Преобразование декартовых координат

вектор геометрия аналитический плоскость Известно, что положение точки М некоторого пространства V можно однозначно определить, задав координаты x, y и z этой точки относительно некоторой системы координат OXYZ. Выбор системы координат — произвольный. Очевидно, что в одной системе координат XOYZ точка М будет иметь координаты М (x; y; z), а в другой системе X’O’Y’Z' точка М будет иметь другие координаты М (x'; y'; z'). Естественно возникает задача: зная координаты точки М в одной системе координат, выразить через них координаты той же точки М относительно другой системы.

Задача сводится к нахождению трех функций:

позволяющих однозначно определить координаты точки М относительно одной системы координат, зная их относительно другой системы. Если системы XOYZ и X’O’Y’Z' - прямоугольные декартовы системы координат, то формулы перехода от одной системы координат к другой системе имеют вид:

где точка — начало координат новой системы X’O’Y’Z'; - направляющие косинусы углов, составленных единичными векторами новой и старой систем координат. Если система координат определена на плоскости, то формулы преобразования имеют вид:

.

Если, то есть начало новой системы координат совпадает с началом старой системы, то формулы преобразования имеют вид:

и определяют поворот системы.

Если единичные векторы старой и новой систем коллинеарны, то получим преобразование параллельного переноса:

На плоскости преобразования поворота и параллельного переноса имеют вид:

Общее преобразование можно рассматривать как суперпозицию параллельного переноса и поворота системы координат. Справедливо фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две произвольные прямоугольные декартовы системы координат, координаты x, y, z любой точки пространства относительно одной системы являются линейными функциями координат x', y', z' той же точки относительно другой системы.