Вынужденные механические колебания

Средства, уменьшающие потери энергии колебаний, не устраняют их полностью. Единственный способ поддержания колебаний — компенсация потерь энергии путем внешнего воздействия. Колебания, происходящие в результате внешнего воздействия, называются вынужденными.

ВОПРОС. Может ли сила, поддерживающая колебания, быть однократной или постоянной?

ОТВЕТ. Нет. Первая способна лишь вывести систему из положения равновесия, а вторая приводит только к его смещению.

Отсюда следует, что внешняя сила должна быть периодической, причем принципиально важны моменты ее воздействия. Их может задавать и сама система, которую в таком случае называют автоколебательной.

Примеры практики Когда маятник часов проходит через положение равновесия, то через анкерный механизм, связанный с заведенной пружиной, ему сообщается толчок. Зуммеры и вибраторы содержат электромагнит, подобный изображенному на рис. 6.11, но его катушка подключена к источнику напряжения через упругую пластину с подвижным контактом. При протекании тока через катушку сердечник втягивается в электромагнит, толкает упругую пластину и размыкает контакты. В результате электромагнит и сердечник размагничиваются, упругая мембрана возвращает сердечник в исходное положение, контакты вновь замыкаются, и цикл повторяется.

Типичными автоколебательными системами являются ДВС и автоматическое оружие, в котором часть энергии пороховых газов вызывает следующие действия: движение затвора назад с изъятием и выбросом гильзы; наведение ударного механизма; движение затвора вперед с захватом следующего патрона; запирание ствола затвором; освобождение ударного механизма спусковым устройством; удар бойка по капсюлю. Таким образом, пружинный маятник затвора воспроизводит цикл: сначала затвор, двигаясь назад, сжимает возвратную пружину, потом эта пружина толкает его вперед.

Для количественного анализа вынужденных колебаний представим, что внешняя сила изменяется по гармоническому закону (основания для этого предположения обсуждаются в параграфе 7.10):

Тогда в правой части уравнения (7.24) появляется еще одно слагаемое:

Пользуясь прежними обозначениями, получим.

Это уравнение, вследствие наличия правой части, уже является неоднородным. Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения (7.25) и частного решения уравнения (7.38). Первое имеет вид (7.29) и содержит убывающую во времени функцию, которая при установившемся режиме значения уже не имеет: по прошествии достаточно большого времени оно перестает влиять на колебания. Что же касается частного решения, то его определяют многочисленные наблюдения. Из них следует, что под действием периодической силы система колеблется с частотой этой силы:

Подставляя это выражение и его производные в формулу (7.38), получаем.

Раскрывая косинус и синус разности и группируя члены, получим.

Выражение (7.40) справедливо при любых t, включая со? = п/2, при котором.

С учетом равенства (7.41) выражение (7.40) теперь принимает вид.

Поскольку для конкретной системы F₀/m, со₀ и 5 — величины постоянные, амплитуда а зависит только от частоты со и достигает максимума при минимуме подкоренного выражения. Дифференцируя его по со и приравнивая результат к нулю, получаем -4со_р(сОц — со_р) + 88²to_p = 0. Одно из решений этого уравнения имеет вид При со = со_р амплитуда колебаний максимальна (рис. 7.6).

Рис. 7.6.

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний в случае приближения частоты со изменения внешней силы к частоте со_р называется резонансом.

Подставляя выражение (7.45) в формулу (7.43), найдем резонансную амплитуду:

ВОПРОС. Каковы резонансная амплитуда и частота при малом затухании? ОТВЕТ. Полагая б² <�К со", получим.

Как следует из выражения (7.45), при б² аз²₀резонансная частота примерно равна собственной. Это означает, что резонанс наступает, когда внешняя сила действует в такт со свободными колебаниями системы.

Чем меньше 8, тем ближе со к со₀, больше резонансная амплитуда, а резонансный максимум уже, острее. И наоборот: чем больше 5, тем меньше резонансная амплитуда и дальше резонансная частота от со₀, например со'_р < со_р (см. рис. 7.6). Резонанс важен тем, что позволяет путем малого воздействия достигать значительных амплитуд колебаний.

Примеры практики Резонанс используют при укладке бетона, погружении сваи в грунт, измельчении пород, возбуждении камертонов, струн музыкальных инструментов и голосовых связок, резонирующих в гортани. Резонанс электромагнитных колебаний лежит в основе радио— и видеосвязи: из множества сигналов колебательный контур приемника выделяет и усиливает лишь тот, частота которого близка к его собственной. Резонансное поглощение электромагнитных колебаний осуществляет и вещество. Например, кристаллическая решетка поваренной соли резонирует на частотах ~10¹³ Гц, что соответствует инфракрасному диапазону.

Резонанс бывает и вреден, так как большая амплитуда колебаний влечет деформации и разрушения. Мост представляет собой колебательную систему, которая может войти в резонанс под влиянием согласованного шага пешего строя. Чтобы этого не произошло, строевым уставом предусмотрена команда «Нс в ногу!».

Корпуса транспорта, станки, машины и механизмы испытывают вредные вибрации, амплитуда которых зависит от внешних воздействий и частоты вращения двигателей. Если периодические силы попадают в резонанс с опорой или корпусом, то возникают вредные последствия. Поэтому кроме балансировки деталей и узлов подбирают параметры колебательной системы таким образом, чтобы ее собственная частота со₀ отличалась от частоты внешнего воздействия.

Резонансные колебания могут возникнуть и при поступательном движении. Примеры — движение смычка по струне или обрушение льда Дороги жизни через Ладожское озеро во время блокады Ленинграда. Тяжелый грузовик мог преодолеть маршрут без происшествий, а идущая по тому же пути легкая машина с людьми при некоторой скорости движения проваливалась под лед. Исследования физиков Ленинграда показали, что поверхность льда на воде подобна мембране барабана — при определенных скоростях транспорта возникают изгибногравитационные колебания, имеющие собственные частоты. Они зависят от размеров и глубины водоема, а также толщины и свойств льда. В результате автомобилям была предписана определенная скорость движения по Дороге жизни. Подобные явления могут возникнуть и при движении судна на воздушной подушке, ледокола по кромке припая или в ледовом канале, самолета при посадке на лед и т. д.

Опасным бывает и воздушный поток. Он может создавать вихри, поочередно срывающиеся с разных сторон тела, и спровоцировать упругие колебания, которые называются флаттером (от штл. flutter — вибрация). Флаттеру подвержены крылья, хвостовое оперение, элероны и рули самолетов, винты вертолетов, лопатки турбин и другие упругие элементы машин. С ним столкнулись в 1930;е гг., когда авиакатастрофы замедлили создание скоростной авиации. Выявив причины флаттера, группа академика М. В. Келдыша (1911 — 1978) выработала рекомендации по балансировке и компоновке элементов самолета, при которых скорость, вызывающая флаттер, больше максимальной скорости полета.