Неевклидова площадь. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Площадь области d в геометрии Лобачевского определяется, как и в евклидовой геометрии, посредством вписанного в d квадрильяжа и перехода к пределу. Отсюда следует, что для определения неевклидовой площади нужно взять на евклидовом изображении d квадрильяж из окружностей, ортогональных к Г, образовать сумму неевклидовых площадей всех его элементов и перейти к пределу.

Из п. 4 мы усматриваем, что элемент неевклидовой площади имеет выра;

жснис: -г-7=гг, где d<�о — элемент евклидовой площади. Отсюда мы заклю;

I* к1*)*.

чаем, что неевклидова площадь области d, внутренней вместе со своей границей к С?, будет:

Горициклы.

Рассмотрим семейство неевклидовых параллельных между собою прямых, изображаемых на фиг. 50 окружностями, ортогональными к Г в точке а. Их ортогональные траектории изображаются окружностями, касательными к Г в точке а, и называются горициклами.

Легко показать, что неевклидова длина частей неевклидовых прямых, заключённых между двумя определёнными горициклами, будет одна и та же.

Фиг. 50;

для всего семейства неевклидовых прямых, соответствующих одной и той же точке а. Действительно, выполним линейное преобразование, переводящее точку а в бесконечно удалённую. При этом область О перейдёт в полуплоскость, неевклидовы прямые, проходящие через а, перейдут в полупрямые, перпендикулярные к границе Г полуплоскости, два горицикла преобразуются в две прямые, параллельные с Г_ь наконец, неевклидова длина частей неевклидовых прямых, заключённых между двумя горициклами, становится равной неевклидовой длине соответствующих параллельных прямолинейных отрезков, заключённых между параллельными прямыми, откуда вытекает, что эта длина сохраняет неизменное значение для всего семейства.