О замене переменных в определенном интеграле
Определяет линейное невырожденное отображение Ф *: Та —>7/, Ф*(й)=Ле7/ и (Ф*)~'{Ь)=а е Тп, касательных пространств Тп и 7/ фигур О и О, соответственно, так что йК2=((Ф*)_|)й?Й, где порядок переменных — координат точки М еС1, выбирается таким, чтобы определитель — (Ф) — матрицы-производной (Ф) =J был положителен. Этот определитель называют якобианом отображения Ф" 1. Таким образом, биекция (Г.2… Читать ещё >
О замене переменных в определенном интеграле (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Ниже получен критерий правильности исполнения замены переменных в определенном интеграле. Пусть О, О с/?А, -некоторая замкнутая фигура, непрерывная вместе со своей границей дС1. Определенный интеграл 7(/, 0) = J f (M)clQ по фигуре О от непрерывной функции / :Г2 —> /?
?2.
определяется как предел интегральной суммы ^я=?" =1/(А/,.)-|ДО(.|.
Здесь и ниже эквивалентные по определению символы сЮ.= г/О |=| АО | обозначают дифференциальный элемент меры в касательном пространстве фигуры О. Как показано выше, всякое дифференцируемое биективное отображение 
определяет линейное невырожденное отображение Ф *: Та —>7/, Ф*(й)=Ле7/ и (Ф*)~'{Ь)=а е Тп, касательных пространств Тп и 7/ фигур О и О, соответственно, так что йК2=((Ф*)_|)й?Й, где порядок переменных — координат точки М еС1, выбирается таким, чтобы определитель | (Ф) | матрицы-производной (Ф) =J был положителен. Этот определитель называют якобианом отображения Ф" 1. Таким образом, биекция (Г.2) приводит к следующему интегральному равенству:
не зависящему от порядка координат точки М. Равенство (В.З) является критерием правильности вычисления определенного интеграла /(/, Г2). Здесь отображение Ф и равенство (В.З) мы называем прямой заменой переменных интегрирования в определенном интеграле /(/, Q). В равенстве.
(Г.З) фигуры Г2 и или их меры | Q | и | Q. | могут совпадать: = D или |Q|= |Q|. Вычисление интеграла в правой части равенства (Г.З) в общем случае упрощается, если граница дС1 фигуры Г2 имеет координатные уравнения. Если VM еП /(А ()=1, из уравнения (В.З) получается следующее условие: |Q| =JrfQ=| | J dQ. • Из этого равенства получаем критерий п п
правильности выполнения замены переменных интегрирования в интеграле /(/, Q) в виде равенства.
го мы получим критерий правильности замены переменных в двойном интеграле: SD ={x'uy'v-x'vy'u)dudv.
D
Пусть Q = [a, b] (Ф: [a, b—>[ос, [3], t = Ф (.т) and х = Ф 1 (/))• Теперь из (В.4) получаем оценку правильности замены переменной в одномерном Р.
определенном интеграле: b — a =J (Ф'1 (t))'dt.
а
Вопрос Читателю. Почему в этом определенном интеграле производная стоит не под знаком модуля?