Непараметрические коэффициенты корреляции

Коэффициент корреляции рангов Спирмена

Коэффициент корреляции рангов, предложенный К. Спирменом, относится к непараметрическим показателям связи между переменными, измеренными в ранговой шкале. При расчете этого коэффициента не требуется никаких предположений о характере распределений признаков в генеральной совокупности. Этот коэффициент определяет степень тесноты связи порядковых признаков, которые в этом случае представляют собой ранги сравниваемых величин. Правила ранжирования варьирующих величин были описаны выше (глава 1).

Величина коэффициента линейной корреляции Спирмена, как и в случае коэффициента корреляции Пирсона, также лежит в интервале +1 и -1. Он, как и коэффициент Пирсона, может быть положительным и отрицательным, характеризуя направленность связи между двумя признаками, измеренными в ранговой шкале.

В принципе число ранжируемых признаков (качеств, черт и т. п.) может быть любым, но сам процесс ранжирования большего, чем 20, числа признаков затруднителен. Возможно, именно поэтому таблица критических значений рангового коэффициента корреляции рассчитана лишь для сорока ранжируемых признаков (п < 40, табл. 12 Приложения). В случае использования большего, чем 40, числа ранжируемых признаков, уровень значимости коэффициента корреляции следует находить по табл. 13 Приложения для коэффициента корреляции Пирсона.

Ранговый коэффициент линейной корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:

где п — количество ранжируемых признаков (показателей, испытуемых).

При подсчете рангового коэффициента корреляции каждая из двух коррелирующих между собой переменных вначале ранжируется. Затем ранги, проставленные каждой варианте первой переменной, вычитаются из соответствующих рангов, проставленных каждой варианте второй переменной. Каждая разность возводится в квадрат, и затем все разности суммируются. Получается величина, обозначенная как? D², — сумма квадратов разностей рангов.

В том случае, если в столбцах встречаются одинаковые ранги, то формула усложняется. Модификация формулы (9.15) в общем случае такова:

В числитель формулы (9.15) вносятся дополнительные слагаемые. Если в первой переменной встречаются одинаковые ранги, то дополнение таково:

где т — число одинаковых рангов, подсчитанных для первой переменной х.

Дополнение для второй переменной Y выглядит следующим образом:

где k — число одинаковых рангов, подсчитанных для второй переменной у.

Если имеются две группы одинаковых рангов для какойлибо переменной, то в формулу (6.15) добавляется величина D₃.

где т — число одинаковых рангов в первой группе рангов; с — число одинаковых рангов во второй группе рангов (тис могут быть равными и одинаковыми).

Подчеркнем, что в одном ряду проранжированных чисел может быть не две, а три и большее число групп одинаковых рангов. В этом случае формула (9.15) еще больше усложняется, в нее добавляется соответствующее количество величин (ЛГ³ — N). Однако, как будет показано ниже, учет добавок в принципе не обязателен, поскольку вносит изменение в величину коэффициента корреляции на уровне одной или двух тысячных, что является очень малой величиной.

Задача 9.6. Психолог, используя тест умственного развития (ШТУР), проводит исследование интеллекта у 12 учащихся 9 класса. Одновременно с этим он просит учителей литературы и математики провести ранжирование этих же учащихся по показателям успеваемости по этим предметам. Задача заключается в том, чтобы выяснить, как связаны между собой объективные показатели умственного развития (данные ШТУР) и экспертные оценки учителей?

Решение. Экспериментальные данные (т.е. проранжированиые величины всех трех переменных) этой задачи и дополнительные столбцы, необходимые для расчета коэффициента корреляции Спирмена, представим в табл. 9.5.

Таблица 9.5

В этой таблице проставлены ранги, а не значения шкал по методике ШТУР, и не «сырые» оценки по математике и литературе, а их ранги.

Ранги для методики ШТУР проставлялись следующим образом: поскольку в методике ШТУР несколько шкал, то результаты по всем шкалам для данного испытуемого суммировались, а затем полученные величины ранжировались, но уже по всем испытуемым.

Ранги по предметам проставлялись следующим образом: все оценки за четверть по каждому предмету суммировались отдельно для каждого учащегося, и, но полученным суммам проставлялись ранги уже всем учащимся, но отдельно по каждому предмету.

Прежде всего необходимо проверить правильность ранжирования во втором, третьем и четвертом столбцах таблицы. Суммирование в каждом из этих столбцов дает одинаковую сумму — 78.

Проверяем по расчетной формуле (1.1). Проверка дает:

В пятом и шестом столбцах табл. 9.5 приведены величины разности рангов между экспертными оценками психолога по тесту ШТУР для каждого ученика и величинами экспертных оценок соответственно по математике и литературе, поставленных учителями. Сумма величин разностей рангов должна быть равна нулю. Суммирование величин D в пятом и шестом столбцах дало искомый результат, т. е. сумму, равную нулю. Следовательно, вычитание рангов проведено правильно. Подобную проверку необходимо делать каждый раз при проведении ранжирования.

Подчеркнем, что в этом примере коэффициент корреляции Спирмена между экспертными оценками по литературе и, но математике не вычисляется.

Теперь, прежде чем начать подсчет по формуле (9.16), необходимо рассчитать поправки на одинаковые ранги для второго, третьего и четвертого столбцов табл. 9.5.

В нашем случае во втором столбце таблицы одна группа из двух одинаковых рангов, следовательно, т = 2, и, но формуле (9.17) величина поправки D_x будет равна.

В третьем столбце таблицы одна группа из трех одинаковых рангов, следовательно, k = 3, и по формуле (9.18) величина поправки ?>₂ будет равна.

В четвертом столбце таблицы три группы, но три одинаковых ранга (три 2, три 5, три 11) и два ранга по 7,5, следовательно, по формуле (9.18) величина поправки Ц₃ будет равна:

Отмстим, что в некоторых руководствах формула расчета коэффициента ранговой корреляции несколько иная — добавки находятся в знаменателе, а не в числителе.

Прежде чем приступить к решению задачи, напомним, что психолог выясняет два вопроса — как связаны величины рангов по тесту ШТУР с экспертными оценками по математике и по литературе. Именно поэтому расчет придется проводить дважды.

Считаем первый ранговый коэффициент р_эмп с учетом добавок по формуле (9.16). Подчеркнем, что поправки D₃ в этом случае нет. Получаем:

Подсчитаем без учета добавки:

Как видим, разница в величинах коэффициентов корреляции оказалась очень незначительной.

Считаем второй ранговый коэффициент р_эмп: с учетом добавок по формуле (9.16). Подчеркнем, что добавки D₂ в этом случае нет. Получаем:

Подсчитаем без учета добавки:

И опять различия оказались очень незначительны.

Поскольку число рангов в обоих случаях расчета одинаково, по табл. 12 Приложения находим критические значения при лг = 12 сразу для обоих коэффициентов корреляции. В стандартной форме записи получаем следующее:

Откладываем первое значение р_эмп на «оси значимости»:

В первом случае полученный коэффициент ранговой корреляции находится в зоне значимости. Поэтому психолог должен отклонить нулевую 7/q гипотезу о сходстве коэффициента корреляции с нулем и принять альтернативную Нj о значимом отличии коэффициента корреляции от нуля. Иными словами, полученный результат говорит о том, что чем выше экспертные оценки учащихся по тесту ШТУР, тем выше их экспертные оценки по математике.

Откладываем второе значение р_эмп на «оси значимости»:

Во втором случае коэффициент ранговой корреляции находится в зоне незначимости. Поэтому психолог должен принять нулевую Н₀ гипотезу о сходстве коэффициента корреляции с нулем и отклонить альтернативную Н_{ о значимом отличии коэффициента корреляции от нуля. Иными словами, полученный результат говорит о том, что экспертные оценки учащихся, но тесту ШТУР нс связаны с экспертными оценками по литературе.