Авторегрессионная модель. 
Теория вероятностей и математическая статистика

Для данного временного ряда далеко не всегда удается подобрать адекватную модель, для которой ряд возмущений г, будет удовлетворять основным предпосылкам регрессионного анализа, в частности, не будет автокоррелирован.

До сих пор мы рассматривали модели вида (14.5), в которых в качестве регрессора выступала переменная / — «время». В настоящее время достаточно широкое распространение получили и другие регрессионные модели, в которых регрессорами выступают лаговые переменные, т. е. переменные, влияние которых в регрессионной модели характеризуется некоторым запаздыванием. Еще одним отличием рассматриваемых в этом параграфе регрессионных моделей является то, что представленные в них объясняющие переменные являются величинами случайными.

Авторегрессионная модель р-го порядка имеет вид.

где Ь₀, Ь,…, Ь_р — некоторые константы.

Она описывает изучаемый процесс в момент t в зависимости от его значений в предыдущие моменты t — 1, t — 2,…, t — р.

Если исследуемый процесс x_t в момент t определяется лишь его значениями в предшествующий период t — 1, то рассматривают авторегрессионную модель 1-го порядка (марковский случайный процесс).

О Пример 14.7. В табл. 14.5 представлены данные, отражающие динамику курса акций некоторой компании (дсн. ед.).

Таблица 14.5.

Используя авторегрессионную модель 1-го порядка, дать точечный и интервальный прогнозы среднего и индивидуального значений курса акций в момент L = 23, т. е. на глубину один интервал.

Решение. Попытка подобрать к данному временному ряду адекватную модель вида (14.5) с линейным или полиномиальным трендом оказывается бесполезной.

В соответствии с условием применим авторегрессионную модель вида (14.14). Получим (аналогично примеру 14.2).

Найденное уравнение регрессии значимо на 5%-ном уровне по Е-критерию, так как фактически наблюдаемое значение статистики F = 24,32 > F₀, 05;i;i9- 4,35. Применение критерия Дарбина — Уотсона свидетельствует о незначимой автокорреляции возмущений e_t = y_t-y_t (рекомендуем читателю убедиться в этом самостоятельно).

Вычисления, аналогичные примеру 14.5, дают точечный прогноз по уравнению (14.15): ^₌₂з ⁼ 284,0 + 0,7503 • 1213 = 1194,1 и интервальный на уровне значимости 0,05 для среднего и индивидуального значений — 1046,6 < y_t=23 < 1341,6; 879,1 < y*_Q=23 < 1509,1.

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение курса акций данной компании на момент t = 23 будет заключено в пределах от 1046,6 до 1341,6 (ден. ед.), а его индивидуальное значение — от 879,1 до 1509,1 (ден. ед.). ?

В данной главе отражены лишь некоторые вопросы (элементы) анализа временных рядов. С более подробным их изложением можно ознакомиться, например, по [3], [26], а с анализом временных рядов на компьютере — [34].