Построение операторов физико-химических систем на основе модельных представлений

Общие положения математического моделирования. Распределение элементов потока по времени пребывания в аппарате.

Как уже упоминалось (см.

введение

), технологический оператор физико-химической системы, как правило, представляет суперпозицию (наложение) элементарных технологических операторов: химического превращения, диффузиоппого переноса вещества и тепла, межфазного теплои массопереноса, механического перемешивания, изменения агрегатного состояния вещества (испарения, конденсации, растворения), дробления и коалесценции и т. д. Каждый элементарный технологический оператор по существу является элементарным процессом, подчиняющимся определенным физико-химическим закономерностям с соответствующим математическим описанием. В рамках этого описания элементарному технологическому оператору соответствует его элементарный функциональный оператор.

Подход к построению математического описания ФХС на основе модельных представлений включает три аспекта: смысловой, аналитический и вычислительный.

Смысловой аспект процесса моделирования состоит в предварительном анализе существующей априорной информации о моделируемой ФХС, на основании которого составляется перечень элементарных технологических операторов, характерных для данного процесса, и формулируются основные допущения, принимаемые при построении модели ФХС. В свою очередь, перечень учитываемых элементарных процессов определяет совокупность параметров, описывающих состояние ФХС, которые включаются в ее математическую модель.

Полнота и детализация составляемого перечня элементарных технологических операторов, входящих в общий оператор ФХС, зависит от того, насколько существен их вклад в поведение объекта, насколько тесно они взаимосвязаны между собой и как глубоко проанализирована их взаимосвязь.

Аналитический аспект моделирования состоит в выражении смыслового описания ФХС на языке математики в виде некоторой системы уравнений и функциональных соотношений между отдельными параметрами модели. При этом основным приемом построения математического описания ФХС служит блочный принцип [1 ]. Согласно этому принципу, после того как набор элементарных процессов установлен, каждый из них исследуется отдельно (по блокам) в условиях, максимально приближенным к условиям эксплуатации объекта моделирования. В результате каждому элементарному технологическому оператору ставится в соответствие элементарный функциональный оператор с параметрами, достаточно близкими к истинным значениям.

Вначале исследуется гидродинамическая часть общего технологического оператора — основа будущей модели. Эта часть оператора отражает поведение так называемого «холодного» объекта, т. е. объекта без физико-химических превращений, но с реальными нагрузками на аппарат по фазам. Важно подчеркнуть, что соответствующий элементарный функциональный оператор здесь, как правило, линеен и представляет собой либо линейные дифференциальные уравнения, либо линейные интегральные преобразования с ядром в виде функции распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате.

Далее изучают кинетику химических реакций, скорости процессов массои теплопередачи, кинетику фазовых переходов в условиях, близких к условиям эксплуатации объекта, и составляют соответствующие элементарные функциональные операторы. Эти элементарные процессы обычно являются основными источниками нелинейностей результирующего функционального оператора (химические реакции порядка, отличного от нуля и единицы, нелинейные равновесные соотношения, экспоненциальная зависимость кинетических констант от температуры и т. п.).

Следующий этап моделирования состоит в агрегировании элементарных функциональных операторов в общий результирующий функциональный оператор, который и представляет математическую модель объекта. Важным фактором агрегирования является правильная координация отдельных операторов между собой, которая не всегда возможна из-за трудностей учета естественных причинно-следственных отношений между отдельными элементарными процессами. Поэтому повышается роль автоматизации и формализации процедур агрегирования отдельных подсистем в единую систему (эти вопросы будут рассмотрены во втором томе настоящей монографии).

В состав результирующего функционального оператора могут входить следующие группы уравнений: 1) уравнения баланса масс и энергии, записанные с учетом гидродинамической структуры движения потоков (даппая группа уравпений характеризует распределение в потоках температуры, составов и связапных с ними свойств, например плотности, вязкости, теплоемкости и т. д.); 2) уравнения элементарных процессов — химических реакций, теплои массообмена, фазовых превращений и т. п.; 3) теоретические, полуэмпирические или эмпирические соотношения между различными параметрами процесса, например зависимость коэффициента массопередачи от скоростей потоков фаз, зависимость теплоемкости раствора от состава, равновесные соотношения и т. д.; 4) ограничения на параметры процесса, например при моделировании процессов с участием многокомпонентных смесей должно выполняться следующее условие: сумма концентраций всех компонентов равна единице, а концентрация любого компонента может быть только положительна и заключена между 0 и 1.

С математической точки зрения перечисленные уравнения делятся на следующие типы: конечные алгебраические или трансцендентные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения.

К конечным уравнениям обычно сводится математическое описание объектов с сосредоточенными параметрами в установившемся режиме, а также различные соотношения эмпирического характера, замыкающие более сложные системы уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения используют для математического описания нестационарных режимов (динамики) объектов с сосредоточенными параметрами, а также установившихся режимов объектов с распределенными параметрами, в которых значения параметров зависят только от одной пространственной координаты. В первом случае независимой переменной в дифференциальных уравнениях является время (и решается задача с начальными данными), во втором — пространственная координата (и решается краевая задача).

Дифференциальные уравнения в частных производных используют для математического описания динамики объектов с распределенными параметрами или установившихся режимов таких объектов, в которых распределенность учитывается более чем по одной пространственной координате.

Интегральная форма функционального оператора имеет место при задании связи между входным и выходным сигналами объекта с помощью его весовой функции в виде иптеграла свертки. Часто такая форма связи бывает предпочтительна как с точки зрения устойчивости к помехам, так и с точки зрения эффективности вычислительных процедур при решении задач идентификации и оценки параметров состояния объекта, подверженного случайным возмущениям и дрейфу технологических характеристик. Статистическая динамика, которая эффективно применяется в этих случаях, ориентирована в основном на интегральную форму представления функциональных операторов. Кроме того, операция иптегрирования сама по себе сопровождается сглаживанием помех в противоположность дифференцированию, подчеркивающему помехи.

В ряде случаев при моделировании сложных объектов химической технологии необходимо учитывать процессы как детерминированной. так и стохастической природы. При этом результирующее математическое описание объекта обычно представляется в форме интегро-дифференциалъных уравнений. Например, такая форма уравнений характерна для уравнения баланса свойств ансамбля частиц дисперсной фазы в аппарате, где эффекты взаимодействия (дробления—коалесценции) задаются соответствующими интегралами взаимодействия в дифференциальном уравнении для мпогомерной функции распределения частиц по физико-химическим свойствам. Другим характерным примером интегро-дифференциальной формы функционального оператора объекта может служить дифференциальное уравнение, описывающее процесс диффузии или теплопереноса, свернутое по временной координате с помощью функции распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате.

Следует отметить, что исследование объектов, описываемых дифференциальными, иптегральпыми и интегро-дифференциальными уравнениями, методом математического моделирования представляет иногда весьма трудную вычислительную задачу. Поэтому в ряде случаев вместо математического описания объекта дифференциальными или интегральными уравнениями его характеризуют системой конечных уравнении, для чего от непрерывного объекта с распределенными параметрами переходят к дискретному с сосредоточенными параметрами, но имеющему так называемую ячеечную структуру. Формально замена непрерывного объекта дискретным эквивалентна замене дифференциальных уравнений разностными соотношениями, а интегральных — алгебраическими уравнениями. При этом для объектов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, математическое описание представляют в виде системы конечно-разпостпых уравнений. Для процессов, характеризуемых дифференциальными уравнениями в частных производных, результатом является система дифференциально-разностных уравнений. При подобных преобразованиях исходной системы уравнений, естественно, допускается погрешность, которую необходимо учитывать при оценке результатов моделирования.

Вместе с тем существует ряд объектов, которые по своей природе обладают ячеечной структурой. Типичными примерами служат секционированные реакторы, тарельчатые колонны и т. д. Поэтому ячеечные модели играют роль не только конечно-разностной аппроксимации дифференциальных операторов объектов, но и имеют вполне определенное самостоятельное значение, отражая ячеечную структуру реального объекта.

Вычислительный аспект моделировании состоит в разработке и реализации так называемого моделирующего алгоритма. Моделирующий алгоритм определяется как последовательность операций, которые необходимо выполнить над уравнениями математического описания для того, чтобы найти значения интересующих нас параметров математической модели, т. е. обеспечить собственно процесс моделирования.

В простейших случаях, когда возможно аналитическое решение системы уравнений математического описания, необходимость специальной разработки моделирующего алгоритма, естественно, отпадает, так как вся информация получается из соответствующих аналитических решений. Когда математическое описание представляет сложную систему конечных, дифференциальных и интегральных уравнений, от возможности построения достаточно эффективного моделирующего алгоритма может существенно зависеть практическая применимость математической модели. В особенности это важно при использовании модели для решения задач, в которые она входит составной частью более общего алгоритма, например, алгоритма оптимизации. В таких случаях, как правило, для реализации математической модели приходится применять средства вычислительной техники — аналоговые и цифровые вычислительные машины, без которых фактически нельзя ставить и решать сколько-нибудь сложные задачи математического моделирования [1, 21.

В ряде случаев моделирующий алгоритм бывает настолько сложным для реализации с помощью имеющихся в наличии вычислительных средств, что требуется изменение формулировки исходной задачи моделирования и упрощение математического описания. Это упрощение часто достигается ценой снижения точности математической модели и сокращения полноты описания моделируемого объекта.

Таким образом, все три аспекта построения математической модели ФХС — смысловой, аналитический и вычислительный — должны рассматриваться в тесной взаимосвязи.

Формализация и автоматизации процедуры построения математической модели ФХС. Из сказанного ясно, что эффективность процесса моделирования и последующего использования математической модели для решения задач оптимизации, построения модулей, анализа и синтеза химико-технологических систем в значительной мере обусловлена тем, насколько удачно учтены все перечисленные выше аспекты математического моделирования. Это в свою очередь во многом зависит от опыта, интуиции и степени квалификации исследователя, т. е. от того, что составляет субъективный фактор процесса моделирования. Удельный вес субъективного фактора при построении модели можно существенно уменьшить созданием специальной системы формализации и автоматизации процедур синтеза математических моделей. При этом вычислительная техника может и должна активно использоваться не только для решения уже готовых систем уравнений, но и на стадии формирования математического описания объекта. Такой подход позволяет резко Повысить эффективность процесса математического моделирования как за счет сокращения времени, необходимого для построения модели, так и за счет повышения качества построенных математических моделей. Детальному рассмотрению этих вопросов будет посвящена вторая книга авторов по системному анализу процессов химической технологии.

Выше упоминалось, что основу результирующего функционального оператора ФХС составляет гидродинамическая структура потоков в технологическом аппарате. Особенности гидродинамической структуры потоков в свою очередь проявляются в характере распределения времени пребывания частиц потока в аппарате. Концепция распределения времени пребывания является основной концепцией модельного подхода к синтезу функционального оператора ФХС.

Распределение элементов потока по времени пребывания в аппарате (РВП). В реальной непрерывной системе в силу стохастической природы движения ее частиц на микроуровне, не говоря о причинах макроскопического характера, всегда имеет место неравномерность распределения частиц, но времени пребывания в аппарате.

К наиболее существенным источникам неравномерности распределения элементов потока по времени пребывания в промышленных аппаратах можно отнести: неравномерность профиля скоростей системы; турбулизация потоков; молекулярная диффузия; наличие застойных областей в потоке; каналообразование, байпасные и перекрестные токи в системе; температурные градиенты движущихся сред; теплои массообмен между фазами и т. п. Перечисленные причины, существующие в технологических аппаратах и действующие в различных комбинациях, обусловливают специфический характер неравномерности в каждом конкретном случае. Для оценки неравномерности потоков вводится ряд функций распределения, каждая из которых является результатом установления однозначного соответствия между произвольной частицей потока и некоторым характерным для нее промежутком времени.

С произвольным распределением частиц потока по времени пребывания t в аппарате можно связать некоторую функцию F (/), обладающую следующим свойством: доля частиц, пребывающих в аппарате в течение времени t или меньше t, есть F). Доля частиц, для которых время пребывания превышает t, выражается в виде дополняющей функции F* (/):

Функция F (t) является неубывающей функцией t, которая принимает нулевое значение при t=0 и асимптотически приближается к единице при / -> оо. Дополняющая функция F* (t) представляет собой невозрастающую функцию, которая равна единице при t=0 и асимптотически стремится к нулю при возрастании времени. Значения функций F (t) и F* (() могут рассматриваться как вероятности: F (l) есть вероятность того, что данная частица потока пребывает в аппарате время, не превосходящее t; F* (t) есть вероятность времени пребывания частицы, превышающего t.

Дифференцирование функции распределения вероятности F (/) по t дает функцию плотности распределения вероятности р (/) = =dF (t)fdt = -dF* (t)/dt.

Таким образом, вероятность того, что время пребывания данной частицы в аппарате лежит в диапазоне от t до t—dt, равна р {t) dt. Функции р (i)у F (/) и F* (/) являются характеристиками распределения времени пребывания частиц па выходе системы.

Функция р (t) называется функцией распределения времени пребывания (РВП) или внешней функцией распределения возрастов и часто обозначается Е (t) 12—5].

Для характеристики частиц, находящихся внутри системы, вводится понятие возраста частицы /*, который исчисляется отрезком времени, прошедшим с момента входа частицы в аппарат. Аналогично функции распределения времени пребывания функцию распределения элементов системы по возрастам В (() определяют как долю частиц системы, позраст которых t* на данный момент времени t меньше t. Функция плотности распределения частиц по возрастам b (t) определяется равенством b (t)—dB (t)/dt_t так что b (t) dt можно рассматривать как вероятность того, что выбранная наудачу частица внутри системы пребывает в аппарате в течение времени t и t+dt. Функция b (t) называется внутренней функцией распределения частиц потока по возрастам и ее принято обозначать I (t).

Формы кривых F (I)у Е (/) и / (t) для потоков различного типа приведены в работах [2, 5]. Большинство реальных систем, за исключением потоков с неоднородностями типа застойных зон, байиасирования, рециркуляции и т. п., по неравномерности распределения времени пребывания занимают промежуточное положение между двумя крайними идеальными системами: системой идеального вытеснения (поршневой поток) и системой идеального перемешивания. В потоках поршневого типа частицы среды проходят один и тот же путь с одинаковой скоростью, так что время пребывания всех элементов среды в аппарате одно и то же. Система идеального перемешивания характеризуется тем, что частицы, поступающие в аппарат извне, в каждый данный момент времени мгновенно распределяются по всему объему аппарата равномерно.

Кроме возраста частицы t* и времени ее пребывания в аппарате /, каждую частицу потока можно оценить отрезком времени t' между моментом, соответствующим возрасту /*, и моментом выхода частицы из аппарата:

Эта временная характеристика потока называется распределением времени ожидания до выхода из аппарата и выражается в виде функции распределения Ф' (t). Плотность распределения времени ожидания рассчитывается по формуле (t)=d4^r (t)/cU.

К наиболее важным параметрам, связанным с данными функциями распределения, в первую очередь следует отнести средние характеристики этих распределений: среднее время пребывания потока в аппарате 1 средний возраст частиц ?*; среднее время ожидания V и общее среднее время пребывания t₀, получающееся усреднением времени пребывания всех частиц внутри системы. Для определения указанных параметров необходимо рассмотреть систему в произвольный фиксированный момент времени /₀, относительно которого следует начать счет времени, т. е. принять t₀—0. Частицы, содержащиеся в системе, вошли в нее до момента t₀. За период времени от t₀—Ы до t₀ в систему вошло количество потока, равное Qbt, где Q — объемная скорость потока. Доля F (/) этого количества имеет время пребывания меньше, чем t, п, таким образом, уже покинула систему к рассматриваемому моменту времени. Отсюда общий вклад в систему к моменту ?₀=0 за счет предыдущего периода от t— Ы до t составит объем [1— F (г)| QM. Полный объем системы V в этот момент времени равен сумме всех элементарных вкладов за счет нсей предыстории системы.

Интегрирование выражения (4.3) по частям дает.

Таким образом, независимо от вида функции распределения среднее время пребывания потока в аппарате равно отношению объема аппарата, занимаемого потоком, к объемной скорости потока.

Для остальных функций определим нормированные функции распределения:

а также средний возраст и среднее время ожидания до выхода частиц системы [41

где oj _ дисперсия распределения. Из (4.2) следует, где i₀ — среднее время пребывания, полученное осреднением времени пребывания всех частиц впутри~системы. С учетом (4.4) и (4.5) можно записать: f₀=74-oJ/7, т. е. в общем случае t₀=?t. Это неравенство свидетельствует о том, что среднее время пребывания потока в аппарате I есть результат осреднения времени пребывания не по всем частицам системы, а только по тем, которые или входят, или покидают ее.

С точки зрения однородности распределения времени пребывания все реальные системы можно разделить на две группы: системы, в которых среднее время пребывания частиц в различных точках потока приблизительно одинаково, и системы с ярко выраженной неоднородностью распределения среднего времени пребывания. К последним относятся потоки с застойными зонами, проскоками, байпасировапием п другими неоднородностями возрастных характеристик в объеме системы.

Выражение «застойная зона» — понятие условное [5, 81. Обычно к этим зонам относят объемы системы, в которых среднее время пребывания вещества в 3—10 и более раз превышает среднее время пребывания основного потока. Характерной особенностью функций распределения времени пребывания систем с застойными зонами является длинный устойчивый «хвост». В процессах массообмена в насадочных колоннах такие области представляют собой мертные зоны, т. е. практически нерабочие объемы аппарата.

Аналогично тому, как в реальных системах отсутствуют идеальные застойные зоны, в них не может быть и мгновенного байпасирования, поскольку время прохождения сосуда элементами среды конечно. Практически, если среднее время пребывания некоторой части системы составляет 0,1—0,3 от времени пребывания основного потока, то считается, что система содержит байпасный поток.

В основе обоих типов неоднородностей лежит по существу одно и то же физическое явление — движение отдельных частей потока обособлено друг от друга с различными объемными скоростями. Поэтому одна и та же по структуре система может рассматриваться, с одной стороны, как система с застойными зонами, а с другой — как система с байпасированием в зависимости от того, какая область потока считается рабочей, основной.

Эффективным средством для выявления в потоках различного типа неоднородностей являются функции интенсивности, которые вводятся в связи с рассмотрением потока частиц на выходе из аппарата с позиций теории массового обслуживания.

Нестационарный пуассоновский поток событий и функция РВП. Рассмотрим абстрактный поток случайных событий, удовлетворяющий следующим условиям (6): вероятность наступления более одного события на промежутке времени (t, пренебре жимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события (гипотеза ординарности потока); вероятность наступления к событий в течение промежутка времени (г, Нт) не зависит от того, сколько событий наступило до момента времени /, т. е. появление того или иного числа событий на непересекающихся отрезках времени взаимно независимы (гипотеза отсутствия последействия); вероятность наступления определенного числа событий па данном промежутке времени зависит не только от длины промежутка, но и от его положения на оси времени (гипотеза нестационарности потока). При этом основной числовой характеристикой потока является мгновенная плотность или интенсивность потока, т. е. предел отношения среднего числа событий на участке времени (/, t—bt) к длине этого участка, когда последний стремится к нулю:

где т (/) — математическое ожидание числа событий на участке (О, t).

Определенный таким образом поток случайных событий носит название нестационарного пуассотвского потока. Для такого потока число событий, наступающих на участке (0, /), подчиняется закону Пуассона:

где P_k (/₀, t) — вероятность наступления к событий на интервале (*<�и t)i ^а — математическое ожидание числа событий на этом интервале, равное.

Ввиду нестационарности потока величина a_tо, зависит не только от длины промежутка (?₀, /), но и от его положения t₀ на оси времени.

Найдем теперь для нестационарного пуассоновского потока закон распределения промежутка времени т между соседними событиями. Пусть первое из двух соседних событий наступило в момент t₀. Искомый закон распределения F_t% (t) есть вероятность того, что следующее событие наступит до момента t:

Пусть Р (*> t) — вероя! Ность того, что на интервале от t₀ до t₀—t не появится ни одного события. Тогда соотношение (4.7) можно представить в виде F_(o (t)=P (т < /)=1— Р (т ^ t). Для подсчета Р (т t) можно воспользоваться законом Пуассона (4.6) при к—0;

Дифференцируя это равенство, найдем плотность функции распределения

В частном случае при *_о=0 будем иметь.

Покажем теперь, что полученное выражение для плотности функции распределения пуассоновского потока в точности совпадает с функцией распределения времени пребывания частиц гидродинамического потока в технологическом аппарате. Допустим, что в момент /=0 все частицы в поперечном сечении потока жидкости или газа на входе в аппарат удалось каким-либо способом пометить. По физическому смыслу поток случайных событий, состоящий в появлении меченых частиц на выходе из аппарата, удовлетворяет всем перечисленным выше гипотезам (ординарности, отсутствия последствия и нестационарности). Доля частиц возраста t, которые покидают аппарат в течение промежутка времени (t, t+dt), равна X (/) Л, где X (/) — функция интенсивности рассматриваемого потока. Составим материальный баланс для частиц, покидающих аппарат. С одной стороны, по смыслу^{-кривой} доля частиц па выходе из аппарата с возрастом, лежащим между t и t—dt, равна Е (t)dl или в объемных единицах — QE (/) dt, где Q — объемный расход среды через аппарат. С другой стороны — то же количество равно количеству потока VI (/), которое не покинуло систему до момента t (V — объем системы), умноженному на долю потока возраста t, которая покипет аппарат в течение следующего промежутка времени (/, t+dt)_% и, как уже упоминалось, определяется как X (t) dt. Таким образом, можно записать QE (t) dt — VI (t) X (/) dt_} откуда.

Интегрируя последнее соотношение, получим равенство, аналогичное (4.8):

Из сказанного следует, что любой непрерывный объект химической технологии, в котором происходит физико-химическая переработка потоков жидких, газообразных или сыпучих сред, можно рассматривать как пуассоновскую систему с точки зрения распределения частиц потока по времени пребывания в аппарате.

По физическому смыслу X (t) можно рассматривать как меру вероятности выхода («гибели») частицы из аппарата, которая находилась в нем в течение времени t. Таким образом, Х-функция для аппарата идеального перемешивания должна быть постоянной.

Рис. 4.1. Функции интенсивности для потоков различного типа.

• 1 — поршневой поток;
• 2 — поток с застойными зонами;
• 3 — поток с байпасированием;
• 4 — идеальное перемешивание;
• 5_% в — потоки произвольной структуры

величиной, так как вероятность выхода частиц из такой системы одинакова для всех частиц. В самом деле, если обозначить через т время пребывания частицы в аппарате идеального перемешивания, то из закона Пуассона (4.6) для вероятности Р (* !> t) имеем Р (т ^ 2)=ехр (— X*). Функция распределения F (t) примет вид.

Дифференцируя, получим плотность функции распределения или ^-функцию.

где Х=1/?, т. е. для аппарата идеального перемешивания реализуется показательный закон распределения.

При идеальном вытеснении все частицы потока покидают аппарат в момент времени [=V/Q_y и поэтому функция интенсивности графически изображается в виде отрезка прямой, параллельной оси ординат и проведенной из точки 0=1, где 0 — tИ на ось абсцисс (рис. 4.1). Функции интенсивности произвольных потоков без ярко выраженной неравномерности в средних характеристиках возрастного распределения располагаются между двумя взаимно перпендикулярными прямыми, соответствующими Х-функциям идеальных систем. Возрастающий характер этих функций объясняется тем, что чем дольше часть жидкости остается в аппарате, тем больше вероятность ее выхода иэ него.

Когда главная (проточная) часть потока выходит из аппарата, то будет возрастать Х-функция и для системы с застойными зонами. После выхода основной массы частиц из проточных зон вероятность покинуть систему для оставшихся частиц уменьшается, так как большинство их принадлежит застойным зонам. Таким образом, функция интенсивности не будет возрастать неограниченно, а, пройдя максимум, начнет уменьшаться (рис. 4.1). С течением времени частицы среды, попавшие в застойные зоны, постепенно начнут покидать систему. При этом чем дольше они будут оставаться в аппарате, тем больше будет вероятность их выхода из системы, т. е. Х-функция, пройдя через минимум, начнет неограниченно возрастать.

Характер функций интенсивности для потоков с байпасированием объясняется аналогичным образом, при этом меняются лишь относительные объемы проточной (байпасной) и застойной (в данном случае основной) частей системы (см. рис. 4.1).

Внешний вид Е- и /-функций не всегда дает однозначный ответ о наличии тех или иных неоднородностей в системе. Количественное определение параметров неоднородностей по этим функциям при неизвестном среднем времени пребывания потока также сопряжено со значительными трудностями. Главное достоинство функций интенсивности заключается в том, что с их помощью сравнительно просто и наглядно устанавливается наличие в системе тех или иных неоднородностей потока, после чего возможно количественное определение соответствующих параметров.

Ниже будет показано (см. § 4.3), что еще более чувствительна к неоднородностям гидродинамической структуры потоков в аппаратах и более удобна в практических расчетах х-функция, которая определяется как линейная комбинация Х-функции и ее логарифмической производной:

Особенности экспериментального анализа РВП. Количество информации, которое несет в себе функция распределения, зависит от того, как производится анализ возрастов частиц в системе. Так, функция распределения, полученная на выходе из аппарата, несет в себе информацию более полную, чем любая функция распределения, полученная в произвольной внутренней точке системы. Однако информации кривой распределения па выходе иногда оказывается недостаточно для расчета системы, в которой происходят нелинейные физико-химические превращения (например, при расчете конверсии для химической реакции порядка выше первого). Такая задача становится разрешимой, если информацию о распределениях, полученную на выходе системы, дополнить возрастными характеристиками потока в каждой внутренней точке системы или исследовать распределение частиц по траекториям.

Для систем сравнительно простой геометрии (например, ламинарный или турбулентный поток в трубе) можно аналитически рассчитать неравномерность распределения частиц по времени пребывания, исходя из известного профиля распределения скоростей по сечению аппарата. В более сложных случаях для обнаружения возрастной неравномерности элементов потока необходимо каким-либо способом пометить частицы в момент их входа в аппарат, а затем, анализируя меченые частицы, произвести их распределение по возрастам. Обычно это осуществляется введением в поток небольшого количества индикатора, чтобы не нарушить общую гидродинамическую картину течения жидкости (газа), и затем последующим анализом концентрации потока в определенном месте системы.

Методы экспериментального определения функций распределения делятся на две группы: методы нахождения временных распределений и методы нахождения пространственных распределений. Временной спектр отражает сортировку частиц по характерным отрезкам времени в какой-либо одной точке системы. Пространственный спектр распределения есть результат мгновенного анализа концентрации индикатора в разных точках по объему аппарата. Симметричный по длине аппарата пространственный спектр распределения приводит к асимметричному временному спектру на выходе из аппарата.

В качестве возмущений на входе по концентрации чаще всего используют импульсное (в виде S-функции) и ступенчатое (в виде функции единичного скачка). Кривые отклика на эти возмущения представляют собой непосредственно практическую реализацию теоретических функций распределения Е и I. В частности, кривая отклика на импульсное возмущение, называемая С-кривой, есть практическая реализация^{-функции} (С (t)=E (/)), а /-функция может быть получена из кривой отклика системы на ступенчатое возмущение (^-кривая) из соотношения И (t)=i—F (/). В практических расчетах удобнее пользоваться нормированными функциями С, Е, F и /, аргументом которых является безразмерное время b=tlt: C (V)=iC (t) Е (0)=(Е (/); F (0)=F (/); /(6) =.

=11 (t).

Основные формулы взаимосвязи между нормированными функциями I (в), Е (б), F (б) и С (б) имеют вид.

Заметим, что X (6)=А (/), так что формула (4.9) в нормированных функциях принимает вид.

Расчет конверсии с учетом РВН. Знание Е- или С-кривой для конкретного технологического аппарата и кинетики линейного процесса (например, скорости химической реакции первого порядка) однозначно решает вопрос о глубине превращения в данном аппарате.

В самом деле, но смыслу^{-функции} вероятность того, что молекула, вошедшая в реактор, останется там в течение промежутка времени U, t—dt 1, равна Е (t) dt. Пусть р (t) — вероятность того, что молекула возраста t до момента t не вступила в реакцию. Тогда вероятность существования непрореагировавшей молекулы на выходе из аппарата за время t с момента ее входа в реактор есть и (t) Е (t) dt. Интегрируя это выражение по всем возможным значениям времени контакта, получим выражение для средней вероятности проскока, которую по-другому можно определить как отношение концентрации рассматриваемых молекул на выходе из аппарата с к их концентрации на входе с₀:

В нестационарном случае, когда концентрация исходного вещества на входе в реактор непрерывно меняется, в момент t на выходе аппарата появляются молекулы возраста т, которые вошли в него в момент t— т. Поэтому вместо (4.10) будем иметь.

Если в системе между п компонентами протекают N линейнонезависимых химических реакций первого порядка, то вектор состава с (/) == (с₂, с_г,.. ., с_п)^т на выходе из аппарата определится соответствующим интегралом свертки.

Здесь М (0 — матричная экспонента М (г)=ехр [К_гг], являющаяся решением системы кинетических уравнений dc (t)/dt=K_rc, где К_г — матрица кинетических констант. Элемент (t) мат;

трицы М определяет вероятность того, что молекула t-ro компонента, вошедшая в реактор, за время т превратится в молекулу /-го компонента.

Заметим, что в случае нелинейных реакций или значительных температурных неоднородностей внутри объема реактора для расчета глубины превращения изложенным способом информации о распределении времени пребывания частиц в аппарате уже недостаточно. В данном случае важно знать распределение частиц по траекториям, так как вероятности превращений для молекул, находящихся в реакторе одинаковое время, но двигавшихся по разным траекториям и, следовательно, находившихся в разных температурных и концентрационных условиях, неодинаковы (7].

Пусть z (t*) — функция, описывающая положение молекулы на прямой (имеется в виду одномерный случай) в зависимости от времени /*, отсчитываемого с момента ее входа в аппарат. Для определения состава потока на выходе из аппарата необходимо суммировать вероятности по всем возможным траекториям, принадлежащим некоторому множеству Т _а функционального пространства (7):

Трудности вычисления этого бесконечномерного интеграла и входящих в него подынтегральных функций очевидны. Поэтому в данном случае расчет конверсии более целесообразно вести на основе дифференциальных операторов, когда одпа часть оператора (линейная часть) отражает гидродинамическую структуру потока в аппарате, а другая — нелинейный химический процесс.

В этом смысле информация о функции распределения времени пребывания в аппарате, по которой строится линейная (гидродинамическая) часть дифференциального оператора, сохраняет свою ценность.

Моменты функции РВИ и моменты весовой функции. Экспериментальную функцию распределения оценивают вероятностными числовыми параметрами, которые делятся на два типа: характеристики положения и характеристики формы кривой распределения. К первым относятся такие числовые параметры, как математическое ожидание распределения, мода распределения, плотность вероятности моды, медиана. В качестве характеристик формы обычно служат центральные моменты распределения порядка выше первого: второй момент (дисперсия), третий момент, четвертый и т. д. В табл. 4.1 приведены формулы для определения наиболее часто используемых моментов по экспериментальным функциям отклика на типовые возмущения по концентрации индикатора (здесь V_г — объем реактора; V* — объем введенного индикатора).

Нулевой момент соответствует площади под кривой распределения и для нормированной функции распределения равен единице. Первый момент характеризует среднее время пребывания частиц в аппарате. Второй центральный момент (дисперсия) определяет разброс значений функции распределения относительно среднего времени пребывания. Третий, центральный, момент описывает асимметрию или скошенность функции распределения. Четвертый момент характеризует островершинность или крутизну этой функции и т. д. Указанные моменты используются также при Таблица 4.1.

Формулы для определения моментов по экспериментальным функциям отклика.

экспериментальном определении гидродинамической структуры потоков в аппаратах химической технологии (см. гл. 6).

Касаясь моментных характеристик спектра распределения, необходимо подчеркнуть, что аналогичными характеристиками определяется функция отклика произвольной линейной динамической системы на импульсное возмущение — весовая функция системы К (t, т), где t — текущее время, ах — момент, в который подается импульс. Для системы, характеристики реакции которой не зависят от момента приложения входного сигнала, весовая функция определяется только интервалом между моментами приложения импульса и наблюдения сигнала на выходе, т. е. от «возраста» системы.

Весовая функция играет важную роль в теории линейных динамических систем. С ее помощью осуществляется функциональная связь между произвольными входным и (/) и соответствующим выходным у (t) сигналами системы во временной области.

Для систем, характеризуемых соотношением (4.12), после замены переменных выражение (4.13) примет вид.

Физический смысл этого равенства состоит в том, что величина у (t) в момент t есть сумма значений и (/— т), каждое из которых имеет «вес» К (т). Заметим, что структура соотношения (4.14) полностью повторяет рассмотренный ранее интеграл свертки (4.11), построенный на основе вероятностно-статистических представлений о системе, в которой протекает линейный химический процесс. Требуемое тождество устанавливается сразу, если положить Е (-z)—К (т), а и (t—i)=m (т) с₀ (t—х).

Преобразование Лапласа весовой функции представляет собой передаточную функцию динамической системы.

с помощью которой устанавливается связь между входными и выходными сигналами в области комплексной переменной р

где х (р), у (р) — изображения по Лапласу входного и выходного сигналов.

Подставляя в выражение (4.15) разложение экспоненты в степенной ряд.

получим.

+00.

Число Н_я = J т.*К (т) dx является моментом п-го порядка.

—со весовой функции динамической системы. Из соотношения (4.17) следует разложение передаточной функции W (р) по моментам весовой функции.

откуда видно, что момент п-то порядка может быть найден путем n-кратного дифференцирования передаточной функции системы (4.16): *.

Таким образом, передаточная функция динамической системы или ее дифференциальное уравнение могут быть определены с заданной точностью, если известно достаточное число момептов весовой функции. И, наоборот, если известна передаточная функция, то, раскладывая ее в ряд, можно определить моменты весовой функции системы. Это обстоятельство важно при математическом описании гидродинамической структуры потоков в аппаратах, когда поведение потока с точки зрения времени пребывания его элементов в аппарате отождествляется с поведением некоторой динамической системы так, что функция распределения времени пребывания потока рассматривается как весовая функция этой динамической системы [8) Е (t) = К (t)=C (t).

Трудности математического и экспериментального характера, возникающие при прямом использовании информации о распределении элементов потока по времени пребывания в аппарате, приводят к необходимости перехода к упрощенным представлениям о процессах перемешивания в реальной системе с тем, чтобы явления, вероятностные по своей природе, можно было описать детерминированными методами. Существуют попытки строгого перехода от вероятностно-статистических методов описания реальных систем к детерминированным. Примером может служить построение квазигомогенпой модели потоков в зернистом слое катализатора на основе решения задачи о случайных блужданиях частиц системы (9 J. В большинстве случаев в силу чрезвычайной сложности встречающихся на практике систем вопрос о выборе детерминированного описания процессов, имеющих стохастическую природу, решается иным путем.

Основываясь на специфических допущениях о физической картине явлений, можно с помощью методов детерминированного описания по-разному истолковывать природу неравномерности распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате, выдвигая определенную модель процесса 11, 10, 111. Так, широко распространенная диффузионная модель базируется на предполагаемой аналогии между явлениями, порождающими возрастную неравномерность элементов системы, и явлениями чисто диффузионного характера [51. Другая, не менее распространенная модель — модель ячеечного типа, — основана на представлении реальной системы в виде последовательности ячеек идеального перемешивания [51.

Представление потока в виде цепочки ячеек идеального перемешивания при наличии обратного потока приводит к ячеечной модели с обратным потоком, занимающей промежуточное положение между диффузионной и ячеечной моделями [12]. Наконец, стремление более полно учесть разнообразные причины, вызывающие неравномерность времени пребывания вещества в аппарате, привело к появлению большой группы комбинированных моделей [5, 131. Обладая большим числом степеней свободы, чем модели диффузионная, ячеечная и обратного перемешивания, комбинированные модели позволяют путем увеличения числа определяющих параметров, практически с любой желаемой степенью точности описать характер функции распределения с учетом специфических причин, обусловливающих неравномерность этого распределения. Конечно, для практики необходим разумный компромисс между числом степеней свободы, определяющим сложность математической модели, и необходимой степенью точности представления функции распределения времени пребывания.