Статистические методы идентификации нелинейных систем. 
Дисперсионные оценки степени нелинейности объекта

Рассмотрим химико-технологический объект, на вход которого поступает случайный сигнал и (/), а на выходе наблюдается случайный процесс у (/). При использовании корреляционных методов для идентификации линейных объектов с постоянными параметрами обычно полагают (или специально так подбирают тестовый сигнал), что случайные функции и (t) и у (t) являются стационарными и стациопарно связанными в широком смысле, т. е. их математические ожидания постоянны, а автои взаимнокорреляционные функции являются функциями не двух, а одного аргумента, равного их разности.

При идентификации нелинейных динамических систем условия нормальности плотностей вероятности функций и (t) и у (t) и их совместной плотности вероятности, как правило, не выполняются, т. е. характеристики объекта определяются в условиях, когда совместные плотности вероятности функций и (t) и у (/) не гауссовы.

Следовательно, условная плотность вероятности функции у (t) относительно и (t) будет также не гауссовой. Регрессия выходной случайной величины относительно входной случайной функции при заданных значениях аргументов в общем случае нелинейна, а корреляция функций и (0 и у (t) гетероскедастична.

Таким образом, для идентификации нелинейных объектов уже недостаточно корреляционных методов, оперирующих математическими ожиданиями и корреляционными функциями случайных процессов. Ошибка в решении задачи идентификации нелинейного объекта корреляционными методами, используемыми для линейных систем, тем больше, чем сильнее регрессия функций у (t) относительно и (t) отличается от линейной и чем больше неравномерность математического ожидания условных дисперсий.

Задача идентификации нелинейных объектов, функционирующих в условиях случайных возмущений, представляет весьма сложную математическую проблему, которая в настоящее время находится в стадии разработки и еще далека до своего завершения. Тем не менее уже сейчас можно назвать ряд методов, которые хотя и нельзя считать исчерпывающими, однако дающие достаточно хорошее приближенное решение задачи идентификации нелинейных объектов статистическими методами. К таким методам можно отнести: 1) методы, основанные на использовании дисперсионной и взаимодисперсионной функций случайных процессов; 2) метод линеаризации нелинейной регрессии на участках гомоскедастичности математического ожидания условной дисперсии функции у (t) относительно и (t) 3) винеровский подход к идентификации нелинейных систем; 4) метод идентификации нелинейных систем, основанный на применении аппарата условных марковских процессов.

Кратко рассмотрим каждый из перечисленных методов.

1. Если зависимость между значениями случайных функций и (0 и у (t) нелинейная, то коэффициент корреляции между значениями случайной функции уже не может служить достаточно хорошим критерием для измерения тесноты связи между ними. Поэтому для характеристики связи между и и у используются.

дисперсионные отношения, которые определяются через дисперсионные функции (2, 3].

Взаимная дисперсионная функция 0_yU (*, т) для действительных случайных функций у (t) и и (t) и автодисперсионная (дисперсионная) функция G"_K (*, т) для случайного процесса и (т) определяются соотношениями.

где M { } — символ математического ожидания; M [y_tu } —.

условное математическое ожидание случайной функции у (t) относительно и (т); р (у_{ и_х) — условная плотность вероятности случайной функции у (t) относительно и (т); р (у₍), р (uj — одномерные плотности вероятности у (f) и и (т) соответственно.

Соответствующие дисперсионные отношения определяются как нормированная взаимная дисперсионная функция у (t) относительно и (т):

и нормированная дисперсионная функция.

где D — символ дисперсии. Вообще говоря, М (y_t | u_t} =? М {u_T | y_t)₉ поэтому при решении задач идентификации определяется также взаимная дисперсионная функция и (х) и у (t):

и соответствующее дисперсионное отношение.

Введенные дисперсионные отношения позволяют прежде всего определить и количественно оценить такую важную характеристику, как степень нелинейности объекта идентификации. Известно, что оптимальным (в смысле среднеквадратичного критерия) оператором объекта в классе возможных операторов является оператор условного математического ожидания выходной переменной относительно входной.

В случае безынерционного объекта величина М {y_tu_z} является некоторой функцией входа и в произвольный, но фиксированный момент времени т:

В линейном случае уравнение (8.2) принимает вид.

где функции а_уы (t, х) и b_yu (<t, х) зависят от значений у пив моменты времени t их.

Естественно считать, что степень нелинейности объекта тем больше, чем больше кривая условного математического ожидания (8.2) отклоняется от прямой (8.3). Поэтому степень нелинейности определяется как наименьшее среднее квадратичное кривой регрессии от прямой, причем поиск минимума ведется по функциям.а_уи (*, х) и b_yu (t_} х):

Функции а_уы(?, х) и b_yu(t, х), минимизирующие величину, стоящую под символом математического ожидания, принимают вид! ^;

где R^uy_U (it, х) — нормированная взаимная корреляционная функция входа и и выхода у.

Подставляя выражения (8.5) и (8.6) в равенство (8.4) и принимая во внимание определение нормированного дисперсионного отношения (8.1), получаем искомое выражение для степени нелинейности безынерционного объекта:

причем 0<[л_уи(/, х)<^1.

Таким же путем можно показать, что для сложного объекта степень нелинейности выхода y_t относительно входов и₁ (xj),. ., и"(х_я) равна корню квадратному из разности квадратов множественной взаимной нормированной дисперсионной и корреляционной функций.

В случае инерционного (динамического) объекта степень нелинейности определяется как средняя характеристика за время наблюдения от t_Q до t₀ -f- Т:

которую логично представить в виде суммы.

где пГ_уи (?₀, t₀ + Т) и Пу_и (t₀, t₀ -}- Т) — степень нелинейности относительно прошлого и будущего соответственно.

При работе с экспериментально-статистическим материалом в форме корреляционных таблиц формулы (8.7)—(8.9) принимают вид.

где пг — число сдвигов в корреляционной таблице, которое определяется характером реализаций у (I) и и (?) и йх взаимосвязью (обычно m ^ п/4, где п — число измерений) [2, 3].

На основе определенных выше величин п_уи, т|_ук и Rможно построить специальный TV-критерий для проверки гипотезы о линейности зависимости между сигналами у и и:

где п — число опытов; к — число интервалов в корреляционной таблице. Проверим с помощью TV-критерия гипотезу о линейности связи между y_t и и_т для объекта, рассмотренного в § 6.4. Функция.

N (т), построенная по входной и выходной реализациям системы, изображена на рис. 8.2 [31. Здесь же нанесено теоретическое значение JV-критерия: JV_T=2,03 для вероятности Р=0,99. Из рис. 8.2 видно, что для значений т ^ 150 сек гипотеза о линейности связи y_t и и, должна быть отвергнута. Это значит, что поиск оптимального оператора этого объекта должен производиться в классе нелинейных операторов. На этом же рисунке показана функция.

Рис. 8.2. Функции п_ун (т) и N (х), построенные по входной и выходной реализациям системы степени нелинейности п_{у и}(т), вычисленная по формулам (8.7) — (8.10). Видно, что максимальная степень нелинейности соответствует т=0 и равна п_уи (0)=0,28, а средняя степень нелинейности приближенно равна тг_уи=0,2 для |т| =0—150 сек.

Простейший способ идентификации нелинейного объекта состоит в определении его выходных характеристик, когда заданы уравпение поверхности регрессии функции у (I) относительно и (т):

и уравнение скедастической поверхности.

которое характеризует зависимость математического ожидания условной дисперсии выходной случайной функции у (t) относительно входной случайной функции и (т) при заданных значениях аргументов т:₂, т₃,.. (F_c — функция и-{-1-го аргумента).

Пусть р_п (u_v …, и_я; т_1э…, т_я) — д-мерная плотность вероятности входной случайной функции. Тогда математическое ожидание вы;

ходной случайной функции y (t) для любого фиксированного аргумента t можно выразить с помощью соответствующего п-мерного интеграла:

Запишем выражение для дисперсии выходной случайной функции y (t):

Для трех слагаемых, стоящих справа, справедливы следующие выражения:

G учетом соотношений (8.14)—(8.17) общая дисперсия (8.14) выходной случайной функции у (t) примет вид.

или.

Таким образом, по заданным уравнениям регрессионной (8.11) и скедастической (8.12) поверхности и плотности вероятности р"

входной случайной функции и (t) уравнения (8.13) и (8.18) определяют статистические характеристики (математическое ожидание и дисперсию) выходной случайной функции у (t). Точность определения статистических характеристик функции у (t) зависит от того, с какой точностью определены статистическими методами уравнения поверхности регрессии (8.11) и скедастической поверхности (8.12). Экспериментальное определение последних, как правило, требует значительных затрат машинного времени. Поэтому изложенный метод решения, оперирующий с многомерными законами распределения случайных функций, может быть применен лишь в отдельных случаях для массовых технологических процессов, производящих однородную продукцию в течение длительного времени [3].

2. Трудности в применении общих методов решения задачи идентификации нелинейных объектов, характеризующихся нелинейной регрессией и гетероскедастичной корреляцией входных и выходных сигналов, приводят к необходимости использования упрощенных методик. Одна из таких методик состоит в линеаризации нелинейностей регрессии на участках с постоянными значениями математического ожидания условной дисперсии для каждых двух заданных значений аргументов случайной функции и (t) или двух случайных функций у (t) и и (т) (2). По полученным данным для каждого из указанных участков определяют общие характеристики случайной функции (или двух случайных функций) при данных двух значениях аргументов.

Оценка погрешностей, вносимых линеаризацией, и погрешностей в определении характеристик нелинейного объекта ведется по результатам сопоставления корреляционных и дисперсионных функций. Точность метода тем выше, чем больше участков разбиения. Однако при увеличении числа участков должно быть произведено больше измерений, так как при малом числе измерений в пределах участка возрастают погрешности характеристик каждого участка.

3. Рассмотрим схему статистического метода идентификации нелинейного объекта с помощью подачи на его вход специального тестового случайного сигнала. Метод основан на статистической теории динамических систем, развитой в работе 14]. В данном случае задача идентификации сводится к поиску неизвестных параметров объекта, которыми служат коэффициенты оператора в гильбертовом пространстве. Сигнал на входе системы раскладывается в^ряд подфункциям Лагерра:

с коэффициентами

Рис. 8.3. Определение коэффициентов Лагерра с помощью цепочки линейных динамических звеньев.

Рис. 8.4. Блок-схема статистического метода идентификации нелинейного объекта.

Здесь п-я функция Лагерра g_n (t) строится в виде произведения полинома Лагерра l_n (t) на экспоненту:

где.

Заметим, что изображение по Лапласу полиномов Лагерра па основании (8.19) имеет вид.

Отсюда видно, что необходимые коэффициенты Лагерра можно получить, пропуская сигнал и (t) через цепочку линейных динамических звеньев (см. рис. 8.3).

Оператор нелинейной системы представляется в виде разложения по полиномам Эрмнта:

которые ортогональны на действительной оси — оо < t <. Из полиномов Эрмита строятся функции Эрмита:

с помощью которых оператор перехода от коэффициентов Лагерра входного сигнала к выходному сигналу записывается в виде.

Соотношение (8.20) справедливо для любого нелинейного объекта и может быть положено в основу его идентификации. Методика идентификации значительно упрощается, если на вход подавать специальный сигнал в виде гауссового белого шума. В этом случае функции Лагерра представляют собой некоррелированные гауссовы случайные процессы с равными дисперсиями. При этом определение коэффициентов … _к сводится к нахождению взаимнокорреляционной функции выхода системы и полиномов Эрмита:

Определение коэффициентов b_{j… _к завершает решение задачи идентификации. Общая схема вычислений показана на рис. 8.4.

При решении задач идентификации химико-технологических объектов рассмотренный метод имеет ограниченное применение по ряду причин. К последним можно отнести, например, трудности, возникающие при переходе от коэффициентов b_{tj к} к технологическим параметрам объекта. Метод не пригоден для нестационарных систем. Трудности реализации этой процедуры в режиме нормальной эксплуатации объекта также снижают эффективность метода. Наконец, необходимость усечения всех операций, связанных с предельными переходами, замена рядов конечными суммами являются источниками дополнительных вычислительных погрешностей.

4. Другой возможный подход к построению оптимальных фильтров нелинейных систем основан па использовании аппарата условных марковских процессов. Рассмотрим существо данного подхода на конкретном примере.

П р и м е р [5]. Пусть полезный сигпал представляет собой прямоугольный импульс

момент появления которого t на отрезке 0 < х < Т требуется определить. Высота импульса А₀ и его длительность ч предполагаются известными. Сигнал, поступающий на объект, и (t)=s (*)+м> (*) есть сумма полезной составляющей s (0 и белого шума w (*), который описывается интегралом вероятности [6)

причем интеграл понимается в смысле суммы ^ и>%&, где дj wdt

*к

при малом Д; N₀ — параметр белого шума. Априорная совместная плотность распределения для т и и (f) имеет вид.

^гД^е Ррг — априорное распределение для т. Отсюда по формуле обратной вероятности получаем.

^гД^е Ррв — апостериорная плотность вероятности; С С" — копстанты.

В месте истинного положения импульса полученная плотность вероятности, как правило, имеем максимум, средняя высота которого определяется параметром сж = >1 g*t^/JV₀. Чем больше а, тем надежнее и точнее определение т. Точность повышается при многократном наблюдении импульса. Пусть периодически (с периодом Т) в объект поступают сигналы и (t)=s₀{t-kT—T— т*)+ 4-w (/), где х_к — положение импульса в к-м периоде (Л—1) Т < t < кТ• Обозначим плотность вероятности априорных статистических данных о •с, tj,.. x_m через p_pr (4, tj, … т_от). Тогда по аналогии с формулой (1) получаем апостериорную плотность распределения:

Если положения импульсов в различные периоды априорно совершенно независимы, то многократные наблюдения не увеличивают апостериорных сведений, даваемых формулой (1). В промежуточных случаях, когда величины Ч" Ч" • • •* ^хт не тождественны, но коррелировали, точность апостериорных сведений описывается каким-то промежуточным значением параметра ^а (AI^q/Nо < а < mAfi^/No) и стремится к некоторому конечному пределу при т -* оо (для стационарного процесса). Когда т велико, пользоваться формулой (2) затруднительно, и для отыскания апостериорной плотности вероятности целесообразно использовать свойства процессов Маркова.

Пусть координаты импульсов априори образуют цепь Маркова. Это значит, что условное распределение для т*₊₁ зависит лишь от х_к и по зависит от т*_" т_А._₂,. .. Многомерное распределение p_pr (.

.. x_m), входящее в выражение (2), при этом можно написать в виде.

где Рт (т*₊₁, т_А)=Р_т(х_Л+1—х_А) — вероятность перехода, которую мы предполагаем зависящей лишь от разности т_А+1—х_к. Ограничиваясь рассмотрением простого процесса Маркова, подставим (3) в (2), в результате найдем.

Отсюда получается цепочка уравнений, определяющая изменение апостериорной вероятности:

которая описывает сведения о х_к после наблюдения сигнала и (0 за (Л—1) предыдущих периодов. Полагая т=/с-}-1 в выражении (4), интегрируя по x_{t f} x_tt.. ., х_к и учитывая (5), находим.

Если счетно-решающее устройство автоматически осуществляет последовательные преобразования (6), то оно и будет системой, производящей оптимальную нелинейную обработку входного сигнала и (t). Блок-схема такого устройства и подробное описание его работы приведены в работе (5).