Исследование функции

Задача. Провести полное исследование функции ѓ(х) с помощью производных, построить график функции, найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [а, b]

производная интеграл дифференциальный уравнение

1. Область определения функции: D (f) = (). Функция непрерывна и определена при всех значениях х.

2. Исследуем функцию на четность, изменив знак аргумента на противоположный:

Получили совсем другую функцию, значит, исходная функция является функцией общего вида.

3 Функция является непрерывной, значит, нет вертикальных асимптот. Проверим, есть ли наклонная асимптота вида у = kx + b. Для этого найдем угловой коэффициент прямой:

отсюда следует, что наклонной асимптоты нет.

4. Найдем интервалы монотонности. Вычислим производную и приравняем ее к нулю:

Из уравнения найдем критические точки:

Составим таблицу

На интервалах функция возрастает На интервале — убывает

5. Точка — точка максимума

Точка — точка минимума

6. Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции, если они есть. Вычислим вторую производную и приравняем ее к нулю:

. Из уравнения найдем точки, подозрительные на перегиб: х = 1.

7. На основании проведенного исследования построим график функции.

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на отрезке [0, 3].

В этот отрезок попадает точки экстремума х=0 и f (0)=4

х=2 и f (2)=0

Найдем значения функции на концах отрезка

f (0)=4

f (3)=4

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке достигается в точке х=2 и f_наим(2)=0, а наибольшее в точках х= 0 и х=3 и f_наиб=4

Задание 1. Вычислить неопределенные интегралы

10. а) б) в)

г) д)

а)

б)

в)

По формуле интегрирования по частям:

г)

д)

Задание 2. Вычислить определенные интегралы

10. а) б)

а)

б)

Задача №3. Найти общее решение дифференциального уравнения (или частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию)

а)

б)

Разделим на

в)

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:

Для определения функции С (х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.

Найдем частное решение при у (0) = 0.

Задача №4. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения

а)

б)

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:

Для определения функции С (х) найдем производную функции z и подставим ее в дифференциальное уравнение.