Основные закономерности явлений переноса субстанции, массы, энергии, количества движения и т. д

Перенос любой субстанции (массы, энергии, импульса и т. д.) в подвижных средах может происходить как молекулярным (хаотическое тепловое движение), так и конвективным (гидродинамическое макроскопическое движение) путем. По своей физической природе молекулярный перенос обусловлен диффузией (молекулярное перемешивание) и поэтому его можно называть диффузионным переносом. Конвективный перенос субстанции обусловлен видимым (организованным) движением самой среды, которое происходит за счет внешних сил и перепада давления.

В первую очередь остановимся на основных аналитических соотношениях, лежащих в основе математических преобразований и выводов уравнений переноса.

Предварительно ознакомимся с некоторыми понятиями и соотношениями векторного и тензорного анализа.

Векторный анализ

Физические величины, встречающиеся в теории явлений переноса, можно подразделить на три группы: скаляры (например, температура, энергия, объем, время), векторы (например, скорость, количество движения, ускорение, сила) и тензоры второго ранга (например, тензор касательных напряжений, тензор потока количества движения). Эти группы величин различают посредством следующих обозначений:

s — скаляр (светлый шрифт, латинские буквы); v — вектор (полужирный шрифт, светлый шрифт со стрелкой сверху, латинские буквы); т — тензор (полужирный шрифт, греческие буквы).

В случае векторов и тензоров операцию умножения можно выполнять несколькими разными способами. Для их обозначения применяют специальные знаки, смысл которых раскрыт ниже: точка (•), точка с запятой (;) и крест (х). Форма скобок, внутри которых заключены упомянутые символы, указывает на группу величин (скаляр, вектор или тензор), к которой относится результат умножения:

При операциях сложения или вычитания форме скобок, заключающих внутри себя эти операции, не придается особого значения. Таким образом, величины (vw) и (а;т) являются скалярами, величины [v*w] и [t v] - векторами, а величина { <�гт } - тензор векторного ранга. Величину (v — w) можно выразить и в виде [v — w] или в виде { v — w} в зависимости от того, какой способ записи удобнее. Заметим, что скаляры формально можно считать тензорами нулевого ранга, а векторы — тензорами первого ранга.

Кроме того, часто встречается произведение двух векторов, не соединенных между собой никаким знаком (например wv). Таким способом принято обозначать тензор второго ранга (диаду), определяемый соотношением {wv}._A = и _tv_k.

Знаки умножения при таком рассмотрении можно интерпретировать следующим образом:

Здесь символом? обозначена сумма рангов перемножаемых величин. Например, произведение st имеет ранг, равный 0+2=2; ранг произведения vw составляет 1+1=2; величина [v*w] является вектором (или тензором ранга 1+1 — 1=1); произведение (о;т) — скаляр, так как ранг равен 2+2 — 4=0; произведение { <�гт } представляет собой тензор второго ранга (2+2−2=2).

Основные операции, которые могут быть выполнены над скалярными величинами, не нуждаются в детальном объяснении. Напомним лишь три основных закона скалярной алгебры, которые можно применять для иллюстрации трех типов произведений, встречающихся в векторной алгебре:

• 1. В случае перемножения скалярных величин г и s порядок умножения не играет роли, т. е. справедлив переместительный закон: rs=sr.
• 2. При последовательном перемножении скалярных величин q, г и s порядок, в котором эти величины перемножаются, нс имеет значения, т. е. справедлив сочетательный закон: (qr)s=q (rs).
• 3. В случае умножения скалярной величины s на сумму скалярных величин /?, q и г не играет роли, в каком порядке производить операции сложения и умножения, т. е. справедлив распределительный закон: s (p+q+r) = sp+sq+sr.

Эти законы не всегда применимы к аналогичным векторным и тензорным операциям, которые рассмотрены в последующих разделах.

Для описания пространства, в котором осуществляется движение материальной точки, оно связывается с пространственной системой координат. В этом случае положение материальной точки М в пространстве определяется радиусом-вектором г, проведенным из начала координат в точку Л/, а движение представляется в виде векторной суммы независимых движений вдоль трех пространственных осей выбранной системы координат [14, 15].

В декартовой системе (рис. 2.1) имеем.

где 7,j, k — единичные векторы (орты), направленные вдоль положительных направлений координатных осей х, у, z. Проекции радиуса-вектора 7 на оси х, у, z выражаю числами.

В прямоугольной системе координат,

положение точки М задается тремя числами х, у, г.

В цилиндрической системе координат (рис. 2.1) точка Мзадается тремя другими числами — А/(г, 0, ср). Радиус г цилиндра расположен при угле <�р.

В сферической системе координат (рис. 2.1) точка М задается как А/(г, 0, (р). Радиус г сферы расположен при угле 0.

Для однозначного определения положения точки М в пространстве радиус-вектор г полагают зависящим от параметра t, называемого временем, так что одному значению / соответствует одно значение функции:

Рис. 2.1. Положение материальной точки Маля различных систем координат Рис. 2.2. Перемещение материальной точки М из точки 1 в точку 3.

Это равенство называется кинематическим уравнением движения точки М, записанным в векторной форме.

Линия, которую описывает материальная точка М при своем движении, называется траекторией. Расстояние между двумя заданными точками 1 и 2, отсчитанное вдоль траектории, называется путем AS. Прямолинейный отрезок (вектор), проведенный из начальной точки 1 в конечную точку 2, называется перемещением Апг, (рис. 2.2).

Перемещение есть вектор, а путь — скаляр. Сумма двух последовательных перемещений из точки 1 в точку 2 и из точки 2 в точку 3 есть перемещение из точки 1 в точку 3.

Если радиус-вектор материальной точки М в момент времени t есть rij), а в момент времени / + Л/ есть r (t + At), то ее перемещение AF за промежуток времени At

Перемещение Лг есть функция времени /:

Любой вектор А в трехмерном пространстве может быть разложен по трем линейно независимым векторам е, ег, ез:

где коэффициенты а, а₂, а, называются координатами вектора А по отношению к базису е_х, е_ъе).

В декартовых координатах вектор модуль вектора.

Скалярное произведение двух векторов А-В есть скаляр, определяемый формулой где у — угол между векторами А и В.

При этом справедливы следующие соотношения:

Векторное произведение двух векторов (а х 2?) есть вектор, модуль которого

а его направление перпендикулярно обоим векторам А и В. При этом В декартовых координатах векторное произведение двух векторов.

Двойное векторное произведение.