Метод фазовой плоскости

Метод фазовой плоскости применяется для анализа свойств систем второго порядка и основан на использовании двух ее динамических характеристик: исходного дифференциального уравнения и пространства состояний.

Суть метода заключается в отображении частных решений дифференциальных уравнений в совокупность фазовых траекторий.

Обсудим способы построения фазового портрета системы, математическая модель которой имеет вид.

Управляющее воздействие и входит в правую часть системы (9.1) как параметр. Отметим, что если оно изменяется, то векторное поле будет управляемым. Здесь полагаем и = const и его числовое значение учтем в соответствующих функциях, что позволяет модель (9.1) записать в форме.

В принципе, задавая множество наборов значений х_{ и х₂, можно получить ноле векторов скорости (см. рис. 7.2) и, двигаясь вдоль них, построить фазовую траекторию системы из определенных начальных условий.

Таким образом, мы геометрически определили решение дифференциального уравнения (9.1) для конкретных начальных условий. Однако в настоящее время этот способ не находит применения, так как наличие развитых средств вычислительной техники позволяет получить требуемую совокупность решений.

Интерес представляют упрощенные аналитические приемы построения фазового портрета системы, одним из которых является способ изоклин, когда не требуется информации о значениях вектора скорости.

Изоклиной называют линию в пространстве состояний, соединяющую все точки с одинаковым наклоном фазовых траекторий. Выражение для коэффициента наклона траекторий k имеет вид.

откуда чаще всего удается получить явное аналитическое описание семейства изоклин.

Задаваясь рядом числовых значений k> получим из соотношения (9.3) совокупность конкретных изоклин. Следует отметить, что чем больше будет построено изоклин, тем полнее и точнее будет фазовый портрет, технику построения которого поясним на примере.

Пример 9.1. Построить фазовый портрет системы, поведение которой описывает уравнение

при численном значении управляющего воздействия и = 1.

Решение

Предварительно перейдем к описанию системы в переменных состояния, полагая х_{ = у, х₂ = у:

и запишем уравнение семейства изоклин:

В соответствии с формулой (9.2) определим коэффициент наклона фазовых траекторий:

Придавая коэффициенту k определенные числовые значения, получим уравнения конкретных изоклин (табл. 9.1).

Таблица 9.1

Уравнения изоклин к примеру 9.1.

Построив на фазовой плоскости полученные изоклины (рис. 9.1), отметим угол а, под которым эту изоклину будут пересекать фазовые траектории системы.

Рис. 9.1. Фазовая траектория к примеру 9.1.

Оценив знаки производных переменных состояния в начальной точке, определим направление движения. С этой целью координаты выбранной точки (-1,5; +5) подставим в уравнения состояния системы и получим х_{ > 0, х^ < 0. Соответствующая фазовая траектория приведена на рис. 9.1. Как видим, система устойчива и переходные процессы в ней имеют колебательный характер.

Отметим, что для линейных систем изоклины представляют собой прямые, которые пересекаются в одной точке. Для нелинейных систем они могут иметь произвольный характер, причем в этом случае фазовый портрет можно построить, используя соответствующий пакет прикладных программ (например, SIMULINK).