Понятие о римановой поверхности

Чтобы получить наглядное представление о взаимоотношении ветвей функции ?/"/, заметим" что половинам углов g_k или у* соответствует в плоскости w попеременно то верхняя, то нижняя полуплоскости. Именно, когда мы про* ходим один за другим эти полууглы в направлении против часовой стрелки, начиная с полуугла 0 <^arg z —, то в плоскости w получаем поочередно сначала верхнюю полуплоскость, затем нижнюю.

Представим себе, что мы имеем по п экземпляров верхних и нижних полуплоскостей, которые для наглядности будем предполагать бумажными листами неограниченных размеров. Склеивая тогда верхнюю и нижнюю полуплоскости вдоль отрицательной полуоси (а края вдоль положительной полуоси оставляя свободными), мы получим область Е фиг. 22, соответствующую полууглам, образующим область ^₀. Если теперь ко второму полууглу присоединить следующий, то эти полууглы составят область Yi> которой соответствует в плоскости w область <&, изображённая на фиг. 24. Эта последняя образована нижней и верхней полуплоскостями, соединёнными вдоль по-' ложительной оси, и нам остаётся лишь приклеить к свободному краю нижней полуплоскости новый экземпляр верхней полуплоскости. Получим область, образованную тремя полуплоскостями, соответственно трём полууглам плоскости z. При этом две полуплоскости (верхние), соответствующие первому и третьему полууглам, будут находиться одна над другой. Это отвечает тому факту, что в первом и третьем полууглах функция w = zⁿ принимает одни и те же значения (именно в точках ре^ь и ре ^п, где 0 < а< —J .

Фиг. 25.

Отрицательная полуось третьей полуплоскости и положительная полуось первой будут оставаться свободными (фиг. 25, а, на которой полуплоскости для наглядности деформированы).

Далее, мы можем присоединить в плоскости z четвёртый полуугол, которому должна соответствовать нижняя полуплоскость. Так как третий и четвёртый полууглы вместе образуют область g_vа ей отвечает область Е фиг. 22, состоящая из верхней и нижней полуплоскостей, соединённых вдоль отрицательной полуоси, то мы должны приклеить к свободной отрицательной полуоси третьей (верхней) полуплоскости новый экземпляр нижней полуплоскости. Положительная полуось этой последней останется свободной (фиг. 25,6). Продолжая далее этот процесс присоединения новых полу углов и соответствующих им полуплоскостей, мы дойдём до последнего полуугла, которому будет соответствовать нижняя полуплоскость; её положительная полуось, так же как и положительная полуось первой (верхней) полуплоскости, остаётся свободной. Но последний и первый полууглы вместе образуют область с Yo (фиг. 24, а).

Соединяя эти полууглы, мы, с одной стороны, получим полную плоскость, а с другой — должны будем соединить последнюю (нижнюю) и первую (верхнюю) полуплоскости вдоль положительной полуоси, благодаря чему получим замкнутую я-листную поверхность, называемую римановой поверхностью функции z=[/w.

Заметим, что на нашей модели последнее склеивание не удаётся произвести фактически, так как нижний и верхний полулисты будут разделяться п— 1 лежащими между ними листами. Поэтому последнее склеивание нужно понимать лишь в том смысле, что мы мысленно отождествляем точки свободных положительных полуосей с одинаковыми абциссами.

Имея перед глазами риманову поверхность, легко составить себе полное представление о функции w = zⁿ и ей обратной функции z = 1/w. То обстоятельство, что риманова поверхность имеет п листов, соответствует тому факту, что одно и то же значение w принимается в п различных точках плоскости г, или, иными словами, что каждому значению w соответствует п различных значений z (исключая точки разветвления: w = 0 и w = oo, которым соответствует лишь по одной точке: г=0 и z = оо).

Если точка z, переходя из одного полуугла в другой, опишет замкнутый контур вокруг начала координат, то точка w, переходя из одной полуплоскости на другую и побывав таким образом на всех листах, опишет также замкнутый контур. Оставаясь на римановой поверхности, мы можем любую точку A_t соединить непрерывной кривой с любой другой точкой А₂. Эти две точки, в частности, могут лежать одна над другой, т. е. иметь один и тот же аффикс. Заставляя точку А двигаться вдоль этой кривой от А_г к А₂, мы заставим соответствующую точку z непрерывно перейти от значения z_l9 соответствующего A_lt к значению z₂, соответствующему A_2t т. е. мы можем непрерывным изменением перейти от одной ветви функцииz =у/w к другой. Если, наконец, мы выделим на римановой поверхности, какую-либо область, не содержащую взаимно налегающих частей т. е. не содержащую точек с одинаковыми аффиксами, то, оставаясь в пределах такой области, мы для каждого w будем иметь единственное соответствующее ему значение z, т. е. можем говорить об определённой ветви функции z=y/w (область плоскости z_y соответствующая этой области римановой поверхности, будет областью однолистности функции w=zⁿ).

Аналогичным образом можно построить рнмановы поверхности и для функций z = ln w и z = arcsin w. Для функции z = w построение будет буквально тем же, только здесь верхние и нижние полуплоскости буду^ соответствовать уже не полууглам, а полосам: **</(«)<(* +1)* (*=…, — 2, — 1, 0, 1, 2,…), вдвое более узким, чем первоначальные. Так как среди этих полос нет ни первой, ни последней, которые могли бы граничить между собой, как граничили между собой первый и последний полууглы предыдущего примера, то и среди полуплоскостей не будет ни первой, ни последней, края которых следовало бы склеивать между собой, как мы это только что делали. Риманова поверхность функции z = ln w является бесконечнолистной. Также бесконечнолисгной будет и риманова поверхность функции z = arcsin w; однако связь отдельных листов здесь сложнее, чем в предыдущих случаях. Когда z меняется в области g₀ (фиг. 23, в)_у то, как мы видели, w описывает всю область ?,. Из равенства v = shy cosjc (п. 9 этого параграфа) следует, что знак v совпадает со знаком у, т. е. что заштрихованной полуполосе (.у]>0) соответствует верхняя, а незаштрихованной полуполосе — нижняя полуплоскость плоскости w. Если теперь точка z

будет описывать область g_k: kn — у < R (z) < kn -fу (Л=0,±1 _>=Ь.

±2,…), то точка z — &тт будет описывать область g₀ и именно: верхнюю полуполосу, когда z описывает верхнюю полуполосу области g_k, и нижнюю полуполосу, когда z описывает нижнюю полуполосу области g_k. Но sin (z — &тт)*=(— l)*sinz. Поэтому при k чётном верхней полуполосе области g_k будет соответствовать, как и в случае области g₀, верхняя полуплоскостью, а нижней полуполосе — нижняя полуплоскость; при k нечётном верхней полуполосе будет соответствовать' нижняя полуплоскость, а нижней полуполосе — верхняя. (На фиг. 23, в полуполосы, которым соответствуют верхние полуплоскости плоскости ю, заштрихованы.) Каждая полуполоса граничит вдоль части прямой с одной из трёх полуполос, и притом заштрихованная граничит с незаштрихованными и незаштрихованная с заштрихованными. Отсюда следует, что, присоединяя к полуполосе любую из этих соседних трёх, мы получим область однолистности функции sinz. В самом деле, внутри одной и той же полуполосы sinz принимает разные значения в разных точках; если же одна из двух точек находится в одной, а другая в другой из двух соседних полуполос, то соответствующие точки w = sin z лежат одна в верхней, а другая в нижней полуплоскости ю, т. е. также различны. Мы.

Фиг. 26.

уже знаем область, которую описывает w = sin z, когда z описывает область g₀ (или одну из полос g_k). Остаётся лишь отметить, что парам двух соседних верхних или двух соседних нижних полуполос соответствует одна из областей Е_г или Е_ь фиг. 26: Е_г состоит из верхней и нижней полуплоскостей, склеенных вдоль части действительной оси отf- 1 до + оо, а?_в — из верхней и нижней полуплоскостей, склеенных вдоль части действительной оси от —оо до—1. В самом деле, когда точка z описывает полупрямую z = (2k—1) —|— еохра;

няя знак, меняется от 0 до + оо), по которой граничат полуполосы, то точка ю = sin z = ( — 1)^л-1 ch у должна описывать линию, по которой склеиваются полуплоскости w при k нечётном получаем часть действительной оси от —|— 1 до оо, при k чётном — часть действительной оси от — оо до — 1. Желая получить риманову поверхность функции z = arc sin w_y мы построим для большей наглядности сначала часть этой поверхности, соответствующую верхней полуплоскости z, затем — нижней и, наконец, обе части соединим вместе. Начав с верхней полуполосы области g₀, будем присоединять к ней одну за другой верхние полуполосы, лежащие вправо ог неё; для переменного w мы будем получать при этом поочерёдно то верхние, то нижние полуплоскости, причём они должны скрепляться между собой то вдоль части действительной оси от —1 доfоо, то от —сю до—1. При этом каждый раз будут оставаться свободными части действительных осей между—1 и —|— 1. Кроме того, останется свободной часть от —оо до —1 действительной оси первой (верхней) полуплоскости, соответствующая левому свободному краю верхней полуполосы ?₀. Если мы к этому краю присоединим соседнюю левую верхнюю полуполосу, то к свободной части действительной оси первой полуплоскости придётся приклеить новую нижнюю полуплоскость. Продолжая в плоскости z присоединять одну за другой верхние полуполосы, лежащие слева от начальной, мы должны будем соответственно приклеивать к уже построенной части римановой поверхности всё новые и новые полуплоскости, скрепляя две соседние поочерёдно то вдоль отрезка (— оо, —1), то вдоль отрезка (+ 1, 4″ °°) — В итоге получим часть римановой поверхности функции arcsine, соответствующую верхней полуплоскости z она состоит из бесконечного множества листов, среди которых нет ни первого, ни последнего. На каждом из них остаются свободными (несклеенными) два края отрезка [ —1,-|-1]: один край принадлежит верхней, другой — нижней полуплоскости. Если мы заставим точку двигаться по этой поверхности так, чтобы её проекция на плоскость w описывала круг с центром в начале координат, то точк1 не сможет описать более половины оборота, если радиус круга меньше единицы: она остановится у несклеенных краёв. В случае же, когда радиус круга будет больше единицы, точка будет описывать неограниченное множество кругов, лежащих друг над другом на разных листах. При этом, отправляясь от некоторого начального положения точки и двигаясь всё время в одну и ту же сторону, мы побываем лишь на части листов, соответствующих верхним полуполосам, лежащим, например, вправо (или влево) от некоторой из них; чтобы побывать на всех остальных листах, пришлось бы, вернувшись к начальному положению, двигаться в противоположном направлении.

Совершенно аналогичную структуру, имеет часть римановой поверхности z = arcsinw, соответствующая нижней полуплоскости z (нижним полуполосам). Чтобы получить из этих двух частей всю риманову поверхность, достаточно заметить, что, соединяя две полуполосы, верхнюю и нижнюю, в одну область g_k, мы должны соответствующие им полуплоскости w соединить вдоль отрезка [ — 1, 1 ], тогда получится область Е₁ фиг. 22. Таким образом, мы должны приклеить к каждой полуплоскости первой части римановой поверхности соответствующую ей полуплоскость второй части вдоль остающихся свободными отрезков [— 1, +1]. При этом соответствующими считаются полуплоскости (верхняя и нижняя), отвечающие полуполосам одной и той же области g_k. Заметим, что последние склеивания на модели из бумажных листов (по необходимости ограничиваясь конечным числом их) не удастся фактически провести, так как, склеив два какихнибудь края от —1 до 1, мы создадим преграду для склеивания свободных краёв, находящихся по разные стороны от заклеенного листа. На фиг. 27 представлено схематически склеивание двух соответствующих листов обеих частей римановой поверхности. (Верхняя полуплоскость верхнего листа склеена с нижней полуплоскостью нижнего листа вдоль.

Фиг. 27.

отрезка [ — 1, +1]; вдоль того же отрезка склеены между собой нижняя полуплоскость верхней и верхняя полуплоскость нижней плоскости.).