Корректности обратных электрофизиологических задач

Как было отмечено в § 1.1, на базе общего операторного уравнения (1.2) путем измерения поля /.(г) можно решить два типа обратных электрофизиологических задач: восстановление характеристик источников х (г') при заданном ПВО А и определение свойств биосреды по заданной модели источников биопотенциалов х (г'). Эти постановки практически исчерпывают все возможные обратные электрофизиологические задачи^[1]. В большинстве случаев обратная задача формулируется как нахождение по результатам изменении параметров первичных источников электрофизиологической активности: характеристик эквивалентных электрических генераторов сердца [34, 42, 154, 156], элементарных источников пространственной ЭКоГ [34, 72], параметров ДЕ [123, 124] и т. д.

Как было отмечено в § 1.1, все перечисленные обратные электрофизиологические задачи являются некорректно поставленными и вследствие этого для своего решения требуют применения специальных методов.

Согласно классическому определению [159] задача нахождения х е X по результатам измерения X е А называется корректно поставленной (по Адамару) на паре метрических пространств А" и Л с метрикой р₍(х, х₂) и р"(Л., К), если:

• 1. Для всякого X е Л существует решение х е X (условие разрешимости).
• 2. Решение однозначно.
• 3. Решение устойчиво на пространствах (X, Л) (г.е. решение непрерывно зависит от исходных данных).

Условие корректности по Адамару можно сформулировать и другим более удобным для наших задач способом [92, 93]:

• 1. Для всякого X е Л можно указать х е D_a (где D_a — область определения оператора А), такое, что уравнение (1.2) разрешимо.
• 2. Если х, х₂ е D_a и Ах, = Ах₂ = Л, то х, = х₂.
• 3. Если Нтр;ДХ_? Д) = 0, то limp_t(xg, x) = 0, гдех₈— решение уравнения
• ?=0 б-«о
• (1.2) при X = Х_е.

Нарушение любого из условий 1) —3) приводит к некорректно поставленной задаче в данной паре метрических пространств (X, А). (Учитывая стохастический характер уравнения (1.2), целесообразно использовать вероятностную метрику.).

Если бы оператор А в уравнении (1.2) был точно известен, а процесс измерения X безошибочным, то для нахождения характеристик х достаточно было решить уравнение (1.2). Однако на практике оператор А либо неизвестен, либо известен приближенно, а измерение X всегда осуществляется с ошибками (см. § 1.5), т. е. вместо точных данных {А, X} в (1.2) мы имеем совокупность приближенных данных A_h, АД, где А, — приближенное значение пространственно-временного оператора; h — точность задания А; 0 < h < h₀. В результате нарушается корректность задачи и она не может бить решена традиционными методами.

Обратимся к первому условию, определяющему разрешимость поставленной задачи. Существование решения в рассматри ваемом случае возможно не для всяких исходных данных. Так, для пространственно-временного спектра Л типа свертки, которым отображается целый ряд биопогенциальных полей (ш. 2), существующее интегральное уравнение разрешимо не для всех X е Ь₂.

Действительно, рассмотрим, например, линейный пространственно-временной оператор, определяемый уравнением (2.107):

где ядро /?(г, г') в силу физической постановки задачи измеримо, замкнуто и удовлетворяет условию.

При этом уравнение (8.1) не может быть разрешимо для всех X е L2, так как в противном случае согласно известной теореме Банаха [95] обратный оператор А является ограниченным:

В то же время из функционального анализа известно, что операторное уравнение типа свертки А является вполне непрерывным оператором, для которого |И^_||| неограничен, что противоречит (8.3). Отсюда непосредственно и следует вывод о возможности нарушения первого условия корректности для уравнения (8.1).

Рассмотрим теперь выполнение условия единственности в реальном эксперименте. Это условие, во-первых, может нарушаться вследствие неадекватности процедуры измерения, в результате которой обычно уменьшается размерность электрофизиологического поля (измерение линейных и временных сечений, разного рода проекций полноразмерного поля и т. д.). Например, в электрокардиологии неоднозначность определения параметров эквивалентного генератора сердца возникает при числе точек измерения, меньшем числа нескольких компонент диополя, и т. д.

Вследствие этого оказывается невозможным однозначное восстановление полной картины поля, необходимой для решения обратных электрофизиологических задач (за исключением некоторых случаев вырожденных полей, см. § 2.6). Во-вторых, сама связь между распределением поля биопотенциалов в области изменения А.(г) и характеристиками источников х (г') в общем случае является неоднозначной. Например, одна и та же картина поля сердца может быть получена при различной структуре эквивалентных генераторов и различных характеристиках биосреды. (Физическая неоднозначность источников для заданного потенциала во внешней области [1518] — см. § 2.7.) Наконец, в-третьих, эта неоднозначность обусловлена конечной ошибкой аппроксимации истинных характеристик поля.

Суть условия устойчивости заключается в том, что решение обратной задачи х должно непрерывным образом зависеть от исходных данных X, т. е. малым вариациям исходных данных 8А. должны соответствовать малые вариации решения 6х. Вариации исходных данных 8Х на практике обычно обусловлены различного рода ошибками измерений и помехами, искажающими истинную картину биопотенциального поля (см. § 1.5). В этой связи следует отмстить, что наблюдаемые электрофизиологичсскис процессы носят обычно интегральный характер и малочувствительны к отдельным элементарным процессам [34, 44, 71]. Поэтому даже при условии взаимно однозначного соответствия между и и х обратная задача электрофизиологии, с точки зрения устойчивости, является некорректной: малым погрешностям в определении характера поля Х (г) могут отвечать сколь угодно большие погрешности в определении характеристик источников х (г'). Например, при использовании модели многодипольного или мультипольного [39] эквивалентного генератора сердца необходимо решать систему уравнений вида.

где А — матрица с элементами а^, отражающими соответствующие компоненты вектора отведений; х — искомый «вектор сердца». Решение системы (8.4) можно найти различными способами, например с помощью теоремы Крамера [100]. Известно, что система (8.4) имеет единственное решение, если detA ф 0. Если же (8.4) вырождена (det4 = 0), то она имеет решение (причем не единственное) лишь при выполнении определенных условий разрешимости [100]. Вычисление же определителя detA при порядке системы п требует выполнения около и³ операций, в результате которых могут накапливаться ошибки вычислений и в итоге можно получить решение, как угодно отличающееся от истинного [159]. Если же при этом измерения осуществляются с ошибками, а коэффициенты системы (8.4) известным лишь приближенно, что обычно имеет место [154, 158], то задача становится еще более неопределенной: вместо системы (8.4) уже имеют дело с системой вида.

где A_h и Х_г — приближенные значения, А и X, причем.

где величины h и е определяют погрешность задания матричного оператора А и правой части X. В этом случае существует, вообще говоря, бесконечное множество систем, которые в рамках заданного уровня погрешности (8.6) оказываются неразличимыми. Это является одной из причин того, что при решении обратных задач элктрокардиологии [42, 154, 158] обычно ограничиваются простейшей моделью эквивалентного генератора сердца в форме диполя (6.2.7) с неподвижным или подвижным центром.

С математической точки зрения нарушение третьего условия корректности означает отсутствие непрерывного обратного оператора А~'. Это справедливо, в частности, для всех интегральных ПВО, рассмотренных в гл. 2, которые относятся к классу вполне непрерывных операторов и согласно известной теореме [95] не могут иметь ограниченного обратного оператора А~^]. Таким образом, во всех рассмотренных случаях обратная задача электрофизиологии является некорректно поставленной.

Некорректно поставленные задачи встречаются в различных областях математики и физики [34, 93, 101]. Для решения этих задач в последнее время разработан ряд методов, базирующихся на понятии корректности по Тихонову [159].

Задача называется корректно поставленной по А. Н. Тихонову, если:

• 1. Априори известно, что для некоторого класса данных существует решение х е М< D_A.
• 2. Решение х е М единственно.
• 3. Бесконечно малым вариациям исходных данных X, не выводящих х из класса М, соответствуют бесконечно малые вариации решения х. Множество М называется классом корректности.

В соответствии с вышеизложенным М будет классом корректности для уравнения (1.2), если М — класс единственности и А~^[, рассматриваемый на AM, — непрерывен.

Таким образом, доказательство корректности по Тихонову обратной задачи сводится к доказательству существования хотя бы одного непустого класса корректности М.

Обращаясь к 1), отметим, что существование решения обратной электрофизиологической задачи, корректной по Тихонову, обусловливается обычно биофизикой исследуемого процесса и предполагает адекватность математической модели исследуемому полю (адекватность классификации).

Для определения единственности решения необходимо выяснить, какие характеристики источников биоэлектрической акгивности (в рамках принятой модели с учетом граничных условий) определяются однозначно измеряемым полем Дг).

И наконец, для доказательства устойчивости по Тихонову необходимо доказать, что множество М является компактом, при этом обратный оператор А~^] будет непрерывен на множестве AM и условие 3) будет выполнено для класса М.

В общем случае имеет место теорема [95], согласно которой метрическое пространство R будет компактом, если оно вполне ограниченное и полное. Однако практическое использование этой теоремы затруднительно, поэтому для конкретных пространств существуют различные критерии компактности. В частности, как показано А. Н. Колмогоровым, множество М в интересующем нас пространстве компактно тогда, когда выполняются следующие условия (одноразмерный случай):

I.

1. Существует х, такое, что jx (t)^pdt< К''; x (t)eM; = const.

о.

2. Для любого 8 > 0 найдется, А > 0, такое, что р (х, x_h) < 8 при h < А, где.

t+h

х е М x_h = 1 / 2/г J x (s)cls.

t-h

На практике обычно существорание решения определяется физической постановкой задачи, согласно которой наблюдаемый процесс X е AM есть проявление функционирования х е М некоторой реально существующей биологической структуры: клеток миокарда, двигательных единиц, нейронных структур и т. д. Принадлежность решения х к множеству корректности М определяется тем, что в исследуемых структурах отсутствуют элементы с характеристиками, превосходящими некоторые вполне определенные константы (например, амплитуда ПД обычно нс превышает величину порядка 10² мВ, длительность — 10³ мс и т. д.).

Условие единственности в классе М доказывается исходя из того, что вследствие физических условий задачи норма оператора ограничена |[4|| < °° и уравнение Ах = 0 имеет лишь тривиальное решение, следовательно, оператор А обратим.

Для доказательства условия устойчивости покажем, что бесконечно малым вариациям 8А, не выводящим решение х за пределы класса корректности М, соответствуют бесконечно малые вариации 8х решения. Действительно, пусть.

Тогда + Ь — А (х + 8х), причем если.

то с учетом эрмитовости оператора А

Тогда с учетом (8.7) и (8.8) получаем.

откуда в силу произвольности е следует искомое утверждение.

Таким образом, путем сужения класса возможных решений до множесгва корректности М (или изменения класса исходных данных и до множества AM) может быть восстановлена корректность обратной задачи для операторного уравнения (1.2). Практически сужение класса возможных решений х осуществляется путем введения различного рода ограничений. Например, для многодипольного эквивалентного генератора сердца такого рода ограничениями служат: задание пространственного расположения составляющих диполей, ограничение на их возможную ориентацию и величину моментов, задание формы изменения во времени и т. д. Ясно, что все эти ограничения должны вытекать из сущности исследуемого явления и наиболее близко отражать реальные электрофизиологические процессы. Так, для наиболее точного описания истинного генератора сердца желательно, чтобы эквивалентные генераторы были расположены возможно ближе к истинным источникам [12, 37, 116]. При наложении ограничений на ориентацию диполя учитывается тот факт, что в период деполяризации волна возбуждения в небольших участках миокарда мало изменяет свою ориентацию и движется в направлении, близком к радиальному, поэтому вектор дипольного момента на протяжении рассматриваемого периода можно ориентировать вдоль прямой, совпадающей со средним направлением движения фронта деполяризации [116, 118]. При определении величины моментов диполей учитывается тот факт, что вероятность поворота направления движения волны возбуждения на противоположное мала и поэтому моменты диполей не принимают отрицательной величины и т. д. Аналогичным образом вводятся ограничения и определяется класс корректности М для других моделей источников л (г).

• [1] Вне рамок нашего рассмотрения остаются обратные задачи, связанные с диагностикойразличного рода нарушений, определяемой по результатам измерений электрофизиологическихпроцессов и полей.