тр. ММО, 1966, т.15, 400−452.

34. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в конических областях. Докл. АН СССР, 1963, т.153, № I, 27−29.

35. Кондратьев В. А., Олейник O.A. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях. УМН, 1983, т.38, вып.2, 3−76.

36. Кордес Г. О. О первой краевой задаче для квазилинейных уравнений второго порядка более чем с двумя переменными.Сб. переводов «Математика», 1959, 3:2, 75−107.

37. Крылов Н. В. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений. Дифференц. уравнения, 1967, № 2, 315−325.

38. Крылов Н. В., Сафонов М. В. Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициентами. Изв. АН СССР, сер. матем., 1980, т.44, 10, I6I-I75.

39. Курант Р. Уравнения с частными производными. Мир, 1964, с. 830.

40. Ладыженская O.A. и Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., Наука, 1973, 575-С.-г,.

41. Ладыженская O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., Наука, 1967.

42. Ландис Е. М. О принципе Фрагмена-Линделёфа для решений эллиптических уравнений. Докл. АН СССР, 1956, т.107, № 4, 508 511.

43. Ландис Е. М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных), УМН, 1963, т. ХУШ, в.1(109), 4−62.

44. Ландис Е. М. Необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки для задачи Дирихле для уравнения теплопроводности. Докл. АН СССР, 1969, т.185, № 3, 517−520.

45. Ландис Е. М. S ёмкость и её приложения к исследованию решений эллиптического уравнения 2-го порядка с разрывными коэффициентами. Матем.сб., 1968, т.76(118), В 2, 186−213.

46. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М., Наука, 1971, с. 287.

47. Ландис Е. М. Теоремы единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка. Труды ММО, 1981, т.42, 50−64.

48. Ландис Е. М., Лахтуров С. С. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений, периодических по всем переменным кроме одной. Докл. АН СССР, 1980, т.250, № 4, 803−806.

49. Ландис Е. М., Панасенко Г. П. Об одном варианте теоремы типа Фрагмена-Линделёфа для эллиптических уравнений с коэффициентами, периодическими по всем переменным кроме одной. Труды семинара им. И. Г. Петровского, 1979, вып.5, 105−136.

50. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала, М., Наука, 1966, с. 516.

51. Лахтуров С. С. Об асимптотике решений второй краевой задачи в неограниченных областях. УМН, 1980, т.35, в.4, 195−196.

52. Литман У. «Стампакья Г."Вайнбергер Г. Ф. Регулярные точки для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами —В сб. пер. Математика, 1965,№ 2,с. 72−97.

53. Мазья В. Г. О некоторых интегральных неравенствах для функций многих переменных. Пробл. мат. анализа, 1972, вып. З, 33−68.

54. Мазья В. Г. О слабых решениях задач Дирихле и Неймана. Труды ММО, 1969, т.20, 137−172.

55. Мазья В. Г. О задаче Неймана в областях с нерегулярными границами. Сибир.матем.журн., 1968, т.9, № 6, 1322−1350.

56. Мазья В. Г. Классы областей и теоремы вложения функциональных пространств. Докл. АН СССР, т.133, № 3, I960, 527−530.

57. Мазья В. Г. О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме. Матем. заметки, 1967, № 2, 209−220.

58. Мазья В. Г. О регулярности на границе решений эллиптических уравнений и конформного отображения. Докл. АН СССР, 1963, т.152, № 6, 1297−1300.

59. Мазья В. Г. Классы множеств и мер, связанные с теоремами вложения и их приложения. Труды симпоз. по теоремам вложения. Баку, 1966, М., Наука, 1970, 142−159.

60. Мазья В. Г., Вержбинский Г. М. Асимптотическое поведение решений эллиптических уравнений второго порядка вблизи границы. Сибирск.матем. журн., 1971, т. ХП, № 6, I2I7-I249.

61. Мазья В. Г. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле вблизи нерегулярной границы. В кн." Проблемы математического анализа", Л., 1966, 45−58.

62. Миллер К. Exceptional ЬоЩ^агу points for ЬЫ nondivergence equation which are regular for the Laplace equation and viceversa, Ajqnali de 11a scuola Normal superiore di Pisa, 1968, S.- 293 -111, ХХ11, 12 — с 515 ЗЗо.

63. Миллер К. Nonequivalencе for regular boundary points for the Laplace amd nondivergence equations even with continuous coefficients, Ann. Scuola Norm, Stip. Pisa, 197o, 3., 24, c. 335 358.

64. Мамедов И.T. О граничных свойствах решений задачи Дирихледля эллиптических и параболических уравнений 2-го порядка. Докл. АН УССР, сер.А., физ., матем., 1981, № 2, 16−22.

65. Мамедов И. Т. О регулярности граничных точек для линейных уравнений параболического типа. Матем. заметки, 1976, т.20, вып. 4, 717−723.

66. Миллер В., Кайзер В. Устранимые множества для уравнения теплопроводности. Вестник МГУ, сер.1, мат.-мех., 1973, т.5, 11−14.

67. Михайлов В. П. О задаче Дирихле для параболического уравнения. Матем.сб., 1963, т.61(103), & I, 10−84.

68. Михеева Е. А. О поведении решения эллиптических уравнений второго порядка в окрестности нерегулярной граничной точки. Матем.сб., 1969, т.80(122), № 4(8), 503−512.

69. Мукминов Ф. Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка. Матем.сб., 1980, т.111(153), 503−521.

70. Надирашвили Н. С. О единственности решения задачи Неймана для эллиптических уравнений 2-го порядка. Докл. АН СССР, 1981, т.261, № 4, 804−808. 294 «.

71. Новрузов A.A. О регулярности граничных точек для уравнений 2-го порядка с неотрицательной характеристической формой. Докл. АН СССР, 1976, т.230, № 5, 1039−1042.

72. Новрузов A.A. О регулярности граничных точек для эллиптических уравнений с непрерывными коэффициентами. Вестник МГУ, сер.1, мат., мех. 1971, № 6, 18−25.

73. Новрузов A.A. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле для параболического уравнения 2-го порядка. Матем. заметки, 1976, т.19, вып.4, 651−658.

74. Новрузов A.A. О задаче Дирихле для эллиптических уравнений 2-го порядка. Докл. АН СССР, 1979, т.246, № 3, 11−14.

75. Новрузов A.A. К теории третьей краевой задачи для линейных эллиптических уравнений 2-го порядка. Докл. АН СССР, 1981, т.261, № 2, 278−282.

76. Новрузов A.A. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле в регулярной граничной точке. Матем. заметки, 1972, т.12, № I, 67−72.

77. Новрузов A.A. Об одном подходе к исследованию качественных свойств решений недивергентных эллиптических уравнений второго порядка. -Матем.сб., 1983, т.122(164), 3(11), 360−368.

78. Новрузов A.A. О задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами второго порядка. Дифференц. уравнения, 1983, т.19, № 10, 1750−1759.

79. Новрузов A.A., Мамедов И. Т. Об R идентичности эллиптических и параболических операторов 2-го порядка. — Докл. АН СССР, 1980, т.253, № 6, I3I4-I3I7.

80. Олейник O.A. О задаче Дирихле для уравнений эллиптического типа. Матем.сб., 1949, т.24(66), Ш I, 3−14.

81. Олейник O.A., Иосифян Г. А. О поведении на бесконечности решений задачи Неймана для эллиптического уравнения 2-го порядка в неограниченных областях. УМН, 1980, т.35, вып.4, 197−198.

82. Олейник O.A., Иосифян Г. А. Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений. УМН, 1976, т.31, вып.6, 142−166.

83. Олейник O.A., Радкевич Е. В. О поведении решений общих параболических систем дифференциальных уравнений в неограниченных областях. Докл. АН СССР, 1975, т.200, № 5.

84. Олейник O.A., Раневич Е. В. Уравнение 2-го порядка с неотрицательной характеристической формой. ВИНИТИ, сер." Итоги науки", Мат. анализ, 1970. и,.

85. Петровский И. Г. Zur ersten Randwertaufgabe der Warmelfceinungsgleichung Compos. Math., 1935″ vol.1,p 383−4-1^.

86. Петровский И. Г. О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными. УМН, 1946, т.1, вып.3−4 (13−14), 44−69.

87. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. Г. И.Ф-М.Л. Москва, 1962, с. 336.

88. Солонников В. А., Зайончковский В. А. О задаче Неймана для эллиптических уравнений 2-го порядка в областях с ребрами на границе. Зап.научн.семинаров ЛОМИ АН СССР, Матем. Ин-тим.В. А. Стеклова, Ленинградское отделение, 1983, 127, 7−48.

89. Тихонов А. Н. Об уравнениях теплопроводности для нескольких переменных. Бюлл. МГУ, секция А., 1938, т.1, вып.9, 25−35.

90. Тюлина А. К. О поведении решения задачи Неймана для эллиптического уравнения второго порядка в окрестности граничной точки. УМН, 1983, т.38, вып. З, 185−186.

91. Ушаков В. И. О поведении решений третьей смешанной задачи для параболических уравнений второго порядка приДифференц. уравнения, 1979, т. ХУ, $ 2, 310−320.

92. Ушаков В. И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка в нецилиндрической области. -Матем.сб., I960, т.111(153), 95−115.

93. Черемных Ю. А. О поведении решений краевых задач для параболических уравнений 2-го порядка. Матем.сб., 1968, т.75, вып.2, 241−254.

94. Effros E.G., Kazdan I.L. On the definition of a suptem-perafcure I.Lond. Math. Soc., 1973, v.7, № 2, p.95 -198.97″ Falks W. A mean value theorem for the heat equation Proc, Amer. Math. Soc., 1968, vol.17, № 1, p. 6−11.

95. Fredrichs K.O. On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential equations Comm. Pure and Appl. Math., 1953, v.6, № 3, 299 — 320.99″ Fuglede B. On the theory of potential in locally compact spaces Acta. Math. 1960, p. 103.

96. Grippy R., Evans L. Wiener*s criterion for heat equation Arch. Ration Mech. and Anal., 1982, 78, № 4, 293 314.

97. Gilbarg D., Trudinger N. Elliptic partial differential equations of second order, Springer, 1977″.

98. Moser I. A new proof of Giorgi’s theorem concerning the regularity problem Comm., Pure and Appl. Math., 1966, 13, p. 457 — 468.

99. Nach I. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations, Amer. I. Math, 1958, 80, № 4, p. 931 934.

100. Zareniba C. Sur l’unicite de la solution du Probleme de Dirichlet Bull de l’Academie des Seinces de Cracovie — 1909, Avril.117″ Zaremba C. Sur une problem mixte relatif a l’equations hydrodynamiques, 1910, serie A, c. 313 344.

101. Watson, A linear function associated with harmonicmajorization on half-spaces C?*I.

102. Wiener Note a paper of 0. Perron, I. Math. Phys. Mass. Ins tf Techn., 1925, 4, 21 32.