Основные принципы теории конформного отображения

Принцип сохранения области.

В гл. II, § 4, п. 8 мы видели, что аналитическая функция w=f (z), однолистная в некоторой области О плоскости z_y всегда отображает эту область также на некоторую область Е плоскости w_y причём между точками обеих областей устанавливается взаимно однозначное соответствие. Чтобы распространить это предложение на произвольные аналитические функции, нужно обобщить понятие области. К необходимости такого обобщения мы пришли еще в гл. 11, § 4', когда рассматривали функции z^l е^г и sin г. • Именно в качестве образа плоскости z в преобразовании, осуществляемом посредством этих функций, мы построили многолистные римановы поверхности, образовав их путём склеивания полуплоскостей вдоль соответствующих частей действительной оси. Этот метод образования области изменения аналитической функции из полуплоскостей не годится в общем случае, и его видоизменяют, составляя область из кружков однолистных и многолистных. Ограничиваясь для простоты однозначными функциями, рассмотрим функцию /(г), аналитическую в некоторой области G, и пусть а — какая-либо конечная точка области. Если /' (а) Ф 0, то можно выбрать настолько малую окрестность точки д, что в ней функция /(z) будет однолистна. В самом деле, полагая / (z) = д₀ + л, (z—a)—a₂(z— а)² -|- … (а_х ф 0), выберем р настолько малым, чтобы было: а_{ — 21 д₂1 р — 3 |а₃1 р² — … >0. Тогда, для любых двух точек z_{ й z₂, z_{ Ф z₂, лежащих внутри круга |z—д|<�р, имеем, полагая z_t — а=и г._г — д = С₂:

что и требовалось доказать.

Таким образом, функция w = f{z) отображает круг | z — д)|<�р взаимно однозначно на некоторую область плоскости w, содержащую внутри точку д₀. Если мы теперь опишем круг с центром д₀, лежащий внутри этой области, то ему в плоскости z будет соответствовать некоторая область, лежащая внутри круга | z — <�г|<^р ^и содержащая точку а. Итак, для всякой точки а, в которой /' (а) Ф О" можно найти такую заключающую её область g_a, что функция w=f (z) отобразит эту область взаимно однозначно на некоторый круг с_а плоскости w с центром в точке f (a) = a₀. Предположим теперь, что /' (а) = 0. Тогда в некоторой окрестности этой точки / (z) можно представить в виде:

Полагая: 9(z) = 1 -f-(z— + выберем настолько малую окрестность | z—a р точки а, чтобы в ней было !• _ _ arg р fг) и, следовательно, ф (z) = (z — а)у<�р (z) — {z — а) ?/|<�р (z) e' ^k будет однозначной аналитической функцией, производная которой ф' (z) =

= У'? (г)—(г — а) ь!" -^г>-• Так как ф (а) = 0 и ф'(а)г=1, то ф fz) = (z — а) а₂ (z — а)² —а₃ (^г — а)⁸. По доказанному выше найдётся область^, содержащая точку а, которая функцией С ~ф (г) будет взаимно однозначно отображаться на некоторый круг с'_а с центром в точке ч = 0 и радиусом г . Когда точка С описывает этот круг, точка описывает круг с тем же центром и радиусом /*. При этом каждой точке нового круга (отличной от центра круга) будет соответствовать 6 различных точек круга с'_а, размещённых в вершинах правильного 6-угольника, с центром в начале координат. Когда точка ?

2;

описывает какой-либо сектор раствора — круга с'_а, точка ** описывает полный круг, так что всему кругу с соответствует 6-кратный круг. Мы будем мыслить его как 6 наложенных друг на друга одинаковых кругов, надрезанных вдоль радиусов, направленных по положительной оси и скреплённых вдоль надрезов так, что нижний край надреза нижележащего круга соединяется с верхним краем надреза круга, непосредственно над ним лежащего, а нижний край надреза самого верхнего круга — с верхним краем надреза самого нижнего круга.

Замечая, что w = / (z) = а₀ -ф- a_k [ф (.г)]*==л₀-[-^мы можем утверждать теперь, что для точки а, в которой f'(a) = 0, существует область g_a% заключающая точку а и такая, что преобразование w=f (z) переводит эту область в 6-кратный (или 6-листный) круг с_а с центром в точке а₀=/(а). Соответствие между точками области g_a и точками с_п будет взаимно однозначным. [Для любой точки из g_a, отличной от я, можно указать еще 6—1 точек из той же области, в которых w=f (z) принимает одно и то же значение. Однако, соответствующие точки будут располагаться на разных листах 6-листного круга с_п (друг над другом) и потому должны рассматриваться как различные.].

Покажем теперь, как следует соединять между собой различные простые и кратные кружки с_а, чтобы получить из них многолистную область (риманову поверхность) изменения функции w = f (z). Чтобы установить известный порядок в соединении кружков, вообразим себе неограниченную последовательность областей 6_я(л = 1, 2, 3,…), содержащихся в области G (G_n с: G), вложенных одна в другую (G_n+IcG_a) и аппроксимирующих область G в том смысле, что каждая её точка а, начиная с некоторого я, будет лежать внутри всех G_n. Такую последовательность можно получить, например, подразделяя плоскость z последовательно на квадратики с неограниченно убывающими длинами сторон и объединяя в одну область G_n те квадратики я-го подразделения, которые вместе с непосредственно к ним примыкающими квадратиками того же подразделения лежат внутри G. Так как каждая точка а замкнутой области Gj принадлежит области G, то для неё можно найти область g_a> целиком лежащую внутри G, содержащую внутри точку а, и такую, что функция w=f (z) преобразует g_a ^в простой или многолистный круг с_а с центром в точке f (a) = a₀. По лемме Гейне-Бореля можно указать конечное множество областей g_a, целиком покрывающих Gj. Если они не покрывают области G₂, то, применяя те же рассуждения к замкнутой области G_t — G₂, присоединим к уже выбранным областям конечное число новых, так что расширенное таким образом множество областей g_a% оставаясь конечным, будет покрывать всю область G₂. Продолжая ото г процесс дальше, мы получим счётное множество областей g_a, таких, что любую область О_п покрывает конечное множество областей g_a. При этом мы допустим, для упрощения дальнейших рассуждений, что любые две области g_a% соответствующие многолистцым кругам, не имеют общих точек. Этого всегда можно достичь, так как, во-первых, внутри каждой области G_n содержится лишь конечное множество точек а, в которых /'(а)=0 (в силу свойства единственности аналитических функций), а во-вторых, области g_a могут быть взяты сколь угодно малыми. Перенумеруем теперь области g_a так, чтобы две области с последовательными номерами имели общую часть, и снабдим такими же номерами соответствующие им простые или кратные кружки с_а. Если мы будем последовательно брать области g_a> склеивая между собой те из них, которые имеют общую часть, вдоль этой части (независимо от того, будут ли номера соседними или нет), то мы будем получать области, лежащие внутри G и заключающие при достаточно большом числе областей g_a любую область G_n. Иными словами, области, полученные путём такого склеивания, будут аппроксимировать область G. Всю область G можно рассматривать как образованную путём склеивания бесконечного (счётного) множества областей g_a. Аналогичным образом можно построить над плоскостью w область изменения функции w — f (z). Именно, беря кружки с_а в порядке номеров, мы будем встречать среди них такие, для которых соответствующие области g_a будут иметь общую часть (это, наверное, будет для кружков с соседними номерами, но и не только для них). В силу однозначности функции w=f (z) этой общей части будут соответствовать одинаковые (конгруэнтные) области, на каждом из двух таких кружков. Налагая последние один на другой так, чтобы эти области совпали, склеим кружки вдоль этих областей. Два кружка, для которых области g_a не имеют общей части, не должны склеиваться между собой непосредственно. Однако, любые две области и.

g (ⁿ⁾ (л>/я) соединяются между собой цепью областей: g^^m g<ⁿ из которых каждые две соседние имеют общую часть; поэтому и любые два кружка cW и сбО соединяются между собой цепью кружков с<^Л>, c<^w+1),…, ?(•), из которых каждые два соседних склеены между собой. Увеличивая число кружков, мы будем получать новые и новые обобщённые — многолистные — области, которые все будут содержаться в обобщённой области изменения функции w = f (z) и будут её аппроксимировать в том смысле, что при достаточно большом числе кружков мы получим любую наперёд указанную точку области. Что получаемые нами путём склеивания множества точек действительно можно называть областями (в обобщённом смысле), следует из того, что они обладают двумя характерными свойствами обычных однолистных областей. Во-первых, каждая точка принадлежит множеству вместе с некоторой её окрестностью, причём под окрестностью следует понимать либо простой круг (соответствующая точка называется тогда обыкновенной), либо fc-листный круг (соответствующая точка называется тогда точкой разветвления порядка к— 1)* Во-вторых, любые две точки множества могут быть соединены непрерывной линией, все точки которой принадлежат множеству. Последнее непосредственно следует из существования конечной цепи кружков, соединяющей любые два кружка. Все, что мы до сих пор говорили, может быть распространено без изменения и по отношению к бесконечно удалённым точкам. Именно, в случае, когда а = оо, следует предшествующие разложения писать в виде: f (z) = a_Q—a_kz~^k— -|+ «» в случае, когда /(оо) = а₀ конечное, и в виде:

f (z) = a_/gz^k-~a_k__lz^k~^l -f-… (k^s) в случае, когда / (оо) = со Окончательно мы можем высказать следующий принцип сохранения области: однозначная аналитическая функция отображает область своего определения снова на область (однолистную или многолистную).

Как непосредственное приложение принципа сохранения области рассмотрим теорему о максимальном модуле (гл. V, § 2, п. 5).

Пусть w=f (z) — функция, голоморфная в области О и не равная тождественно постоянному. Когда z описывает достаточно малую область $, окружающую точку z₀ области G, w — f (z) описывает элемент поверхности Римана Д (однолистный или многолистный круг) с центром w₀=f (z₀) с взаимно однозначным соответствием обеих областей (фиг. 104). Следовательно, функция |/(2?)|не может достигать своего максимума в точке z_0y так как в Д имеются точки, более удалённые от начала координат, нежели f (z_Q). Итак, максимум модуля функции f (z), голоморфной в области О, не может достигаться во внутренней точке области.

3а м е ч, а н и е. Доказательство не предполагает, что точка z₀ находится на конечном расстоянии; z₀ может быть бесконечно удалённой точкой при непременном условии, что она внутренняя точка области.

Мы предполагали, что /{z) не есть постоянное. Следовательно, если модуль функции /(z), голоморфной в области G, достигает максимума во внутренней точке, то функция есть постоянное.

Наконец, отметим, что доказательство остаётся в силе, если функция f (z) подчинена в области G более общим условиям:

• 1) f (z) голоморфна в окрестности каждой точки области G,
• 2) f (z) | — однозначная функция в области G.

линия; предположим, что функция w f (z) будет голоморфной всюду внутри Г, включая точки самого контура Г. Допустим, далее, что контур Г с помощью этой фун;