Анализ точности измерительного устройства

Уравнение погрешности измерений

Абсолютная погрешность прибора Ах определяется как алгебраическая разность между показанием прибора х и истинным значением измеряемой физической величины х, т. е.

Отношение 5 = Ах/х называется относительной погрешностью прибора. Чем меньше |5, тем выше точность прибора.

При экспериментальной опенке точности прибора вместо истинного значения измеряемой величины х в формуле (9.1) используют действительное значение этой величины, которое воспроизводится специальным устройством, называемым мерой, а в качестве х — показание прибора.

При разработке прибора в качестве х принимают то значение измеряемой величины, которое соответствует используемой модели измерительного сигнала (7.1), а в качестве х — оценку результата измерений, которую получают расчетным путем с помощью математической модели прибора, учитывающей условия измерений и модель измерительного сигнала. Поэтому на стадии проектирования получают расчетную оценку точности прибора, которая тем ближе к экспериментальной оценке, чем точнее модель измерительного сигнала отражает объект измерений, модель прибора — создаваемое средство измерений, а модель условий измерений — условия эксплуатации.

На рис. 9.1 показана схема формирования погрешности измерений (9.1), учитывающая взаимодействие прибора с окружающей средой [12J.

Рис. 9.1. Схема формирования погрешности измерений.

Эта схема пригодна для оценки точности разных средств измерений. Пунктирной линией обведена та часть схемы, которая отражает эквивалентную схему измерительного прибора (ИП). В этом случае х — показание прибора, Ах — погрешность результата измерений. Если оценивается погрешность измерительного преобразователя (ИПр), то ему соответствует часть схемы, обведенная штрихиунктирной линией. В этом случае у — выходная величина ИПр, х — показание ИПр, приведенное ко входу преобразователя, а Ах — погрешность ИПр, также приведенная к его входу.

Если объектом проектирования является измерительный прибор, то И Ир — это та часть прибора, с помощью которой измеряемая величина х «доводится» до величины г/, удобной для индикации. В этом случае звено с коэффициентом передачи 1/К₀ отражает преобразование этой величины в показание прибора х. Такое преобразование выполняется шкалой прибора или так называемым вторичным прибором (например, вольтметром, шкала которого отградуирована в единицах измеряемой величины).

Аддитивные помехи/_1?/₂,…, f_N, действующие на входах всех или части звеньев ИУ (N — число звеньев), заменяются двумя и (или) одной эквивалентными аддитивными помехами: помехой F_y действующей на входе ИУ, и помехой F, действующей на его выходе. Эквивалентность этих помех означает, что их влияние на величину х равносильно действию всех аддитивных помех/i,/₂, …,/лг*.

Инерционность ИУ учитывается в значениях параметров операторной части его передаточной функции W₀(p), которая считается дробно-рациональной функцией комплексной переменной р (5.12), а все факторы, приводящие к нестабильности коэффициента чувствительности И У К, учитываются в параметрах относительной погрешности этого коэффициента Я = АК/К₀, где К₀ — номинальное значение коэффициента чувствительности. Считается, что погрешность / является случайной величиной, т. е. может быть записана в виде.

где т_н — систематическая составляющая относительной погрешности ко;

о эффициента чувствительности ИУ; Я — центрированная случайная составляющая этой погрешности с дисперсией D_H.

Примечание: запись, подобная (9.2), означает, что число (и (или) функция), указанное через запятую после центрированной случайной величины о.

(в данном случае величины Я), представляет собой статистическую характеристику этой величины (в данном случае дисперсию D_n).

Используя схему рис. 9.1, расчет погрешности измерений можно свести к определению характеристик измерительного сигнала (7.1), параметров передаточной функции ИУ (5.7), а также параметров относительной погрешности коэффициента чувствительности (9.2) и эквивалентных аддитивных помех F, F, зависящих от условий измерений. Благодаря этому достигается универсальность методики расчета погрешности измерений на стадии проектирования ИУ.

Детальное описание и примеры использования этой методики даны в работах [12, 28—30]. Приведем основные расчетные соотношения. Согласно рис. 9.1 расчетное значение показания прибора х равно.

Используя это выражение, можно расчетное значение абсолютной погрешности измерений (9.1) представить в одной из трех форм:

Слагаемое Д_Л в формуле (9.4) выражает аддитивную погрешность, не зависящую от измеряемой величины х, слагаемое Л_м — мультипликативную погрешность, пропорциональную х. Слагаемое Д_ст в формуле (9.5) выражает статическую погрешность, не зависящую от времени, слагаемое Дд (?) — динамическую погрешность, зависящую от времени. Слагаемое в формуле (9.6) выражает систематическую погрешность, слагаемое о Д — центрированную случайную погрешность с дисперсией 7)_д. Систематическая погрешность остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же физической величины. Случайная погрешность изменяется при повторных измерениях случайным образом.

Уравнения (9.4)—(9.6) являются разновидностями уравнения погрешности измерений. Конкретизируем эти уравнения для разных режимов измерений.

В статическом режиме измерений измерительный сигнал и эквивалентные аддитивные помехи не зависят от времени. Поэтому их можно записать в виде.

где m_x, m_F, fn_F — математические ожидания величин х, F, F; D_X, D_F, D_F —.

О 0 0_.

дисперсии величин X, F, F.

Подставляя формулы (9.7) и (9.2) в выражение (9.5) и разделяя в полученных уравнениях систематические и случайные составляющие, можно статическую погрешность изменений записать в виде где т_А — систематическая составляющая статической погрешности измерений, вычисляемая по формуле.

о Дст — центрированная случайная составляющая статической погрешности с дисперсией D_A. Эта погрешность складывается из семи центрированных случайных величин.

Если все они статистически не зависят одна от другой, то, согласно (7.77),.

Примечание: при наличии статистических связей между погрешностью коэффициента чувствительности, измерительным сигналом и помехами, действующими на прибор, необходимо, используя формулы табл. 7.2, учитывать корреляционные моменты этих величин.

В динамическом режиме измерений проявляется инерционность прибора. В этом случае в формуле (9.3) следует учитывать, что W_{)(p) Ф1 и вместо (9.7) использовать выражения.

где m_x(t), m_F(t), m_F(t) — детерминированные функции времени, описывающие систематические составляющие сигналов x (t), F (t) и F (t) соответ- 0 о 0_.

ственно; X (t), F (t), F (t) — центрированные случайные функции времени, энергетические спектры которых равны 5_v(co), 5^(со), 5^(со).

В соответствии с принципом суперпозиции, реакция линейного ИУ на сигналы (9.12) равна сумме реакций на соответствующие детерминированные и случайные составляющие этих сигналов. Разделяя их, можно динамическую погрешность измерений записать в виде.

о где т_А (t) — математическое ожидание динамической погрешности; Д_д(?) — центрированная случайная составляющая динамической погрешности с дисперсией Л_д (t).

Математическое ожидание динамической погрешности вычисляется по формуле где функции времени rh_x(t) и ffi_F{t) описывают реакцию ИУ на систематические составляющие измерительного сигнала х и помехи F. Согласно (5.36) их можно вычислить по формулам:

где?₀(т) = 1^-1{1У₀(/?)} — относительная весовая функция прибора.

о Случайная составляющая динамической погрешности прибора Д_Л(?) складывается из пяти центрированных случайных функций времени и I/.

Если все они статистически независимые, то в установившемся режиме измерений дисперсия динамической погрешности измерений равна.

где D_F, D_F, D_XX, D_XXX — интегралы, вычисляемые, но формулам (см. (8.45), (8.49))).

В этих формулах используются следующие обозначения: W₀(ko) — комплексная частотная передаточная функция прибора (5.49); /4₀(ш) = |1Е₀(/со)| — относительная амплитудная частотная функция прибора; i — мнимая единица.

Таким образом, расчет систематической погрешности т_д выполняется с использованием формул (9.9) и (9.14), а расчет дисперсии случайной погрешности D_A — формул (9.11) и (9.18).

Расчет статической погрешности прибора Д_ст сводится к вычислению восьми величин m_x, D_x; m_H, D_H; m_F, D_F; m_F, D_F, а расчет динамической погрешности Д_д(0 — к определению двух функций времени (9.15), (9.16) и вычислению четырех интегралов (9.19)—(9.22).

Аддитивная и мультипликативная погрешности вычисляются по формулам.