Кривые второго порядка на проективной плоскости

Костанайский государственный педагогический институт Факультет заочного обучения Кафедра высшей математики Курсовая работа Кривые второго порядка на проективной плоскости Научный руководитель: Петров П. П.,

ст.преподаватель кафедры высшей математики, магистр математики Костанай 2013

• ВВЕДЕНИЕ 3
• 1. ПРОЕКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА И КРИВЫХ ВТОРОГО КЛАССА 5
• 2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ РЯДОВ И ПУЧКОВ II ПОРЯДКА 10
• 3. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ 17
• 4. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРЕМЫ ПАСКАЛЯ 22
• 5. ТЕОРЕМА БРИАНШОНА 28
• 6. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРЕМЫ БРИАНШОНА 32
• 7. ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ПОНЯТИЙ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА И КРИВОЙ ВТОРОГО КЛАССА. ТЕОРЕМА МАКЛОРЕНА. 35
• 8. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ПАСКАЛЯ И БРИАНШОНА К ПОСТРОЕНИЯМ С ПОМОЩЬЮ ОДНОЙ ТОЛЬКО ЛИНЕЙКИ 40
• 9. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 43
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ 46
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 48

Роль идей и методов проективной геометрии весьма значительна в математической науке и, особенно, в ее геометрических разделах. Еще в XVII веке, во времена возникновения проективной геометрии, Блез Паскаль, один из ее основоположников, показал способы решения множества геометрических задач при помощи тогда ее еще новых приемов.

Эта возможность решения геометрических задач была настолько расширена в начале XIX века рядом геометров, и среди них Жаном Понселе и Якобом Штейнером, что видный математик этого века, Юлиус Плюккер, был вправе заявить, в 1830 году, об «ошеломляюще простом искусстве» геометрии положения (проективной геометрии), с помощью которой достигается «несметное множество результатов».

Проективная геометрия находится в тесной связи с высшей алгеброй, в том числе с одним из важнейших разделов алгебры — с теорией групп.

Проективная геометрия имеет большое значение как теоретическая база прикладной геометрической дисциплины, носящей название начертательная геометрия. Начертательная геометрия была и остается мощным орудием техники.

Проективная геометрия, изучающая свойства геометрических фигур, которые сохраняются при любом проектировании данной фигуры с одной плоскости на другую, показала, что задачи начертательной геометрии составляют один из классов задач проективной геометрии.

Заметим, что проективная геометрия лежит в основе теории аэрофотосъемки. Она же играет видную роль в графостатике — науке, решающей графическим путем вопросы равновесия твердых тел.

В той или иной мере проективной геометрией пользуются рабочие, мастера и конструкторы на заводах, топографы и геодезисты, архитекторы и декораторы, художники и скульпторы. Проективная геометрия необходима и космографам, изучающим Землю, Луну и планеты по фотоснимкам, сделанным с космических кораблей.

Цель же моей курсовой работы — рассмотреть с помощью аппарата проективной геометрии закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паскаля, описывающие замечательное свойство шестиугольника вписанного в кривую второго порядка, теорему Брианшона.

Также мною будет рассмотрено применение теорем Паскаля и Брианшона к построениям с помощью одной только линейки.

1. ПРОЕКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА И КРИВЫХ ВТОРОГО КЛАССА

геометрия шестиугольник паскаль теорема

Говоря о формах первой ступени, рассматривается прямолинейный ряд точек, который здесь мы будем называть рядом первого порядка. Двойственную форму первой ступени — пучок прямых — будем называть пучком первого порядка.

С помощью двух проективных пучков первого порядка можно образовать ряд точек второго порядка. Двойственной формой явится пучок прямых второго порядка, который можно образовать с помощью двух проективных рядов первого порядка.

Предположим, что мы имеем два проективных пучка S₁ и S₂ первого порядка (Рис. 1):

S₁(a₁,b₁ ,c_1,…) S₂(a₂,b₂, с₂,...).

Обозначим буквой А точку пересечения соответственных прямых а₁ и а₂ проективных пучков S₁ и S₂. Будем иметь:

.

и аналогично

.. .. ... .

Рассмотрим геометрическое место точек А, В, С,… пересечения пар соответственных прямых данных пучков. Это геометрическое место точек называется рядом точек второго порядка.

Докажем следующее свойство рядов второго порядка: Произвольная прямая не может иметь более двух точек, принадлежащих данному ряду второго порядка.

Пусть дана прямая т (рис. 1). Пучок S₁ пересекая прямую т, дает на ней перспективный ряд точек: A₁ ,B₁ ,С₁,…. Пучок S₂ дает в пересечении с прямой т перспективный ему ряд точек: А₂ ,В₂,С₂,…. Так как пучки S₁ и S₂ проективны, то и образованные ими на прямой т ряды также проективны;

S₁(A₁,B₁ ,C_1,…) S₂(A₂,B₂, C₂,…).

Таким образом, на прямой т имеем два проективных ряда точек. Два проективных ряда с общим носителем не могут иметь более двух двойных точек, так как если они имеют их три, то данные ряды совпадают В этом случае пучки S₁ и S₂ не только проективны, но и перспективны (с осью перспективности т). Случай, когда пучок пучку S₂, будет рассмотрен ниже. Предположим, что точка X является двойной, т. е. оба соответственных луча х₁ и х₂ пересекают прямую т в точке X. Но тогда X является точкой ряда второго порядка. Следовательно, каждая двойная точка проективных рядов на носителе т является вместе с тем точкой ряда второго порядка. Легко видеть, что и, обратно, всякая точка ряда второго порядка, лежащая на прямой т, является двойной точкой рассматриваемых проективных рядов, так как через нее проходят оба соответственных луча пучков S₁ и S₂.

Но, как уже было сказано, двойных точек не может быть более двух, поэтому на прямой т не может быть более двух точек ряда второго порядка. Теорема доказана.

Следовательно, ряд второго порядка представляет собой геометрическое место точек, имеющее с произвольной прямой не более двух точек пересечения.

Это свойство и послужило основанием называть полученное геометрическое место рядом второго порядка или кривой второго порядка Ниже убедимся, что образованные с помощью пучков кривые 2-го порядка тождественны с кривыми, известными по курсу аналитической геометрии в пространстве.

Рассмотрим частный случай двух проективных пучков, а именно предположим, что эти пучки перспективны:

Обозначим буквой s ось перспективности пучков S₁ и S₂ (Рис. 2). Тогда прямая s является геометрическим местом точек пересечения пар соответственных прямых данных пучков, следовательно, прямая s входит в этом случае в состав ряда второго порядка. Рассмотрим далее общую прямую t обоих пучков. Предположим, что прямая t пересекает ось перспективности s в точке Т. В таком случае прямой S₁T t первого пучка соответствует прямая S₂T t второго пучка (общая прямая сама себе соответствует), а следовательно, каждая точка общей прямой t принадлежит как прямой S₁T так и прямой S₂T, т. е. является общей точкой пары соответственных прямых. Поэтому двойная прямая t также должна быть включена в состав ряда второго порядка.

Поэтому приходим к выводу, что

Ряд второго порядка, образованный двумя перспективными точками S₁ и S₂, состоит из двух рядов первого порядка, а именно оси перспективности s и общей прямой двух данных пучков t.

Короче, ряд второго порядка распадается в данном случае на два ряда первого порядка.

Вернемся к общему случаю. Рассмотрим ряд (или кривую) второго порядка, образованный с помощью двух проективных пучков S₁ и S₂ (Рис. 3). Общую прямую этих пучков можно рассмотреть как прямую первого пучка, обозначая ее через p₁. Тогда ей соответствует во втором пучке некоторая прямая р₂. Считая общую прямую данных пучков прямой q₂ второго пучка, получим соответствующую ей прямую q₂ первого пучка.

Самые центры S₁ и S₂, очевидно, принадлежат к ряду второго порядка, так как они являются точками пересечения пар соответственных прямых:

.

Будем называть прямую р₂ касательной к ряду второго порядка в точке S₂, а прямую q₁ — касательной в точке S₁.

Покажем далее, что данное здесь определение касательной в центре пучка (S₁ и S₂) совпадает с обычным определением касательной как предельного положения секущей. В самом деле, предположим, что произвольная прямая а₁ пучка S₁ (Рис. 3) вращается в определенном направлении, описывая пучок. Если прямая а₁ стремится при этом к совпадению с прямой p₁S₁S₂, то точка А описывает кривую второго порядка, стремясь к совпадению с точкой S₂. В то же время соответственная прямая p₂S₂A также вращается в определенном направлении, стремясь к" совпадению с касательной прямой р₂. Поэтому касательная р₂ является предельным положением вращающейся секущей а₂, в то время как вторая точка пересечения А стремится к совпадению с первой точкой S₂. Центр пучка S₂ является, таким образом, точкой прикосновения касательной р₂. Аналогично центр пучка S₁ является точкой прикосновения касательной q₁.

2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ РЯДОВ И ПУЧКОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. При образовании ряда второго порядка с помощью проективных пучков (S₁) и (S₂) роль центров этих пучков S₁ и S₂ отличалась от роли всех остальных точек ряда второго порядка. Покажем теперь, что этого отличия на самом деле нет, и что любая точка ряда второго порядка может служить центром одного из образующихся пучков. С этой целью докажем следующую фундаментальную теорему:

Точки ряда второго порядка проектируются из любых двух точек этого ряда двумя проективными пучками.

Пусть ряд второго порядка образован двумя проективными пучками с центрами в точках S₁ и S₂ (Рис. 4). Эти пучки будем называть «образующими» (ряд второго порядка). Пусть А, В, С, D - четыре произвольные точки ряда второго порядка.

Тогда прямые S₁C и S₂C являются соответственными в проективных пучках S₁ и S₂, образующих данный ряд второго порядка. Если точка С описывает этот ряд, то соответственные лучи S₁C и S₂C описывают образующие пучки. Обозначим через Х₁ точку пересечения луча S₁C с прямой AD и через Х₂ — точку пересечения луча S₂C с прямой BD. Тогда луч S₁C опишет на прямой AD перспективный ряд первого порядка (Х₁) (точка пересечения X, перемещается по прямой AD), а луч S₂C опишет на прямой BD перспективный ряд первого порядка (Х₂) (точка пересечения Х₂ перемещается по прямой BD). Следовательно, можем написать:

пучок S₁(S₁C) ряду (X₁),

пучок S₂(S₂C) ряду (X₂).

Отсюда заключаем, что ряд (X₁) ряду (X₂).

Общим элементом этих рядов является точка D. Так как лучу S₁D соответствует луч S₂D, то точка D сама себе соответствует. Следовательно, ряды (X₁) и (Х₂) перспективны:

ряд (X₁) ряду (X₂).

Найдем центр перспективности этих рядов. Так как лучу S₁А соответствует луч S₂A, то точке А первого ряда соответствует точка А₂ второго (А₂=BDS₂A). С другой стороны, лучу S₂В соответствует луч S₂B. Поэтому точке В₁ первого ряда (B₂=ADS₁B) соответствует точка В второго. Центр перспективности определяется как точка М пересечения прямых АА₂ и ВВ₁, т. е.

M=S₁BS₂A.

Прямая Х₁Х₂, соединяющая две соответственные точки перспективных рядов, должна проходить через их центр М перспективности. Следовательно, три точки X₁,Х₂ и М лежат на одной прямой. При этом отметим, что положение центра перспективности M зависит только от четырех точек S₁, S₂, А и В и не зависит от положения точек С и D.

Рассмотрим теперь два пучка прямых с центрами в точках А и В. Соответственными лучами этих пучков будем считать прямые, проектирующие точки данного ряда второго порядка, например прямые AD и BD. Докажем, что эти пучки проективны. Закрепим неподвижно точку С и будем теперь перемещать точку D. Если точка D описывает данный ряд второго порядка, то луча AD и BD образуют соответственно на прямых CS₁ и СS₂ ряды (Х₁) и (Х₂) первого порядка. При этом ряд (Х₁)пучку A(AD),

ряд (Х₂)пучку B(BD) Следует обратить внимание на то, что на этот раз ряды Х1 и Х2 расположены соответственно на носителях CS1 и CS2, в то время как в первой части доказательства рассматривались ряды на прямых AD и BD. .

Но прямая Х₁Х₂ всегда проходит через точку М, положение которой не зависит от движущейся точки D. Поэтому ряды (X₁) и (Х₂) на прямых CS₁ и CS₂ перспективны, а проектирующие их пучки проективны, т. е.

пучок A (AD)пучку B (BD).

Так как центры этих пучков А и В - произвольные точки данного ряда второго порядка, то теорема доказана.

Любые две точки ряда второго порядка могут быть выбраны в качестве, центров образующих пучков.

Из основной теоремы можно вывести весьма важные следствия.

Следствие 1. Так как каждая точка А ряда второго порядка является центром одного из двух образующих пучков (центром второго может быть любая другая точка ряда второго порядка), то можем сказать, что каждая точка А имеет (единственную) касательную, для которой она является точкой прикосновения.

Следствие 2. Ряд второго порядка вполне определяется любыми своими пятью точками.

Пусть, например, даны пять точек ряда второго порядка: А, В, С, D, Е (Рис. 5). Тогда две (любые) из них можем принять за центры образующих пучков. Пусть выбраны точки А и В. Тогда проективное соответствие образующих пучков А и В определяется тремя парами соответственных лучей, а именно:

A (AC, AD, АЕ) В(ВС, BD, BE).

Пучки А и В образуют искомый ряд точек второго порядка, проходящий через заданные точки А, В, С, D, Е.

2. Переходим к пучкам второго порядка. В силу принципа двойственности на плоскости для пучков второго порядка должна иметь место теорема, двойственная доказанной выше основной теореме о рядах второго порядка:

Прямые пучка второго порядка пересекают две какие-либо прямые этого пучка по двум проективным рядам точек.

Пусть пучок второго порядка образован двумя проективными рядами на прямых s₁ и s₂. Пусть, кроме того, а, b, с, d — четыре произвольные прямые пучка второго порядка (Рис. 6). Тогда точки С₁ и С₂ являются соответственными в проективных рядах s₁ и s₂. Если прямая с описывает данный пучок второго порядка, то точки С₁ и С₂ описывают образующие ряды s₁ и s₂.

Обозначим через А точку пересечения прямой а с прямой d и через В — точку пересечения прямой b с прямой d. Будем считать прямые s₁, s₂, a, b, d неподвижными (фиксированными), а прямую с — описывающей пучок второго порядка. Тогда получим два проективных пучка первого порядка с центрами А и В, соответственными лучами которых являются прямые АС₁ х₁ и ВС₂ х₂.

В самом деле, ряды (С₁) и (С₂) на прямых s₁ и s₂ проективны как образующие. Пучок А (АС₁) перспективен ряду (С₁); пучок В (ВС₂) перспективен ряду (С₂). Поэтому имеем:

пучок А (х₁) пучку В (х₂).

Докажем, что эти пучки перспективны. С этой целью рассмотрим их общий элемент — прямую d. Если прямая с совпадает с прямой d, то точка С₁ совпадает с точкой D₁, а точка С₂ — с точкой D₂.

Поэтому лучу AD₁ соответствует луч BD₂. Другими словами, если луч х₁ совпадает с d, то и луч х₂ совпадает с d. Прямая d сама себе соответствует. Отсюда и заключаем о перспективности пучков:

пучок А (х₁) пучку В (х₂).

Найдем ось перспективности этих пучков. Если прямая с совпадает с прямой а, то она дает пару соответственных точек А₁ и A₂ образующих рядов. Поэтому лучу АА₁а соответствует луч ВА₂. Эти лучи пересекаются в точке А₂:

АА₁ВА₂=А₂.

При совпадении прямой с с прямой b получаем пару точек В₁ и В₂, соответственных в проективных рядах s₁ и s₂.

Тогда лучу АВ₁ пучка А соответствует луч ВВ₂b пучка В. Эти лучи пересекаются в точке В₁:

АВ₁ВВ₂=В₁.

Таким образом, осью перспективности является прямая А₂В₁т. На этой прямой должна лежать точка пересечения X всякой пары соответственных лучей х₁ и х₂ пучков A и В. Заметим, что ось перспективности т зависит лишь от четырех прямых s₁, s₂, а, b и не зависит от положения прямых c и d. Если поэтому мы, закрепив прямые s₁, s₂, a, b и с, стали бы перемещать прямую d, описывающую данный пучок второго порядка, то точка X пересечения прямых АС₁х₁ и ВС₂х₂ должна по доказанному лежать на прямой т. Рассмотрим теперь те два ряда точек первого порядка, которые образует на неподвижных прямых а и b движущаяся прямая d. Прямая d пересекает прямые а и b соответственно в точках А и В. Рассмотрим ряды (А) и (В). Нетрудно убедиться в том, что эти ряды проективны. В самом деле, ряд (А) перспективен пучку C₁ (x₁), а ряд (В) перспективен пучку С₂(х₂). Но пучки С₁(х₁) и С₂(х₂) перспективны с осью перспективности m. Поэтому ряды (А) и (В) проективны. Так как а и b—две произвольные прямые данного пучка второго порядка, то теорема доказана.

Из нее вытекают следующие свойства пучков второго порядка.

Следствие 1. Любая прямая а пучка второго порядка может быть выбрана в качестве носителя образующего ряда (причем вторым носителем является какая-либо другая прямая b пучка). Поэтому каждая прямая пучка второго порядка имеет точку прикосновения. Если рассмотрим геометрическое место точек прикосновения, то получим кривую, которая является огибающей данного пучка прямых второго порядка. Прямые пучка являются касательными к этой кривой. Последнюю называют также кривой второго класса, так как через каждую точку плоскости проходит не более двух касательных к кривой (иначе, не более двух прямых пучка второго порядка).

Следствие 2. Пучок второго порядка вполне определяется пятью заданными прямыми а, b, с, d, е. В самом деле, две из этих прямых, например прямые а и b, можно выбрать в качестве носителей образующих рядов. Тогда три остальные прямые с, d и е определяют проективное соответствие этих рядов (Рис. 7). Именно имеем три пары соответственных точек На рисунке 7 эти точки обозначены как (ас), (ad), (ae) и (bс), (bd), (be).:

a[(ac), (ad), (ae)] b[(bc), (bd), (be)].

Пучок второго порядка, определяемый проективными рядами а и b, содержит пять заданных прямых (а, b, с, d, е).

3. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ

1. При выводе основной теоремы мы получили в ходе доказательства некоторые свойства ряда второго порядка (а также и пучка второго порядка), заслуживающие отдельного изучения.

Обращаясь к рисунку 8, заметим, что шесть заданных точек ряда второго порядка (или кривой второго порядка) можно рассматривать как вершины шестиугольника, вписанного в данную кривую второго порядка. Именно имеем шестиугольник S₁CS₂ADB (Рис. 8). Будем называть (Рис. 8) противоположными такие две стороны шестиугольника, которые в замкнутой последовательности сторон шестиугольника отделены одинаковым числом сторон (а именно двумя) при обходе их как в одном (прямом), так и в другом (обратном) порядке.

Таковы пары сторон:

S₁C и AD,

CS, и DB,

S₂A и ВS₁

Точки пересечения пар противоположных сторон обозначены на рисунке 8 буквами X₁, Х₂ и М, а именно:

S₁CAD=X₁

CS₂DB=X₂,

S₂ABS₁=M.

В процессе доказательства основной теоремы было обнаружено, что как бы ни были выбраны вершины шестиугольника S₁CS₂ADB на кривой второго порядка, три точки пересечения пар противоположных сторон X₁, Х₂ и М лежат на одной прямой. Это замечательное свойство шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, носит название теоремы Паскаля, по имени открывшего его знаменитого французского математика.

Теорема Паскаля может быть формулирована следующим образом:

Во всяком шестиугольнике, вершины которого принадлежат ряду второго порядка, три точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой (прямая Паскаля).

Мы знаем, что уже пять точек вполне определяют кривую второго порядка. Поэтому шесть вершин вписанного шестиугольника должны быть связаны некоторой зависимостью, которая и выражается в проективной форме теоремой Паскаля. Если пять точек (вершин) будем считать заданными и определяющими кривую второго порядка, то шестая точка (вершина) должна удовлетворять теореме Паскаля. Поэтому последнюю точку можно рассматривать как своего рода «проективный эквивалент» уравнения кривой второго порядка.

Легко убедиться также в справедливости обратной теоремы Паскаля, которую можно сформулировать следующим образом:

Если три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника лежат на одной прямой, то его шесть вершин принадлежат одному и тому же ряду второго порядка.

Доказательство этой теоремы можно провести, пользуясь рисунком 8. В самом деле, рассмотрим шестиугольник ADBS₁СS₂ противоположные стороны которого пересекаются в точках X₁, M и Х₂, лежащих на одной прямой. Пять вершин этого шестиугольника A, D, B, S₁, С определяют ряд второго порядка, которому они принадлежат. Предположим, что сторона CS₂ данного шестиугольника пересекается с упомянутым рядом второго порядка в точке S'₂ (кроме точки С). Тогда мы будем иметь шестиугольник ADBS₁CS'₂, вписанный в кривую второго порядка. Применяя к нему прямую теорему Паскаля, находим, что сторона S'₂A должна проходить через точку М. Следовательно, эта сторона совпадает с прямой МА, а точка S'₂ — с точкой S₂.

2. Теорема Паскаля позволяет по пяти данным точкам кривой второго порядка построить сколько угодно новых точек той же кривой.

Построение. Пусть даны пять точек S₁, С, S₂, A, D кривой второго порядка (Рис. 9).

Считая эти точки вершинами вписанного в кривую шестиугольника Паскаля, можем провести стороны S₁C, CS₂, S₂A и AD этого шестиугольника. Недостает тех двух сторон шестиугольника, которые проходят через шестую вершину. Эту шестую вершину B мы и будем строить, причем для определенности задачи будем искать ее на произвольно выбранной прямой, проходящей через вершину D. Эта прямая b пересекает один раз кривую второго порядка в точке D. Будем искать вторую точку пересечения ее с кривой, которую обозначим буквой В В самом деле, выбирая точки D и S₁ в качестве центров образующих пучков, найдем в пучке S₁ луч S₁B, соответствующий лучу b. Тогда точка В пересечения соответственных лучей b и S₁B является искомой. Другими словами, прямая b является стороной шестиугольника и может быть применена для построения прямой Паскаля.

Имеем две точки этой прямой:

X₁=S₁СAD, X₂=CS₂b.

Следовательно, прямая Паскаля Х₁Х₂ построена и пересекает сторону S₂A третьей пары противоположных сторон в точке М. Но тогда прямая S₁M является второй стороной этой пары и определяет искомую вершину В:

B=S₁Mb.

Таким образом, можем построить сколько угодно точек кривой второго порядка, вращая прямую b вокруг вершины D.

3. Рассмотрим теперь вопрос о том, сколько различных прямых Паскаля определяют шесть данных точек кривой второго порядка. Предположим, что A, В, С, D, E, F — шесть произвольных точек кривой второго порядка. Соединяя эти шесть точек в определенном порядке, получим вписанный в кривую шестиугольник Паскаля. Изменяя порядок соединения вершин, получим новый шестиугольник и т. д. Следовательно, надо подсчитать число различных шестиугольников, имеющих вершинами p данные точки А, В, С, Д, E, F.

Число различных перестановок из шести элементов равно:

Р₆=1 2 3 4 5 6.

Однако при этом подсчете каждый шестиугольник, очевидно, сосчитан шесть раз (начиная с каждой из его вершин, например ABCDEF, BCDEFA, ..). Кроме того, каждый шестиугольник сосчитан дважды, так как он может быть получен двумя противоположными порядками обхода вершин (например, ABCDEF, FEDCBA, …). Поэтому число различных шестиугольников Паскаля равно: P₆=60. Каждому из них соответствует своя прямая Паскаля. Таким образом, будем, иметь 60 прямых Паскаля, определяемых шестью данными точками кривой второго порядка.

4. Конфигурация Паскаля—Паппа. Рассмотрим теорему Паскаля в том частном случае, когда кривая второго порядка распадается на пару прямых. Пусть A, В, С, D, Е, F — шесть вершин шестиугольника Паскаля, расположенных по три на данных прямых p и q, которые мы рассматриваем как распавшуюся кривую второго порядка (Рис. 10). Тогда имеем следующие три точки пересечения пар противоположных сторон шестиугольника:

X = ABDE, Y=BCEF, Z=CDFA.

По теореме Паскаля эти три точки лежат на одной прямой.

Рассмотренный частный случай теоремы Паскаля был известен еще древним греческим геометрам и носил название теоремы Паппа (Pappus).

Рассматривая рисунок 10, мы замечаем, что он содержит девять точек (шесть вершин и три точки пересечения противоположных сторон) и девять прямых (шесть сторон шестиугольника, две данные прямые p и q и прямая Паскаля). При этом через каждую точку проходят три прямые, а на каждой прямой лежат три точки. Следовательно, мы имеем конфигурацию, которую называют конфигурацией Паскаля—Паппа.

Так как эта конфигурация правильная, то любая из прямых конфигурации может быть принята за прямую Паскаля.

4. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРЕМЫ ПАСКАЛЯ

1. Теорема Паскаля о шестиугольнике, вписанном в кривую второго порядка, может быть применена и к многоугольникам с меньшим числом вершин.

Для этого достаточно предположить, что две какие-либо вершины шестиугольника совпадают. Сторона, соединяющая две совпавшие вершины (а следовательно, и две совпавшие точки кривой второго порядка), является касательной к кривой, причем двойная вершина многоугольника служит точкой прикосновения этой стороны.

Учитывая эти соображения, можем применять теорему Паскаля к случаям вписанного пятиугольника, четырехугольника и треугольника. Пусть, например, в данную кривую второго порядка вписан пятиугольник ABCDE (Рис. 11).

Чтобы применить к нему теорему Паскаля, будем рассматривать одну из его вершин, например вершину D, как двойную. Тогда все шесть вершин шестиугольника Паскаля налицо и могут быть занумерованы, как это и сделано на рисунке. В точке D совпадают две вершины: 4 и 5.

Парами противоположных сторон, обозначенных при помощи номеров вершин, являются:

1,2 и 4,5; 2,3 и 5,6; 3,4 и 6,1.

Согласно сказанному выше сторона 4,5 является касательной к кривой второго порядка в точке D.

Точки пересечения X, Y и Z пар противоположных сторон должны лежать на одной прямой (прямой Паскаля).

Таким образом, теорема Паскаля в случае пятиугольника формулируется следующим образом:

Во всяком пятиугольнике, вписанном в кривую второго порядка, точки пересечения (Y и Z) двух пар несмежных сторон и точка пересечения (X) пятой стороны с касательной в противоположной вершине - лежат на одной прямой.

2. Рассмотрим, далее, четырехугольник ABCD, вписанный в кривую второго порядка.

Будем предполагать, что две из вершин (Рис. 12) этого четырехугольника являются двойными.

Пусть, например, двойными являются вершины A и С. Тогда, нумеруя вершины, мы обозначим точку A двумя цифрами 1, 2, а точку С — цифрами 4, 5. Применяя теорему Паскаля к полученному таким образом «шестиугольнику» 1, 2, 3, 4, 5, 6, будем иметь три точки пересечения пар противоположных сторон:

Х=(1,2)(4,5),

Y=(2,3)(5,6),

Z=(3,4)(6,1).

Так как вершины 1 и 2 совпадают (в точке A), то сторона 1, 2 обращается в касательную в этой точке. Точно так же сторона 4,5 является касательной в точке С. Эти касательные пересекаются в точке X. Две другие пары противоположных сторон пересекаются в точках Y и Z.

Три точки X, Y и Z по теореме Паскаля должны лежать на одной прямой.

Стороны АВ и CD, пересекающиеся в точке Y, являются также противоположными и для данного четырехугольника ABCD. То же самое можно сказать и о паре сторон, пересекающихся в точке Z (ВС и DA). Вместе с тем третья пара «сторон» АХ и СХ представляет собой пару касательных в противоположных вершинах A и С данного четырехугольника. Следовательно, на прямой Паскаля должны лежать точки пересечения противоположных сторон вписанного четырехугольника и точки пересечения касательных в противоположных вершинах. Так как мы могли бы считать двойными точками вершины В и D четырехугольника, то, очевидно, четвертая точка U пересечения касательных в противоположных вершинах В и D должна лежать на той же прямой Паскаля.

Итак, четыре точки X, У, Z и U должны лежать на одной прямой. Отсюда получаем теорему Паскаля для четырехугольника в следующем виде:

Во всяком вписанном в кривую второго порядка четырехугольнике две пары противоположных сторон и две пары касательных в противоположных вершинах пересекаются в четырех точках, лежащих на одной прямой.

3. Переходим к случаю вписанного треугольника. В этом случае каждую вершину А, В и С треугольника приходится считать двойной точкой (Рис. 13).

Благодаря этому все шесть вершин вписанного «шестиугольника» оказываются налицо, и теорема Паскаля может быть применена. Из шести сторон этого шестиугольника три [(2,3), (4,5) и (6,1)] являются одновременно и сторонами данного треугольника (АВ, ВС и СА). Три другие стороны [(1,2) (3,4) и (5,6)] являются касательными в вершинах данного треугольника (АХ, BZ и CY).

Точки пересечения противоположных сторон «шестиугольника» определяются следующим образом:

Х=(1,2)(4,5);

Y=(2,3)(5,6);

Z=(3,4)(6,1).

Из написанных формул видно, что эти точки являются точками пересечения сторон данного треугольника ABC с касательными в противоположных вершинах.

Три точки пересечения сторон вписанного треугольника с касательными в противоположных вершинах лежат на одной прямой.

4. Частные случаи теоремы Паскаля находят многочисленные применения при решении задач.

Так, например, если кривая второго порядка задана пятью точками A, В, С, D, Е, то в каждой из данных точек можно построить касательную к кривой, используя с этой целью теорему Паскаля для пятиугольника. Так, на рисунке 11 (см. выше) показано построение касательной в точке D при помощи прямой Паскаля.

Другой пример дает рисунок 14. Даны три точки A, В и C кривой второго порядка и касательные а и b в двух из них. Этими данными кривая второго порядка (ряд точек второго порядка) вполне определяется.

В самом деле, принимая точки A и B за центры образующих пучков, устанавливаем проективное соответствие этих пучков с помощью трех пар соответственных прямых;

АВ, АС и а (в пучке A); b, BC и ВА (в пучке В).

Это соответствие пучков A и B дает возможность построить сколько угодно новых точек кривой второго порядка.

В каждой из точек можем построить касательную, применяя с этой целью теорему Паскаля для вписанного треугольника.

5. ТЕОРЕМА БРИАНШОНА

Рассмотрим теперь теорему, двойственную теореме Паскаля. Эта теорема вытекает из свойств шести прямых, принадлежащих к одному пучку второго порядка. На рисунке 15 прямые s1, с, s2, a, d, b образуют шестисторонник, все стороны которого принадлежат пучку прямых второго порядка. Каждая пара соседних сторон определяет вершину шестисторонника, а именно:

s₁c=C₁; cs₂=С₂; s₂a=A₂,

аd=A; db=B; bs₁=B₁.

Шесть вершин этого шестисторонника распадаются на три пары противоположных вершин, а именно:

C₁ и A; С₂ и В; А₂ и В₁.

Как было доказано при выводе основной теоремы, три прямые С₁А, С₂В и A₂В₁ соединяющие пары противоположных вершин шестисторонника, проходят через одну точку X. Это свойство шестисторонника и составляет содержание теоремы Брианшона. Последнюю можно формулировать так:

Во всяком шестистороннике, стороны которого принадлежат пучку прямых второго порядка, три прямые, соединяющие пары противоположных вершин, проходят через одну точку (точку Брианшона).

Теорема Брианшона выражает геометрическую зависимость, которая должна иметь место, если шесть прямых принадлежат к одному пучку второго порядка. В самом деле, пучок второго порядка вполне определяется пятью своими прямыми. Поэтому шестая (произвольная) прямая этого пучка должна удовлетворять некоторому условию, которое в геометрической форме выражается теоремой Брианшона. Последняя, таким образом, является своего рода «проективным эквивалентом» уравнения пучка второго порядка.

Обратная теорема Брианшона может быть сформулирована следующим образом:

Если три прямые, соединяющие пары противоположных сторон шестисторонника. проходят через одну точку, то его шесть сторон принадлежат одному и тому же пучку второго порядка (т. е. данный шестисторонник описан около кривой второго класса).

При помощи теоремы Брианшона можно по пяти заданным прямым пучка второго порядка построить сколько угодно новых прямых пучка.

Пусть, например, даны пять прямых s₁, с, s2, a и d, определяющих пучок второго порядка (Рис. 15). Чтобы сделать задачу построения новых прямых пучка определенной, зададим на одной из его сторон, например на стороне d, произвольную точку B и будем искать ту прямую b данного пучка второго порядка, которая проходит через точку В. Как было ранее доказано, через одну точку может проходить не более двух прямых, принадлежащих пучку второго порядка. Одной из этих прямых, проходящих через точку В, является прямая d. Предположим, что выбранная точка В не есть точка прикосновения прямой d, тогда через нее должна проходить вторая прямая (b) пучка второго порядка В самом деле, выбирая прямую d и прямую s, в качестве носителей образующих рядов пучка второго порядка, найдем на прямой s₁ точку В₁, соответственную точке В. Тогда прямая В₁В=b и есть искомая.

Построим прямую b при помощи теоремы Брианшона. Принимая пять данных прямых s₁ с, s₂, а и d за стороны шестисторонника Брианшона, постараемся построить точку Брианшона X этого шестисторонника. Противоположными вершинами его являются точки C₁ и А, а также точки С₂ и В. Поэтому точку X находим, проводя прямые С₁А и С₂В:

Х=С₁АС₂В.

Следовательно, прямая А₂Х должна (в силу теоремы Брианшона) проходить через шестую вершину В₁ шестисторонника, противоположную вершине А₂. Точку В₁ находим на стороне s₁:

B₁=s₁A₂X.

После этого искомая прямая b находится как прямая, соединяющая вершины В и B₁. Изменяя положение произвольно выбранной вершины В на прямой d, получим сколько угодно прямых b пучка второго порядка. Как мы знаем, эти прямые огибают кривую второго класса.

Подобно тому, как шесть точек образуют 60 различных шестиугольников, из шести прямых можно получить 60 различных шестисторонников. Поэтому шесть прямых пучка второго порядка определяют 60 точек Брианшона.

Если рассмотрим пучок второго порядка, распавшийся на два пучка первого порядка, то можем применить теорему Брианшона к этому частному случаю.

Однако при этом получим ту же самую конфигурацию Паскаля-Паппа, которая была уже рассмотрена.

В самом деле, конфигурация Паскаля-Паппа сама себе двойственна и охватывает оба случая, т. е. теорему Паскаля для ряда второго порядка, распавшегося на пару рядов первого порядка, и теорему Брианшона для пучка второго порядка, распавшегося на два пучка первого порядка.

Можно убедиться в этом, рассматривая рисунок 10 (см. выше), который представляет конфигурацию Паскаля-Паппа. Если на этом чертеже принять точки C и F за центры пучков первого порядка, на которые распался пучок второго порядка, и обозначить цифрами выходящие из них прямые (стороны шестисторонника Брианшона), то получим рисунок 16.

Прямые 1, 3 и 5 принадлежат пучку C, а прямые 2, 4 и 6 — пучку F. Получаем шесть вершин шестисторонника: 1,2; 2,3; 3,4; 4,5; 5,6 и 6, 1. Три прямые, соединяющие пары противоположных вершин, а именно прямые

(1,2) (4,5); (2,3) (5,6); (3,4) (6,1),

проходят через одну точку — точку Брианшона X.

6. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРЕМЫ БРИАНШОНА

Подобно тому, как теорема Паскаля имеет место для шестиугольника, выродившегося в пяти-, четырехили треугольник, теорема Брианшона приложима к шестистороннику, выродившемуся в пяти-, четырехили трехсторонник.

Пусть, например, на рисунке 17 изображен пятисторонник, описанный около кривой второго класса (стороны его принадлежат пучку второго порядка). Будем рассматривать одну из сторон, например сторону d, как двойную, т. е. как прямую совпадения двух сторон шестисторонника.