Парадокс индуктивной вероятностной поддержки К. Поппера

Один из последних по времени формулирования, но не менее известных, — парадокс, выдвинутый Карлом Поппером (1902;1994) совместно с Д. Миллером.^[1] Цель парадокса — в доказательстве, что «Никакой индуктивной вероятной поддержки не существует. Всякая вероятностная поддержка дедуктивна».^[2] В случае истинности этого доказательства следовала бы невозможность вероятностного обсуждения индуктивных проблем, т. е. невозможность концепции индуктивной вероятности.

Введем следующие определения. Пусть Н обозначает произвольную (неистинную и неложную логически) гипотезу, Е — свидетельство. Пусть далее /" (Я, Е) обозначает, что гипотеза Я позитивно индуцируется (подтверждается, поддерживается) свидетельством Е I" (H, Е) — гипотеза Я негативно индуцируется (дисподтверждается, контрподдерживается) свидетельством Е; I^U,(H, Е) — иррелевантно индуцируется (не подтверждается и не дисподтверждается) свидетельством Е согласно следующим определениям:

Доказательство Поппера строится по следующей схеме.

A. Вероятностная поддержка гипотезы Я свидетельством Е может быть либо дедуктивной, либо индуктивной.

B. Логическое содержание Я относительно Е эквивалентно конъюнкции двух факторов — (Я v Е) и (Я v -Е). Первый из них включает то содержание Я, которое следует из Е дедуктивно; второй — то содержание Я, которое не следует из Е дедуктивно.

C. При наличии Е фактор (Я v Е) может игнорироваться, так как Р (Н v Е/Е) = 1 и при Р (Н/Е) *Ф Р (Е) вероятность Р (Н/Е) равна Р (Н v -тЕ/Е)Р (Н v Е/Е) — Р (Н v -?/Е).

D. При указанных в посылке С условиях свидетельство Е всегда негативно индуцирует фактор (Я v-i?), т. е. всегда истинно P (Pv Е/Е) < P (Hw -, Е).

Тезис. Так как (Я v Е) постоянно поддерживается дедуктивно, а (Я v -Е) постоянно контрподдерживается свидетельством Е, то ни одна часть содержания Яотносительно Ене получает индуктивной поддержки со стороны Е. Другими словами, если вероятностная поддержка и существует, то она всегда дедуктивна.

Решающей посылкой в доказательстве Поппера оказывается А. От того, что понимается под дихотомией вероятностной поддержки на дедуктивную и индуктивную, зависит принятие тезиса этого доказательства.

По мнению Поппера, адекватное определение дедуктивной вероятностной поддержки указывает следующая теорема.

Теорема 1. Если Р (Н) > 0, 0 < Р (Е) <1 и Я ь Е, то /" (Я, Е).

Однако она определяет только достаточный критерий подтверждения. Ведь очевидно, что свидетельство может подтверждать гипотезу, даже если оно не является ее дедуктивным следствием. Необходимое и достаточное условия подтверждения указывает другая теорема.

Теорема 2. /" (Я, Е), если и только если Р (Е/Н) > Р (Е/-Л).

Теорема 1 истинна, когда действительно Р (Е/Н) = 1 и Р (Е/-, Н) = 0. Теорема же 2 истинна не только в этих двух экстремальных случаях, но и в бесконечном числе других, когда выполняе’тся 1> Р (Е/Н) > Р (Е/ ->Я)> 0.

Для иллюстрации истинности теоремы 1 Поппер приводит пример. Пусть дана симметричная игральная кость с распределением очков и цветами сторон, указанными в табл. 10.2.

Таблица 10.2

Иллюстрация следования теоремы 2 из теоремы 1

Пусть Е= «Кость выпала желтой стороной», Я= «В следующем бросании выпадает 5 очков». Тогда следует: Р (Е) = 3/6, Р (Н) = 1/6, Р (Е/ Я) — 1, Р (?/->Я) = 0, Р (Н/Е) = 2/6. Следовательно, выполняется как теорема 1, так и 2. Более важно, что из истинности первой следует истинность второй.

Для иллюстрации, что обратное следование не имеет места, модифицируем пример Поппера. Пусть для той же игральной кости распределение очков и цвета сторон задано табл. 10.3.

Пусть Е — «Кость выпала желтой стороной», Я — «В следующем бросании выпадет нечетное число очков». Тогда следует: Р (Е) — Р (Я) — 3/6,.

Таблица 10.3

Опровержение следования теоремы 1 из теоремы 2

Р (Е/Н) — 4/6, P (E/-iH) = 2/6. Следовательно, выполняется теорема 2, но не 1 (из истинности 2 не следует в общем случае истинность 1). Но тогда ложно утверждение Поппера, что «всякая вероятностная поддержка дедуктивна». Наоборот, дедуктивная вероятностная поддержка в смысле теоремы 1 выступает частным случаем индуктивной вероятностной поддержки в смысле теоремы 2. Следовательно, вопреки Попперу мы должны сделать противоположный вывод: всякая вероятностная поддержка индуктивна. Но если это так, то решающая посылка попперовского доказательства, А должна быть отброшена как ложная. И тезис автора следует считать недоказанным.

Докажем ложность тезиса Поппера, предварительно формализовав его.

Теорема 3. Для всех Я и Е, если Р (Н/Е) * 1 * Р (Е) и если I" (H vE, Е), I" (H V-.Е, Е), то Г'? ^ир(Н, Е), где /" • ^ир(Н, Е) обозначает негативную либо иррелевантную индуцируемость Я на основании Е.

Доказать ложность теоремы 3 — это значит доказать возможность следования из ее условий позитивной индуцируемости Я на основании Е.

Пусть «+», «-», «о» обозначают соответственно позитивную, негативную и иррелевантную индуцируемость возможных миров (НЕ), (Н-, Е), (-пНЕ) и (-.Я-|?) в соответствии с Е. Тогда условиям теоремы 3 соответствует распределение знаков индуцируемости, отраженное в табл. 10.4.

Таблица 10.4

Распределение знаков индуцируемости для проверки теоремы 3

В правой части табл. 10.4 указаны знаки индуцируемости Я, (Я v Е), (Я v-iЕ), на основании Е, вычисленные в результате сложения знаков индуцируемости соответствующих возможных миров.

Согласно первой строке таблицы, свидетельство Е может индуцировать Я позитивно, негативно и иррелевантно, потому что сложение знаков индуцируемости (НЕ) и (H-iE) не дает однозначного ответа.

Конкретный знак индуцируемости зависит от принимаемого типа распределения вероятностей. Поскольку в индуктивной концепции вероятностей принимается только симметричное распределение вероятностей (так как только оно позволяет «учиться на опыте»), при указанных в первой строке знаках индуцируемости гипотеза Яможет индуцироваться Е только позитивно. Этой строке соответствуют условие и заключение теоремы 2.

Вторая строка таблицы воспроизводит ситуацию подтверждения, когда Е выступает дедуктивным следствием Я, что соответствует условиям и заключению теоремы 1.

Объединяя полученные результаты, получаем следующую теорему.

Теорема 4. Для всех Я и Е, если Р (Н/Е) * 1 * Р (Е), если истинно симметричное распределение вероятности и если /" (Я v Е, Е) и /" (Я v-,/;, ?), то /" (Я, Е).

Из табл. 10.3 получаем необходимые вероятности для проверки первой строки табл. 10.4:

Из табл. 10.2 получаем вероятности для проверки второй стррки табл. 10.4:

Из двух возможных распределений знаков индуцируемости табл. 10.4, удовлетворяющих условиям теоремы 4, следует с необходимостью позитивная индуцируемость Я на основании Е.

Но если теорема 4 истинна, то 3 — ложна, так как их условия одинаковы, а заключения несовместимы. Из ложности теоремы 3 следует и ложность тезиса Поппера о том, что всякая вероятностная поддержка дедуктивна.

Суммируя сказанное, можно сделать вывод, что причиной парадокса в данном случае послужило недостаточно глубокое проникновение в суть поставленной проблемы, что, в свою очередь, можно объяснить только крайним антииндуктивизмом Карла Поппера.

• [1] Miller D., Popper К. R. Proof of the Impossibility Inductive Probability //Nature.1983. Vol. 393. P. 687−688.
• [2] Popper K. The Calculus of Probability forbids Ampliative Probabilistic Inductive // Abstracts of the 7th Congress of Logic, Methodology and Philosophy ofScience. Salzburg, 1983. Vol. 1. P. 251.