Методы анализа стационарных режимов

Стационарный режим является одним из основных режимов работы электронных устройств. Основные показатели и характеристики устройств в этом режиме определяются путем анализа их реакции на испытательные сигналы, являющиеся обычно периодическими функциями времени. При этом количественная оценка показателей требует, как правило, расчета комплексных амплитуд отдельных спектральных составляющих в выходном отклике, поскольку разработчиков в первую очередь интересует спектральный состав в различных точках схемы, а не форма сигналов. Поэтому методы анализа стационарных режимов часто относят к спектральным методам анализа [1].

Для расчета стационарного режима могут быть использованы традиционные методы анализа нелинейных цепей. Например, для математической модели анализируемого устройства в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений путем их численного интегрирования одним из известных методов при нулевых начальных условиях на достаточно большом интервале времени можно определить переходный процесс вплоть до установившегося режима. Однако такой подход требует больших затрат машинного времени на расчет переходного режима, который не дает полезной информации. Чтобы сократить (или исключить) из расчета стадию переходного процесса, необходимо задать соответствующие начальные условия, что в большинстве случаев весьма затруднительно. Поэтому для анализа стационарного режима разработаны и широко используются методы, которые существенно сокращают время расчета переходного процесса или вообще не требуют интегрирования дифференциальных уравнений.

Поисковые методы. При поисковых методах анализа определяется такой вектор начальных состояний, который при интегрировании системы дифференциальных уравнений цепи (например, в форме Коши) позволяет сразу получить параметры стационарного периодического режима (минуя расчет переходного процесса). Суть метода состоит в представлении искомого решения в виде вектора x (f)=x (f, С], с₂, …, су), который при некоторых начальных условиях с, (г=1, 2, 3,…, г) обращает исходную систему дифференциальных уравнений в систему тождеств и удовлетворяет краевым условиям x (t) = x (J: + Т), где Т — период рассматриваемого процесса. Начальные условия с, находятся путем минимизации вектор-функции невязки, являющейся в общем случае функцией как времени, так и параметров с;.

где х (0) = (c_t, с₂, …, с_г) — вектор варьируемых начальных условий при t = 0.

Для минимизации (10.4.1) можно использовать метод Ньютона или методы нелинейного программирования.

Рассмотрим особенности минимизации (10.4.1) методом Ньютона, полагая, что исследуемая система находится под периодическим воздействием с периодом Т и описывается системой дифференциальных уравнений в форме Коши.

где х (?) — m-мерный вектор состояний системы; f — m-мерная Г-периодическая вектор-функция, непрерывная, но переменным t их и имеющая непрерывную первую производную по х для всех х приоо < t < оо.

При численном интегрировании исходное уравнение.

(10.4.2) преобразуется к виду.

где х₀ = х (0); I — единичная матрица; «-1» — символ обратной матрицы;

Таким образом, итерационный процесс нахождения начальных условий для периодического режима состоит в вычислении F (x₀0= х*(7) и F'(X (/) на каждом шаге итерации.

Для вычисления F (x^), F'(x₀0 в 111 приведены соотношения, полученные с использованием неявных методов Эйлера, и алгоритм нахождения вектора начального состояния для периодического стационарного режима.

При использовании этого метода большую роль играет априорная информация [34], которую можно получить либо на стадии предварительного изучения анализируемого устройства более простыми, но менее точными методами, либо на основе опыта, накопленного при анализе подобного класса систем. Можно также предварительно на нескольких периодах проинтегрировать (10.4.2).

Метод гармонического баланса. Методы, позволяющие получить параметры периодического режима, минуя этап интегрирования дифференциальных уравнений, как правило, основаны на возможности представления решения тригонометрическим многочленом того или иного вида.

Проиллюстрируем метод на примере анализа обобщенной нелинейной модели (см. п. 9.9), описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений.

где Z = [z_qr(p), (q, г = 1, 2, 3, N) — квадратная матрица линейного 2Л^г-полюсника; р = d/dt е, i — Димерные векторы входных воздействий и искомых токов, протекающих через зажимы нелинейного многополюсника; v|/(i) — iV-мерпая вектор-функция напряжений на зажимах нелинейного многополюсника; v|/^(i) — аналитическая зависимость мгновенного значения напряжения на q-x зажимах нелинейного многополюсника от токов, протекающих через них; причем i = i (?), е=е (?), e_q(t) = e_q(t+T) = S (?^_wcosmco^ - Е*_т$птЫ)_у m = 0, 1, …, M; Е^_т, Ef_jm — соответственно амплитуды косинусной и синусной составляющих m-гармоники e_q(t) Т = 2тс/со — период входного воздействия.

Составление системы уравнений. Искомые токи представим в виде усеченного ряда Фурье:

где Ц ь и Ц _k — соответственно косинусная и синусная составляющие k-и гармоники тока через q-e зажимы; К > М, k = 0_} 1,…, К.

Подставим i (?) с учетом (10.4.5) в (10.4.4). После соответствующих преобразований получим систему уравнений, левая и правая части которых представляют собой сумму косинусных и синусных составляющих с частотами kco. Приравняв коэффициенты при coskcot и sin&co?, получим систему уравнений.

где <7 = 1,2,… N;l= 1,…, К ц>_(/г1 = argz_qr О'/со); Y_qh /*, - нелинейные функции амплитуд искомых токов;)/*₀ = 0.

Таким образом, учитывая К гармоник в токах через зажимы нелинейного многополюсника, можно получить систему из N (2K + 1) нелинейных уравнений (10.4.6) с N (2K+i) неизвестными, которую решить проще, чем исходную систему (10.4.4).

Погрешность решения. Погрешность обусловлена тем, что при составлении уравнений гармонического баланса не учитывались гармонические составляющие токов с номерами выше К. Для ее оценки будем полагать, что равенство нулю гармоник при / >К вызвано включением в исходную цепь линейного 2Л/^,-полюсника с частотной характеристикой, удовлетворяющей равенству z_qr(jl 0. Матрица сопротивлений такого многополюсника может быть представлена выражением.

Если уравнения гармонического баланса составить, аппроксимируя линейный оператор Z (p) оператором Z~(p) в соответствии с (10.4.7), то погрешность получаемого при этом решения можно оценить с помощью соотношений, приведенных в работе 111.

Метод гармонического баланса применяется при анализе резонансных усилительных каскадов, используемых в радиоаппаратуре и многих устройствах систем автоматического регулирования. В этом случае задача отыскания параметров периодического режима существенно упрощается, так как можно учитывать только первую гармонику токов. Решая уравнения гармонического баланса методом последовательных приближений, можно оценить уровень побочных гармоник.

Метод коллокаций. При решении уравнений (10.4.4) методом коллокаций (подстановок) система уравнений для определения косинусных и синусных составляющих амплитуд искомых токов I и /|/ составляется на основе приравнивания левых и правых частей уравнения в ряде точек внутри одного периода основной частоты. Число точек должно быть равным числу амплитуд искомых токов /Ь, 1ъ. Значение найденных амплитуд токов зависит от выбранных значений со^ (точек t_k е [0, 7]).