Условие экстремума. 
Теория автоматического регулирования

Рассмотрим экстремальную характеристику произвольного вида полагая для простоты, что отсутствует дрейф экстремума.

Как известно, необходимым условием экстремума является равенство нулю градиента, полученного для этой характеристики, т. е. выполнение условия.

' 5У ' дЦ

где G = : — градиент (вектор частных производных) выходной пере;

дУ_

ду_тV У менной объекта.

Для того чтобы определить тин экстремума характеристики (11.3), можно задать небольшие приращения по переменным у относительно значения у₀в виде у₀ ± Ау и исследовать полученные значения выхода У. В случае когда справедливы соотношения.

У₀ представляет собой точку минимума.

Если значения выхода У при небольших отклонениях от У₍₎ удовлетворяют условиям.

то У₍₎ соответствует точке максимума характеристики (11.3).

Постановка задачи синтеза экстремальных систем

Цель экстремального управления состоит в обеспечении минимума или максимума заданной функции качества работы системы Y (t, у) при недостаточной априорной информации.

Задача синтеза экстремальной системы заключается в отыскании для объекта типа (11.1) такого алгоритма управляющего воздействия и(-), котороый позволял бы автоматически определить точку экстремума и удерживать в ней систему. Математически это означает выполнение условия.

где У₀ — экстремальное значение выходной характеристики.

Поскольку экстремальному значению У₍₎ соответствует определенное значение у₀, задачу синтеза можно переформулировать. Для экстремального объекта (11.1) необходимо определить управляющее воздействие м (-), которое обеспечит выполнение свойства Как видим, задача синтеза экстремальной системы сводится к задаче стабилизации в точке экстремума у₀, а для контроля за достижением этой точки необходимо использовать условия (11.4)—(11.6).

Таким образом, при синтезе экстремальных систем от алгоритма управления требуется организация движения в точку экстремума, если градиент выходной характеристики G не равен нулю, и удержание объекта в точке экстремума, если он равен нулю.

Анализ задачи синтеза экстремальных систем управления показывает, что в ней можно выделить три относительно самостоятельные подзадачи:

• 1) задача оценки градиента;
• 2) организация движения системы к точке экстремума в соответствии с условием G —*? 0;
• 3) стабилизация системы в точке экстремума.

Исследуем последовательно каждую из них.