Логические операции с понятиями

Когда в наших рассуждениях мы используем союзы «и», «или» и частицу «не» (или их разнообразные эквиваленты), то осознанно или бессознательно мы выполняем соответственно операции умножения, сложения и вычитания.

Если я утверждаю, что «сегодня пасмурно и холодно», то я «умножаю» случившиеся пасмурные дни на холодные и тем самым желаю сказать, что сегодня пасмурно и холодно одновременно.

Если настаиваю, что «сегодня пасмурно или холодно», то «складываю» пасмурные дни с холодными, имея в виду одну из следующих альтернатив: сегодня или только пасмурно, или только холодно, или пасмурно и холодно одновременно.

Если я убежден, что «невозможно, чтобы сегодня было пасмурно и холодно», значит, отрицаю такую альтернативу и утверждаю истинность ее дополнения: «сегодня либо не пасмурно, либо не холодно, либо не пасмурно и не холодно одновременно».

Таким образом, базисных логических операций всего три — умножение, сложение и отрицание. Производной следует считать операцию деления (классификации, разбиения универсума на совместно исчерпывающие и взаимно исключающие классы). Для ясности определение базисных операций дано для двух понятий, обозначенных символами Л и В.

Пусть знак «+» обозначает операцию сложения понятий, знак «х» — их умножение, знак «(c)» — вычитания, знак «-п» — логического отрицания (читается как «неверно, что»).

Допустим, для двух произвольных понятий А и В последовательность символов (АВ) обозначает класс вещей, обладающих свойствами А и В одновременно; (Л-iB) — класс вещей, обладающих свойствами А, но не обладающих свойствами В (-ЛВ) — класс вещей, не обладающих свойствами Л, но обладающих свойствами В; (-А-iB) — класс вещей, не обладающих свойствами ни Л, ни В. Поскольку понятия могут быть совместимыми и несовместимыми, рассмотрим результаты сложения, умножения и вычитания для каждого вида последовательно.

Сложить понятие Л с понятием В означает сконструировать новое понятие, объем которого состоит из всех (без повторения) классов объемов как Л, так и В.

1. А и В — эквивалентные понятия.

Тогда А + В = А = В, т. е. результат сложения таких понятий равен объему любого одного из них.

«Мужчина» + «сын» — «мужчина» — «сын».

Как частный случай получаем: Л + Л * Л. Если 1 + 1 = 2, то «одна вещь» + «одна вещь» = «одна вещь». Сложение двух эквивалентных понятий не приводит к удвоенной сумме, как это происходит при сложении равных натуральных чисел.

2. А и В — независимые понятия.

Тогда Л + В — (АВ) + (А-.В) + (-ИЯ) + (-тЛ-iB).

• ?"Вкусные веши" + «полезные вещи* = «вкусные и полезные вещи», или «вкусные, но не полезные веши», или «невкусные, но полезные вещи», или «невкусные л неполезные веши».
• 3. А — родовое, В — видовое понятие.

Тогда, А + В — А.

«Утро» + «пасмурное утро» — «утро*.

4. А и В — противоречащие понятия.

Тогда, А + В = U.

«Дорогая вещь» + «недорогая вещь» — «вещь».

5. А и В — противоположные понятия.

Тогда А + В = (A-iB) + (-АВ) (А или В, но не оба вместе).

«Вещь слева» + «вещь справа» — «вещь слева или справа».

6. А и В — соподчиненные понятия.

Тогда А + В = (А-В) + (-iAB) = (А или В, но не оба вместе).

«Вещь желтого цвета* + «вещь синего цвета* =.

" «вещь желтого или синего цвета».

7. А и В — частично совместимые понятия.

Тогда А + В = U.

«Неумные люди» + «неглупые люди» * «люди».

Умножить понятие А на В означает сконструировать такое понятие, объем которого состоит только из тех классов, которые оказываются общими для объемов А и В.

1. А и В — эквивалентные понятия.

Тогда Ах В = А = В, т. е. результат умножения таких понятий равен объему любого одного из них.

«Мужчина» х «сын» — «мужчина» — «сын».

Как частный случай рассматривается: Ах, А = А. Если 2×2 = 2² = 4, то «две вещи» х «две вещи» = «две вещи». Умножение двух эквивалентных понятий не приводит к увеличению их степени, как в случае с умножением равных натуральных чисел.

2. А и В — независимые понятия.

Тогда, А х В — (АВ).

«Вкусные вещи» х «полезные вещи» — «вкусные и полезные вещи».

3. А — родовое, В — видовое понятие.

Тогда А х В = В, т. е. областью пересечения выступает объем видового понятия.

«Утро» х «пасмурное утро» * «пасмурное утро».

4. А и В — несовместимые (противоречащие, противоположные или соподчиненные) понятия.

Пусть © обозначает пустое множество, тогда А х В — ©, ибо область пересечения всех несовместимых по истине понятий пуста.

«Добрые люди» х «недобрые люди» — «добрые люди» х «злые люди» — «добрые люди» х «равнодушные люди» — ©.

5. А и В — частично совместимые понятия.

Тогда, А х В — (АД).

«Неумные люди» х «неглупые люди» — «люди среднего ума*.

Вычесть понятие В из понятия А означает сконструировать новое понятие, объем которого состоит из всех классов объема А, не обладающих свойством Д.

1. А и В — эквивалентные понятия.

Тогда А (c)Д = Д (c)А = ©.

«Мужчина* © «сын* = «сын* © «мужчина» = ©.

В качестве частного случая укажем, А © А = ©.

«Печаль» © «печаль» — ©.

2. А и В — независимые понятия.

Тогда, А © В = (А-пД), В © А = (-v4В).

«Полезные вещи» © «вкусные вещи» = «полезные, но невкусные вещи». «Вкусные вещи» © «полезные вещи» *= «вкусные, но бесполезные вещи».

3. А — родовое, В — видовое понятие.

Тогда, А © В — (А-пД), В е А — ©.

«Утро» © «пасмурное утро» — «непасмурное утро».

«Пасмурное утро» © «утро* - ©.

4. А и В — несовместимые (противоречащие, противоположные, соподчиненные) понятия.

Тогда, А © Д — А, Д © А — Д.

«Белая вещь» © «небелая вещь» — «белая вещь*.

«Небелая вещь» © «белая вещь» — «небелая вещь*.

«Белая вещь» © «черная вещь» = «белая вещь».

«Черная вещь» © «белая вещь» — «черная вещь».

«Желтая вещь» © «синяя вещь» = «желтая вещь».

«Синяя вещь» © «желтая вещь» — «синяя вещь».

5. А и В — частично совместимые понятия.

Тогда А е В = -лВ, В еА = -А.

«Неумные люди» © «неглупые люди» — «глупые люди».

«Неглупые люди» © «неумные люди» — «умные люди».