Формула Якоби и Иенсена

Для доказательства теоремы единственности, формулированной в предыдущем пункте, нам придётся воспользоваться одной замеча! ельной формулой, принадлежащей Якоби и Иенсену. Вывод этой формулы будет основан на' известном (гл. V, § 2, п. 5) свойстве голоморфных функций: значение голоморфной функции в центре круга равно среднему арифметическому её граничных значений, т. е.

где fiz) есть функция, голоморфная в круге |г|<�р.

Полагая в формуле (25).

') Blaschke, Leipz. Berichte, 1915, стр. 194: Priwalow, Math. Ann., 1924, стр. 149.

получим:

г. е. указанное свойство остаётся в силе для функций, являвшихся действительными частями голоморфных функций (называемых гармоническими).

Пусть F (г) есть функция, голоморфная в круге |z|s^p, не равная нулю на окружности г =р. Обозначим нули этой функции¹), лежащие внутри круга |z|.

_lf z₂,…, z_n и предположим, что F (0)ф 0. При этих условиях имеет место формула Якоби-Иенсена:

Доказательство. Очевидно, функция.

(причём Ф(z_k) = llmФ (z)J есть голоморфная в круге |z|=^p и нигде не рав- г —^[1] ги

пая нулю. Следовательно, функция f (z) = ln<&(z) будет голоморфной всюду в круге |z|^p. Применяя формулу (25^f) к действительной части функции /(z), получим:

Подставляя в формулу (27) вместо Ф (г) её значение (26), будем иметб; где положено С = ре^[1]1. Остаётся вычислить каждый из интегралов:

г р2.

С этой целью обозначим через г_к=^Г— точку, симметричную с точкой г_к

2_к

относительно окружности |С| = р (гл. I, § 2, п. 5). Когда точка С движется по окружности IС | = р, отношение её расстояний до точек z_k, г сохраняет постоянную величину. В самом деле, имеем:

так как СС≅р². Отсюда выводим:

что и доказывает наше утверждение.

Прологарифмировав последнее равенство (28), получим;

Вследствие соотношения (28') можем написать;

Интеграл, стоящий в правой части равенства (29), немедленно вычисляется, если заметим, что функция 1п (С — z_k) есть голоморфная в круге |С| ^ р, так как точка z_k лежит вне этого круга. Применяя формулу (25'), находим:

и из равенства (29) получим значение искомого интеграла;

Возвращаясь к соотношению (27'), перепишем его таким образом: откуда окончательно получаем:

• [1] Кратный нуль выписывается столько раз, какова его кратность.
• [2] Кратный нуль выписывается столько раз, какова его кратность.