Исследование узлов и систем автоматического регулирования

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра, А и Т на жд транспорте Курсовой проект на тему ИССЛЕДОВАНИЕ УЗЛОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ Выполнил:

Ракина Н.Л.

Екатеринбург

• Введение
• Глава 1. Исследование звеньев САР на ПЭВМ
• Глава 2. Дифференциальные уравнения и основные характеристики звеньев и автоматических систем
• Глава 3. Частотные характеристики динамических звеньев и САР
• Глава 4. Критерии устойчивости САР
• Глава 5. Оценка качества регулирования
• Глава 6. Коррекция автоматических систем
• 6.1 Корректирующая цепь
• 6.2 Скорректированная САР
• Заключение
• Список литературы

Объектом исследования данного курсового проекта является системы автоматического регулирования, их виды, элементарные звенья и их математические модели с теоретическими формулами и характеристиками, устойчивость систем, критерии устойчивости как алгебраические, так и графические.

Система автоматического регулирования (САР) — система, выполняющая управление каким-либо процессом без участия человека.

Существует чрезвычайно большое разнообразие автоматических систем, выполняющие те или иные функции по управлению самыми различными физическими процессами во всех областях техники. В этих системах сочетаются весьма разнообразные по конструкции механические, электрические и др. устройства, составляющие, в общей сложности комплекс взаимодействующих друг с другом элементарных звеньев.

Все автоматические системы можно разделить на два класса:

автоматы, выполняющие определенного рода одноразовые или многоразовые операции. Сюда относятся, например автомат включения освещения, игровой автомат и др.

автоматические системы, которые в течение достаточно длительного времени нужным образом измеряют какие-либо физические величины в том или ином управляющем процессе. Сюда относятся автоматические регуляторы, следящие системы, автоматы, некоторые вычислительные и измерительные приборы.

В настоящем курсовом проекте рассматриваются системы второго класса.

В данном курсовом проекте в соответствии с заданием будут рассмотрены:

— теоретические вопросы систем автоматического регулирования;

система автоматическое регулирование устойчивость

— звенья систем автоматического регулирования, основные функции, характеристики, математические описания замкнутых и разомкнутых систем, произведено исследование определения устойчивости систем;

— вопросы регулирования САР и ее оценки, коррекции автоматических систем с помощью определенных звеньев и видов их включения.

Глава 1. Исследование звеньев САР на ПЭВМ

Возможность замены звеньев их моделями основана на тождественности дифференциальных уравнений, передаточных и переходных функций и комплексного коэффициента передачи, описывающих динамические процессы в них.

В качестве модели звеньев используются операционные усилители с коэффициентом усиления k.

Инерционное звено

Рисунок 1.1 — Принципиальная схема инерционного звена

В общем виде:

откуда — это выражение совпадает с выражением для инерционной цепи, где. По условию

Расчёт

Рисунок 1.2 — Переходная характеристика интегрирующего звена

K (jw) = U (w) + jV (w), U (w) = V (w) =

Рисунок 1.3 — Амплитудно-частотная характеристика инерционного звена Фазо-частотная характеристика инерционного звена Рисунок 1.4 — Фазо-частотная характеристика инерционного звена Рисунок 1.5 — Амплитудно-фазовая характеристика инерционного звена Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика Рисунок 1.6 — Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика Рисунок 1.7 — Логарифмическая фазо-частотная характеристика Модель реального дифференциального звена Рисунок 1.8 — Принципиальная схема дифференциального звена.

В общем виде:

откуда

— выражение совпадает с выражением для реального дифференциального звена,

где

Расчет:

Переходная характеристика дифференциального звена Рисунок 1.9 — Переходная характеристика дифференциального звена

K (jw) = U (w) + jV (w)

U (w) = V (w) =

Рисунок 1.9 — Амплитудно-частотная характеристика инерционного звена Рисунок 1.10 — Фазо-частотная характеристика инерционного звена Рисунок 1.11 — Амплитудно-фазовая характеристика инерционного звена Рисунок 1.12 — Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика Рисунок 1.13 — Логарифмическая фазо-частотная характеристика Модель интегрирующего звена Рисунок 1.14 — Принципиальная схема интегрирующего звена В общем виде:

откуда, где

Расчет:

Рисунок 1.15 — Переходная характеристика интегрирующего звена

K (jw) = U (w) + jV (w)

U (w) = V (w) =

Рисунок 1.16 — Амплитудно-частотная характеристика инерционного звена Рисунок 1.17 — Фазо-частотная характеристика инерционного звена Рисунок 1.18 — Амплитудно-фазовая характеристика инерционного звена Рисунок 1.19 — Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика Рисунок 1.20 — Логарифмическая фазо-частотная характеристика Модель колебательного звена Рисунок 1.21 — Принципиальная схема колебательного звена.

В общем виде:

где

;

.

Расчет:

Переходная характеристика интегрирующего звена

Рисунок 1.22 — Переходная характеристика интегрирующего звена

K (jw) = U (w) + jV (w)

U (w) = V (w) =

Рисунок 1.23 — Амплитудно-частотная характеристика инерционного звена Рисунок 1.24 — Фазо-частотная характеристика инерционного звена Рисунок 1.25 — Амплитудно-фазовая характеристика инерционного звена Рисунок 1.26 — Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика Рисунок 1.27 — Логарифмическая фазо-частотная характеристика

Глава 2. Дифференциальные уравнения и основные характеристики звеньев и автоматических систем

1. Найти переходную функцию звена, если передаточная функция имеет вид:

Решение

Рисунок 2.1 — Передаточная функция звена

2. Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи относительно u₁ (t) и u₂ (t).

R=10 Ом, C1=1 мкФ, С2=2 мкФ, L1=1мГн, L2=2 мГн Рисунок 2.2 — Пассивная электрическая цепь Решение Преобразуем данную схему Рисунок 2.3 — Преобразованная пассивная цепь Значение передаточной функции будет равно:

Дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи будет иметь вид:

3. Найти передаточную функцию замкнутой САР, у которой задана структурная схема.

Для их нахождения приведем виды соединений звеньев

;

Глава 3. Частотные характеристики динамических звеньев и САР

1. Построить амплитудно-фазовую характеристику системы с передаточной функцией:

2. Построить вещественную частотную характеристику замкнутой системы автоматического регулирования, если передаточная функция равна:

3. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ звена с передаточной функцией:

1. Амплитудно-фазовая характеристика замкнутых САР

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ) строится на комплексной плоскости. Она представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующих частотной передаточной функции при изменении частоты от нуля до бесконечности. По оси абсцисс откладывается вещественная часть, а по оси ординат — мнимая часть .

Длина вектора, проведённого из начала координат в точку АФХ соответствующую какой-то выбранной частоте, равна модулю частотной передаточной функции. Угол между вектором и положительным направлением вещественной оси, отсчитываемый против часовой стрелки, равен аргументу или фазе частотной передаточной функции.

Найдём переходную функцию замкнутой системы, для этого предположим, что в системе существует отрицательная стопроцентная обратная связь, тогда переходная функция замкнутой системы будет равна:

Рисунок 3.1 — Амплитудно-фазовая характеристика

2. Вещественная характеристика замкнутой САР Вещественная функция звена равна U (w) и является четной функцией.

После преобразований получим:

;

Рисунок 3.2 — Вещественная характеристика

3. ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой САР Определим устойчивость САР по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.

Устойчивость будем определять по асимптотической ЛАХ и ЛФХ. Частоты излома асимптотической ЛАХ равны Фазовая характеристика равна

Рисунок 3.3 — Логарифмические амплитутно-частотная и фазо-частотная характеристики Система устойчива так как при достижении ЛФЧХ угла ЛАЧХ принимает отрицательное значение

Глава 4. Критерии устойчивости САР

Задача: Определить устойчивость системы, используя критерий Михайлова и Гурвица.

По кривой Михайлова составить характеристическое уравнение системы.

При. Определить. Сделать вывод об устойчивости системы.

— характеристическое уравнение.

По данным задачи получим характеристическое уравнение вида:

1. Проверим устойчивость системы по критерию Гурвица.

— определитель Гурвица в общем виде для характеристического уравнения пятой степени.

— определитель Гурвица.

Система будет устойчива, если определитель Гурвица и все его диагональные миноры будут положительны.

Так как определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны, то система устойчива.

2. Проверим устойчивость системы по частотному критерию Михайлова.

1)

2)

3)

4)

Все корни положительны и перемежающиеся, следовательно, система устойчива.

Глава 5. Оценка качества регулирования

Задача: Передаточная функция разомкнутой системы равна:

Найти установившееся значение ошибки при изменении входной величины по закону .

Решение

Для нахождения установившегося значения ошибки необходимо найти коэффициенты ошибок. Для этого определим передаточную функцию по ошибке. Передаточная функция по ошибке дает связь между ошибкой и управляющим воздействием в замкнутой системе при равенстве нулю возмущающих воздействий.

Для нахождения коэффициентов ошибки разложим функцию в ряд

где

С₀ — коэффициент ошибки по положению

С₁ — коэффициент ошибки по скорости

С₂ — коэффициент ошибки по ускорению

G (p) — изображение управляющего воздействия

Для этого поделим числитель на знаменатель:

Найдем установившееся значение ошибки при изменении входной величины по закону, для этого возьмем производные этого выражения

x` (t) =20+20t

x`` (t) =20

Выражение для ошибки будет иметь вид:

Глава 6. Коррекция автоматических систем

Задана следящая система, у которой входная величина — это угол поворота задающей оси б₁, а выходная величина — угол поворота оси отработки б₂.

В системе используется:

Найти передаточную функцию разомкнутой системы, её комплексный коэффициент усиления, построить ЛАЧХ и ЛФЧХ. Определить устойчивость разомкнутой системы, частоту среза и запас устойчивости по фазе.

Найти передаточную функцию корректирующей цепи и её комплексный коэффициент усиления. Выбрать параметры корректирующей цепи такие, чтобы достичь устойчивости системы и сделать вывод об устойчивости и качестве регулирования скорректированной системы.

Нескорректированная САР Под улучшением качества процесса регулирования, помимо повышения точности в типовых режимах, понимают изменение динамических свойств системы регулирования с целью получения необходимого запаса устойчивости и быстродействия. В этой проблеме основное значение имеет обеспечения запаса устойчивости. Это можно объяснить тем, что стремление снизить ошибки системы регулирования приводит, как правило, к необходимости использовать такие значения общего коэффициента усиления, при которых без принятия специальных мер система вообще оказывается неустойчивой.

При решении задачи повышения запаса устойчивости проектируемой системы регулирования прежде всего необходимо попытаться рациональным образом изменить её параметры (коэффициенты передачи отдельных звеньев, постоянные времени и т. п.) так, чтобы удовлетворить требованиям качества регулирования, которые определяются критериями качества. При невозможности решить эту задачу в рамках имеющейся системы приходиться идти на изменение её структуры. Для этой цели обычно используется введение в систему регулирования так называемых корректирующих средств, которые должны изменить динамику всей системы в нужном направлении.

К корректирующим средствам относятся, в частности, корректирующие звенья, представляющие собой динамические звенья с определенными передаточными функциями. Получение требуемого быстродействия обычно обеспечивается при проектировании системы регулирования по средствам выбора соответствующих элементов цепи регулирования (исполнительных органов, усилителей, серводвигателей и т. п.). Однако возможно улучшение быстродействия системы по средствам использования корректирующих средств.

В данной задаче я применяю способ корректирования, при котором происходит изменение её структуры (применение дополнительного звена), т.к. коэффициенты звеньев системы заданы и регулированию не поддаются.

Заменим данную систему следующей структурой:

Запишем передаточную функцию для разомкнутой системы:

Тогда коэффициент усиления будет равен:

Комплексный коэффициент усиления будет равен:

ЛАЧХ я строю использую асимптотический метод. Кривая будет иметь 2 излома в точках. Прямая пойдет из точки 49,5 дБ при w=1. Начальный наклон прямой будет 20дБ/декаду, в точках излома наклон будет меняться на 40 и 60 дБ/декаду.

Логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФЧХ) построим по точкам:

Поскольку функция арктангенс — периодическая, с периодом р, то можно записать:

;

Рис. 6.1 Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика Логарифмическая фазово-частотная характеристика нескорректированной САР. Из графиков, которые мы получили можно увидеть, что данная САР находится на границе устойчивости, так как при нулевой частоте (т.е. щ_ср=0) фазовая характеристика пересекает частотную.

6.1 Корректирующая цепь

Для коррекции данной САР я применю звено, которое показано на рисунке 6.2.

Рис 6.2 — корректирующее звено

Найдём переходную функцию звена:

тогда

Комплексный коэффициент усиления корректирующей цепи будет равен:

Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ корректирующего звена, для этого приравняем T₁ и Т₂ частоте среза системы.

ФЧХ корректирующего звена имеет вид:

Найдём параметры элементов корректирующего звена: Т.к. Т₂ = 0,01, то примем С = 1мкФ и R₂ =10 кОм, а

R₁= (T₁ — Т₂) /C=0, 19/10^-6 = 190 кОм.

6.2 Скорректированная САР

данной задаче корректирующее звено подключается последовательно САР. Запишем передаточную функция САР с корректирующим звеном.

ЛАЧХ и ЛФЧХ системы я буду строить с помощью асимптотического метода. Найдём частоты излома кривой.

Кривая будет выходить из точки:

ЛФЧХ можно построить по формуле:

Вывод: После корректировки САР можно сделать вывод, что данная система стала устойчивой (т.к. при L (w_ср) =0, Ф (wср) <180). Запас устойчивости по фазе, равный составляет около 30 градусов. Это говорит о том, что данная система устойчива.

Рисунок 6.1

Заключение

В курсовом проекте в соответствии с заданием освещены вопросы оценки качества регулирования и коррекции неустойчивых систем. В каждом разделе рассмотрены примеры — задачи, которые являются упрощенными моделями, типовыми звеньями реально используемых САР в различных областях человеческой деятельности.

Все разделы курсового проекта подкреплены задачами по соответствующим разделу вопросами, тематике, что дает практические навыки надлежащего регулирования, обслуживания, снятия характеристик и определения схемных решений для выполнения той или иной задачи в конкретно используемой разновидности системы.

1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: «Наука» .922 стр., с илл. 1966 г.

2. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления, под ред. Бесекерский В. А. Изд. Третье доп. и перераб. М.: «Наука» .587 стр., с илл. 1969 г.