Метод гармонической линеаризации

Под линеаризацией понимают приближенную замену нелинейной функции линейной таким образом, чтобы по какому-то выбранному показателю обе эти функции совпадали.

В способе гармонической линеаризации нелинейный элемент (рис. 9.3) заменяется линейным звеном, параметры которого определяются при синусоидальном входном сигнале.

из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена.

При поступлении на его вход гармонического сигнала (9.4) на выходе звена в установившемся режиме также будет периодический, но несинусоидальный сигнал.

Разложим его в ряд Фурье и получим.

Рис. 9.3. Нелинейный элемент Рассмотрим процедуру линеаризации для нелинейного элемента, уравнение которого имеет вид.

где будем полагать и₀ = 0, что справедливо для симметричной относительно амплитуды входного сигнала нелинейной характеристики.

С учетом сигнала (9.6) коэффициенты ряда Фурье (9.7) определяются известными соотношениями.

Используем только первые члены ряда разложения (9.7), пренебрегая высшими гармониками, и получим.

Учтем, что, А = Лэйфсоб) — а, А = /liocos (oy) и, следовательно,.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

После подстановки соотношений (9.9) в приближенное равенство (9.8) получим выражение для выходного сигнала нелинейного звена которое с учетом принятых обозначений.

принимает вид.

Здесь q_{(A, со) и q₂(A, со) — коэффициенты гармонической линеаризации.

Как видим, уравнение нелинейного звена (9.10) с точностью до высших гармоник является линейным. При постоянных значениях амплитуды входного сигнала А коэффициенты гармонической линеаризации q_x(A, со) и q₂(A, со) являются постоянными. Однако различным значениям амплитуды А соответствуют разные коэффициенты q_{(A> со) и q₂(A, со). В этом заключается отличие гармонической линеаризации от обычной, рассмотренной в гл. 8.

Таким образом, вместо нелинейного элемента с характеристикой (9.5) можно рассматривать эквивалентное линейное звено, поведение которого описывает уравнение (9.10). Оно может быть представлено в операторной форме как Для гармонически линеаризованного нелинейного элемента можно записать передаточную функцию

и получить из нее выражение для частотной характеристики.

В случае статической нелинейной характеристики вместо уравнения (9.6) имеем и =/(А), и уравнение (9.11) принимает вид.

где коэффициенты гармонической линеаризации г/,(/1) и q₂(A) зависят только от амплитуды. При этом получим передаточную функцию

и частотную характеристику статического нелинейного звена.

Для однозначной статической нелинейной характеристики коэффициент q,(A) = 0, и вместо (9.12) получим.

Коэффициенты гармонической линеаризации типовых статических нелинейных звеньев приводятся в справочной литературе.

Пример 9.2. Определить эквивалентную передаточную функцию нелинейного звена, которое представляет собой идеальное реле (рис. 9.4).

Рис. 9.4. Статическая характеристика идеального реле.

Решение

Поскольку идеальное реле представляет собой однозначную статическую характеристику, его передаточная функция имеет вид выражения (9.13), где коэффициент с/,(А) определяется, но выражению.

и имеет значение.

Далее, учитывая полученные выражения для передаточных функций гармонически линеаризованных нелинейных элементов, рассмотрим соотношения метода гармонического баланса.