Пример решения уравнений в частных производных
Подставив эти выражения для производных в дифференциальное уравнение (2.70). Мы придем к следующему уравнению в конечных разностях: Поскольку At мало, то членами ряда At2 и более высокими степенями можно пренебречь и в первом приближении вместо можно взять: Вычитая из этого ряда равенство (2.69), умноженное на 4, и пренебрегая членами, содержащими At в степени выше второй, получим: Если известны… Читать ещё >
Пример решения уравнений в частных производных (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Уравнения в частных производных приводятся к разностному виду посредством ряда Тейлора [2].
Рассмотрим дифференциальное уравнение теплопроводности:
где х — координата точки, Т — температура, t — время, д — теплопроводность, С — теплоемкость, у — плотность.
Разложим функцию Т (х, /) в степенной ряд по /, считая х постоянным:
Поскольку At мало, то членами ряда At2 и более высокими степенями можно пренебречь и в первом приближении вместо можно взять:
Аналогично:
Для получения первого приближения используем два следую;
дх
щих разложения в ряд:
Если сложить эти формулы и отбросить члены, содержащие Ах в степени выше 2, то получим:
Предположим, что отыскивается решение дифференциального уравнения (2.68) в области S> представленной на рис. 2.6.
Покроем эту область сеткой прямоугольников со сторонами Ах и At будем находить функцию Т в узлах этой сетки.
Примем следующие обозначения: 
При этих обозначениях формулы (2.70−2.72) примут следующий вид:
Подставив эти выражения для производных в дифференциальное уравнение (2.70). Мы придем к следующему уравнению в конечных разностях:
Если известны значения функции Т в точках (m -1, л), (/л, л), (тл+1, л), то по формуле (2.73) можно найти значение Г в точке (т, л+1).
Пусть требуется найти лучшее приближение к —, чем в уравнении.
dt
(2.70). Разложим Т{х, t + 2At) в ряд:
Рис. 2.6. Пример решения уравнения (2.70) с помощью ряда Тейлора.
решая которое относительно Тт л+|, найдем:
где.
Вычитая из этого ряда равенство (2.69), умноженное на 4, и пренебрегая членами, содержащими At в степени выше второй, получим: 
Это приближение является лучшим по сравнению с (2.70).
Далее, пусть требуется найти приближение в конечных разностях для.
——. Используем ряд Тейлора: dt дх
_ _… ет д2т дт д2т
их соответст;
Заменив в уравнении (2.74) —, —г , — и —г;
дх дх2 dt 8t2
в, дТ д2Т
вующими приближениями в конечных разностях (например, и —.
выражениями из формул (2.70) и (2.72)), найдем:
Подобные методы могут быть использованы и для получения приближений к производным более высоких порядков.