Теорема Ландау. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Доказательство теоремы Ландау.

Обращаясь теперь к приложениям результата Блоха (§ 1, п. 2), рассмотрим функцию w=f (z), голоморфную внутри круга 1*1 <1 и выпускающую два значения 0 и 1. Построим вспомогательную функцию.

Эта функция F (z) будет голоморфной внутри круга |г|<1, так как данная функция / (z) в этом круге не равна нулю и не равна единице. Кроме того, функция F (z) выпускает значения вида rt 1^П[У~п — п— lJ-f-2mri — целое, т — любое целое), которые образуют в плоскости F множество точек Е.

В самом деле, разрешая уравнение (5) относительно /(г), найдём:

и, следовательно, полагая F (z) равным любому значению множества ?, имели бы:

что невозможно.

Каждая точка плоскости F отстоит от множества точек Е (т. е. от ближайшей точки этого множества) на расстоянии, меньшем b, где Ъ — некогорое абсолютное постоянное, что непосредственно вытекает из равенств:

и.

Предполагая F' (0)ф0, рассмотрим функцию

Для этой функции существует, в силу результата Блоха (§ 1, п. 2), круг с центром в некоторой точке её плоскости постоянного радиуса B_lt сплошь покрываемый её значениями. Следовательно, для функции F (z) будет существовать круг с центром в некоторой точке плоскости F радиуса В_х F (0) |, сплошь покрываемый значениями F (z). Так как этот круг не может содержать точек множества Е, то должно выполняться неравенство:

Последнее неравенство получено в предположении, что /^г'(0)={=0, но если /•^v(0) = 0, то это неравенство подавно справедливо.

Итак, имеем:

где Ci — абсолютное постоянное. Возвращаясь к данной функции /(z), определённой формулой (5'), пользуясь установленным неравенством (6), получим.

где L — символ определённой операции, не зависящей от вида функции /. Последнее неравенство непосредственно приводит нас к теореме Ландау, которая может быть формулирована таким образом:

Если / (z) = аIpzfaoz.