Простые и сложные модели. 
Типы динамического поведения

В первых главах нашей книги мы рассматривали простые базовые модели роста одной популяции (гл. 2) и взаимодействия двух популяций (гл. 3). Эти модели были записаны с помощью различного математического аппарата: обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, дискретные уравнения, уравнения с запаздыванием. Свойства этих простых систем часто можно было исследовать аналитически.

В последующих главах мы рассматривали гораздо более сложные модели: модели массои энергообмена в биогеоценозах (гл. 4), модели клеточного метаболизма бактериальной клетки (гл. б), большие имитационные модели продукционного процесса растений (гл. 7), морских экосистем (гл. 5), наконец, модели глобальной динамики (гл. 8).

Несмотря на огромную сложность систем, возможные типы поведения их характеристик ограничены и, как правило, могут быть объяснены в терминах процессов, суть которых видна на простых моделях.

Рис. 8.17. Возможные типы динамического поведения системы: а — неограниченный рост, б — ограниченный рост, в — затухающие колебания, г — коллапс Рассмотрим приведенные на рисунке 8.17 типы динамического поведения. Кривые (а-г) приводятся в книге (Медоуз и др. 1994) в качестве возможных режимов поведения модели «World». Кривая (а) — это кривая экспоненциального роста, описываемая формулой Мальтуса и отражающая неограниченный рост.

Кривая (б) на рис. 8.17 соответствует логистической кривой. В описывающем логистический рост обыкновенном дифференциальном уравнении предполагается, что скорость изменения численности «мгновенно» отслеживает величину численности и уменьшается до нуля при приближении численности к величине К — емкости экологической ниши. Емкость экологической ниши соответствует «физическим пределам жизни человека» — соответствующим концентрациям газов в атмосфере, наличию достаточного количества питьевой воды, пищи, энергетических и других естественных ресурсов. В терминах модели «World» рост в соответствии с логистическим уравнением означает, что сигналы, поступающие от физических пределов к растущей экономике, мгновенны, точны и получают немедленный отклик, или численность населения и экономика сами ограничивают себя, не нуждаясь в сигналах от внешних пределов. По сути дела именно последнее предположение заложено в модель С. П. Капицы, которую мы рассматривали в разделе 8.2.

Кривая (в) соответствует системе с запаздыванием. Рост численности населения и промышленного производства приводит к переходу за физические пределы. При небольших отклонениях от стабильного состояния «физических пределов» с течением времени система приходит к стационарному состоянию, близкому к первоначальному. При этом показатели мировой динамики стабилизируются.

Вспомним, что введение в систему запаздывания, например, когда мы рассматриваем дискретное уравнение для популяций с неперекрывающимися поколениями, приводит к возможности затухающих колебаний, колебаний с постоянной амплитудой и квазистохастическим решениям. Два последних режима в модели World не наблюдались, но при определенных значениях параметров они, безусловно, возможны.

Наконец, кривая (г) изображает выход за пределы и коллапс, т. е. резкое изменение самих физических пределов, и вслед за этим падение численности населения и всех показателей развития человечества. Кривая (г) изображена лишь на ограниченном временном интервале. Возможно, продолжение наблюдения за системой покажет затухающие колебания, как на кривой (в), или незатухающие колебания с постоянной амплитудой, как на кривой (д) или квазистохастические изменения величины, как на кривой (е).

Напомним, что в модели World не рассматривается пространственная гетерогенность системы. Учет развития процессов в пространстве, как мы неоднократно видели в разных разделах книги, приводит к усложнению кинетики, затягиванию переходных процессов, наконец, к возможности возникновения квазистохастических режимов в условиях, когда локальная система приходит со временем к устойчивому стационарному состоянию или устойчивым автоколебаниям. Модели, в которых изучается пространственная гетерогенность глобального сообщества, позволяют более детально рассмотреть процессы, происходящие в современном мире (Белотелов и др., 2003).